1、第二章 第 13 节 第三课时1(导学号 14577238)(理科)(2018济南市一模) 已知函数 f(x)e xaxa( aR 且a0)(1)若函数 f(x)在 x0 处取得极值，求实数 a 的值；并求此时 f(x)在 2,1上的最大值；(2)若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围解：(1)函数的定义域为 R，f( x)e xa，由函数 f(x)在 x0 处取得极值，则 f(0)1a0，解得 a1，即有 f(x)e xx1，f(x )e x1，当 x0 时，有 f( x)0，f(x )递减，当 x0 时，有 f( x)0，f(x )递增则 x0 处 f(x)取得极小值，也为最小
2、值，且为 2，又 f(2)e 2 3，f(1)e ， f(2) f (1)，即有 f(2) 为最大值 e2 3；(2)函数 f(x)不存在零点，即为exax a0 无实数解，由于 x1 时，e 00 显然不成立，即有 aR 且 a0.若 x1，即有a ，exx 1令 g(x) ，则 g( x) ，exx 1 exx 2x 12当 x2 时，g( x)0，g( x)递增，当 x1 和 1x 2 时，g(x)0，g(x) 递减即有 x2 处 g(x)取得极小值，为 e2，在 x1 时，g(x)0，则有 0ae 2，解得e 2a0，则实数 a 的取值范围为(e 2,0)1(导学号 14577239)
3、(文科)(2018南平市质检) 已知函数 f(x)e xx.(1)求曲线 yf(x )在点(1，f(1)处的切线方程；(2)已知 t 为实数，求函数 f(x)在区间t，t 2 上的最小值；(3)定义在区间 D 上的函数 g(x)，若存在区间 a，bD 及实常数 m，当 xa，b时，g(x)的取值范围恰为am，b m ，则称区间 a，b为 g(x)的一个同步偏移区间，m 为同步偏移量试问函数 yf (x)x(x 21)在(1 ，)上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一个同步偏移区间及对应的偏移量；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知 f(1)e1, f ( x)e x1.函数 f(x)在点(
4、1，f(1)处的切线斜率 ke1，切线方程为 y(e 1) (e 1)( x1) ，即 y(e1)x.(2)令 f(x) e x10 得 x0.当 t0 时，在t，t2上 f(x)0，f(x)单调递增，f min(x)f (t)e tt.当21 时，g(x)0 ，g(x)为增函数， Error!即方程(x 21)e xx m 有两个大于 1 的相异实根设 (x) (x21)e xx m(x1)，则 (x)( x22x 1)e x1.x1，(x)0 ， (x)在(1 ，) 上单调递增. (x)在区间(1，)上至多有一个零点与方程(x 21)e xxm 有两个大于 1 的相异实根矛盾，假设不成立，
5、即 g(x)在(1，)上不存在同步偏移区间2(导学号 14577240)(理科)(2018濮阳市一模) 设函数 f(x)aln xbx 2.(1)当 b1 时，讨论函数 f(x)的单调性； (2)当 a1，b0 时，函数 g(x)f (x)kx，k 为常数，若函数 g(x)有两个相异零点x1，x 2，证明：x 1x2e2.解：(1)b1 时，f (x)aln x x2，定义域是(0 ，)，f(x) (x0)，a 2x2xa0 时，a2x 20，f( x)0，f (x)在(0，) 递减a0 时，f(x ) ，( x0) ， 2(x a2)(x a2)xx 时，f(x )0，x 时，(0，a2)
6、( a2， )f(x)0，故 f(x)在 递减，在 递增(a2， ) (0，a2)(2)证明：a1，b0 时，g( x)f (x)kxln xkx，由 g(x)0，得 ln xkx，设 x1x 2，又 ln x1kx 1 0，ln x 2kx 20，ln x1ln x 2k(x 1x 2)，ln x1ln x 2k(x 1x 2)， k.ln x1 ln x2x1 x2要证明 x1x2e 2，只需证明 ln x1ln x 22，即证明 k(x1x 2)2，即证明 k ，2x1 x2即证明 ，ln x1 ln x2x1 x2 2x1 x2即证明 ln .x1x2 2x1 x2x1 x2设 t ，
7、则 t1.x1x2设 h(t)ln t ，(t1)，2t 1t 1则 h(t) 0，t 12tt 12函数 h(t)在(1，)递增h(1) 0， h(t)h(1) 0，ln t ， x1x2e 2.2t 1t 13(导学号 14577241)(文科)(2018菏泽市一模) 设函数 f(x)ln x ax2bx.12(1)当 ab 时，求函数 f(x)的单调区间；12(2)令 F(x)f( x) ax2bx (00；当 x1 时，f ( x)0，所以 m1 ，ln xx要使方程 f(x)mx 在区间1 ，e 2上有唯一实数解，只需 m1 有唯一实数解， ln xx令 g(x)1 (x0)，ln
8、xxg (x) ，由 g( x)0 得 0e，1 ln xx2g(x)在区间1，e上是增函数，在区间e，e 2上是减函数g(1)1，g(e 2)1 ，g(e)1 ，故 1m1 时，解得 x1 ，x 2 .a a2 aa a a2 aaf(x)在( ，x 1)和(x 2，)上单调递增，在( x1，x 2)上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值 f(x1)，极小值 f(x2)，并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当 x时，f(x ) ，当 x时，f(x) 0.因此当 f(x2)ex1 ax2 ex1 ax21.1a由 f(x )0，得 x 或 x1.1a当 x(0,1)，x 时，f(x)单调递减(1a， )f(x)的单调递减区间为(0,1)， ；(1a， )当 a1 时，恒有 f(x )0，f (x)单调递减f(x)的单调递减区间为(0， ) ；当 a(1，)时， h ，(12) 910 ln 25 102 10ln 212 102 1012 233 (12)k 的取值范围为 .(1，910 ln 25)
