1、长春市实验中学 2016 级高三上学期期末考试数学（文科）试卷一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 ， ，则 （ ）|3MxR|1xNeMNA B C D0, 0,0,1)2已知 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 等于 （ ）i()2aiaA B C D11223方程 的根的个数是 （ ）12logxA B C D01 34等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）nanS193812aA B C D24685已知向量 ， ，若 ，则 （ ）(1,)m(2,)()()mnA B C D43216将函数
2、图像上所有点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变） ，)6cos(2)(xf 2得到函数 的图像，则函数 的图像的一个对称中心是（ ）gy)(xgyA B C D)0,12()0,3( )0,15)0,3(7若如图的程序框图输出的 是 ，则应为 （ ）S126A ? 5nB ? C ? 7D ?88已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为 的等腰直角三角形，该几何体2的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）正视图 侧视图俯视图A B C D4329设 为抛物线 ： 的焦点，曲线 与 交于点 ， 轴，FC24yx,(0)kyxPFx则 （ ）kA B C D12132210设函数 ，
3、若 ，则实数 的取值范围是（ ）ln(),0)xf()fmfmA B (1,0,(,1(0,)C D)11若函数 的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则(yfx称 具有 性质，下列函数中有 性质的是 （ ）)TTA B C Dsinyxlnyxxye3yx12已知函数 ，则函数 满足 （ ）()cos)i4f()fA最小正周期为 B图像关于点 对称 2T 2(,)84C在区间 上为减函数 D图像关于直线 对称(0,)8 x二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值是 ,xy034xy2zyx_14设 是等差数列
4、的前 项和，若 ， ，则公差 nSna510S5d15在 中，若 ， ， ，则 ABC1t3CB_A16已知函数 是定义在 上的周期为 的奇函数，当 时， ，()fxR42x()4xf则 172_3、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.（12 分）已知正项等比数列 ，其前 n 项和为 满足： ， ，nanS325a42a（1）求 ；n（2）令 ，数列 的前 n 项和为 ，求 .31|log5|nbbnT18. （12 分）某中学对高三年级的
5、学生进行体质测试，已知高三、一班共有学生 30 人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位： ）：cm男 女 7 16 5 7 8 9 99 8 17 1 8 4 5 2 93 5 6 18 0 2 7 5 41 2 4 19 0 1185202122男生成绩不低于 的定义为“合格” ，成绩低于 的定义为“不合格” ；女生185cm185cm成绩不低于 的定义为“合格” ，成绩低于 的定义为“不合格”.77(1) 求女生立定跳远成绩的中位数；(2) 若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取 6 个人，求抽取成绩“合格”的男生人数；(3) 若从(2)问所抽取的 6 人中任选 2 人，求这 2
6、 人中恰有 1 人成绩“合格”的概率.19. （12 分）已知椭圆 C： 的右焦点 F2 和上顶点 B 在直线 上，21(0)xyab30xy过椭圆右焦点的直线交椭圆于 两点,MN（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求 面积的最大值.ON20.（12 分）四棱锥 中， 平面 ，底面 为ABCDPABCD直角梯形， ， ， ，M 为/ 2PA 上一点，且 ，M31（1）证明：PC/平面 MBD；（2）若 ，四棱锥 的体积为 ，PADABCDP94求直线 AB 与平面 MBD 所成角的正弦值.21.（12 分）已知函数 的图象与直线 相切，bxxf1ln)( 2y（1）求 b 的值；（2）当 时，
7、 恒成立，求实数 a 的取值范围.ex， af)(2) 选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.22. 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在 直 角 坐 标 系 中 ， 曲 线 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ） ； 以 原 点xOy1C21xtyO极 点 ， 以 轴 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 . 2 213sin 求曲 线 的 普 通 方 程 与 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 ；12 试 判 断 曲 线 与 是 否 存 在 两 个 交 点 ， 若 存 在
8、 求 出 两 交 点 间 的 距 离 ； 若 不 存 在 ，C2说 明 理 由 .23. 选修 45：不等式选讲（10 分）设函数 ， . ()|21|fxxaR 当 时，求不等式 的解集； 3a()7f 对任意 恒有 ，求实数 的取值范围. xR3xC A C AB DBBDB AD答案： 1答案： d答案： 20AB17.解：（1）设公比为 q（q0）由已知可得： 解得 q=3，q=-1（舍） 3121aa 3，解得 ， 325S又 1n 6()|nnb7所以当 时， ； 5219nTn9当 时， n2510()02n n1综上可知 219(5)0nnT1218.解：(1) 女生立定跳远成
9、绩的中位数 cm5.6283(2) 男生中成绩 “合格”和“不合格”人数比为 ，用分层抽样的方法抽取 6 个人，4:则抽取成绩“合格”人数为 4 人； 6（3 ）由(2) 设成绩“合格”的 4 人为 A，B，C ，D，成绩“不合格”的 2 人为 ,从中选ba出 2 人有（A,B） ， （A ,C） ， （A, D） ， （A , ） ， （A, ） ， （B, C） ， （B,D） ， （B, ） ， （B, ） ， （C,D ） ，ab（C, ） ， （C, ） ， （D, ） ， （ D, ） ， （ ） ，共 15 种，abab9其中恰有 1 人成绩“合格”的有（ A, ） ， （A,
10、） ， （B , ） ， （B, ） ， （C, ） ， （C, ） ，abab（D, ） ， （D, ） ，共 8 种，故所求事件概率为 .1581219.解：（1） 椭圆 C： 的右焦点 F2 和上顶点 B 在直线2(0)xyab上， 椭圆的右焦点为 F2（1，0），上顶点为 B ，30xy(0,3)2故 c=1，b= ，a 2=b2+c2=4，所求椭圆标准方程为 214xy4（2）设 M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），直线 的方程为MNm联立 得： ，243m2(4)690y612126,3yy82 22123(4)1| 9()6()mmy 10= ， ，令 ，函数22119(
11、)6m2121,)t在 上为增函数，故当 即 时， ，此时三角形6yt,t0m12min|3y的面积取得最小值为 .OMN32120.（1）证明：连结 AC 交 BD 于 N 点，连结 MN，则 BNCAD又 ， ， ，BCAD2N2PAM31CN/， BDPMN平 面，平 面 BD平 面5(2) 解：不妨设 ，因为 PA=AD=3，四棱锥 的体积为 ，所以AaA94，解得 ；139()24a18设点 到平面 的距离为 ，利用体积桥， ,在 中，ABDhAMBDABDV三 棱 锥 三 棱 锥 ,利用余弦定理可求得 ,所以5,10,3M2cos10，所以三角形 的面积 ,72sinBB72S代入
12、 中得： ，解得 ，AMDADV三 棱 锥 三 棱 锥 133h67h1又因为 ,所以直线 AB 与平面 MBD 所成角的正弦值为 . B 671221.解：（1） 01ln)( 2xxf， 在 上为增函数，且 0(，x)(， 0)1(f 切点的坐标为 ，将 代入 得 1+b=2， b=1)1， ， (f4（2）由 ， axxaxf 1ln(得 xln26令 )12()1(2)(l) 32 xgg，0)00( gxx 时 ， 当时 ，当 8，e，又 1为 增 函 数时 ，为 减 函 数 ， 当时 ，当 )(2)(2 xgexxgx，显然eeeg11)1( 2， )(gaxa恒 成 立 ， 只 须 1222.解：(1) 对于曲线 有 ，对于曲线 有 .1Cxy2C214xy5(2) 显然曲线 ： 为直线，则其参数方程可写为 （ 为 参 数 ）1 21ty与 曲线 ： 联立，可知 ，所以 与 存在两个交点，2C24xy01C2由 ， ，得 . 125t128t 22118|()45dttt1023. 解：(1) 当 时， ，3a74,13()5,24,xfx所以 的解集为 或 . ()7fx|0 5(2) ，|21|2|12|1|axaxa由 恒成立，有 ，解得()3fx|3所以 的取值范围是 . a2,10
