1、第七章 矩阵对于一个给定的 维线性空间的线性变换的研究，可以转化为对它在某一n组基下的矩阵的研究. 当然在这组基下的矩阵是越简单越好，这涉及到这组基如何选择的问题. 也就是说，给定一个 方阵 ，如何找出一个与 相似且较nAA为简单的矩阵. 对角矩阵可以认为是最简单的，并且在上一章中，我们讨论了矩阵的对角化. 但并不是所有矩阵都相似于对角阵 . 我们要问：如果一个矩阵不相似于一个对角阵，那么它能否与其他的较为简单的矩阵相似呢？而这个矩阵会简单到什么程度呢？这就是本章所需要讨论的问题. 对于这问题的讨论，需要用到 矩阵.7.1 矩阵及其初等变换1. 矩阵的概念设 是一个数域， 是一个符号，作多项式
2、环 ，PP,12,;ijfim，则称 上的矩阵n 11212212()()()()()()nmmnffffff为一个 矩阵.矩阵也叫多项式矩阵. 在早期研究多项式矩阵时，其中的符号是用 来表示的，所以称为 矩阵，沿袭至今. 以后常用 来表示 矩阵.(),AB为了与 矩阵相区别，我们常把以数域 的数为元素的矩阵称为数字矩阵.P我们知道，多项式环 中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们P与数的运算有相同的运算规律. 矩阵加法与乘法的定义也只是用到其中元素的加法与乘法. 所以，我们也可以同样的定义 矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律，我们就不再赘述. 行列式的定义也只涉及到其
3、中元素的加法与乘法，因此，同样也可以定义一个 的 矩阵的行列式. 矩阵的行列式一般是 的一个多项式，它与n数字行列式有相同的性质. 我们也不再重复了.同样也可以定义 矩阵的秩.定义 7.1.1 设 是一个 矩阵，如果 中有一个 阶子式不为零，()A()A(0)r而所有的 阶子式（如果还有）全为零，则称 的秩为 . 零矩阵的秩规1r定为零.例 7.1.2 求下面 矩阵的秩：； .211()0A21()0B解 1）容易求得 ，但 有一个二阶子式()0()A，23120所以 的秩为 2.()A2）因为，221()00B所以 的秩为 3.()与数字矩阵一样， 矩阵也有逆矩阵概念.定义 7.1.3 设
4、是一个 的 矩阵，如果存在一个 的 矩阵()Ann满足()B，()()BAE则称 是可逆的，且 称为 的逆矩阵，记为 . 其中 是 阶()A1()En单位阵.一个 方阵不一定有逆矩阵，但如果有逆矩阵时，同样是唯一的. 对于数字矩阵而言，一个方阵可逆当且仅当它是满秩的. 但对于 矩阵却未必是这样的.定理 7.1.4 一个 的 矩阵 是可逆的充分必要条件是行列式 是n()A()A一个非零的常数.证明 1）充分性. 设 是一个非零的数. 表示 的伴随矩阵，则()d*()()也是一个 矩阵，且有*()dA，1*1*()()()AAE因此， 是可逆的.()2）必要性 . 设 有逆矩阵 ，则()()B.A
5、E两边取行列式有 ()1由于 与 都是多项式，而它们的乘积为 1，所以它们都是零次多项式，()A()B即都是非零常数.说明 对于 矩阵来说，满秩方阵不一定是可逆的. 例 1 中的 ，由于 ()A， 当然不可逆；对于 ，虽然 ，它是满()0A()()B2()0秩方阵，但 不是非零常数，因而也是不可逆的.B如果一个 的 矩阵 是可逆的，它的逆矩阵的求法与数字矩阵的n()A情形是完全一样的.多项式矩阵也可以像多项式那样写成另一种比较整齐的形式. 设 矩阵11212212()()()()()()()nmmnaaA的元素的最高次数为 ，则 可以表示为k，110()kkAA则称上式为 的自然表示， 称 为
6、 矩阵 的次数，其中 是非零矩() ()kA阵， 都是 的数字矩阵.10,k mn2. 矩阵的初等变换矩阵也有初等变换，不过它与数字矩阵的初等变换有点不同.定义 7.1.5 下面的三种变换叫做 矩阵的初等变换：1）矩阵的两行（列）互换位置；2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 ；c3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 倍， 是一个多项式.()()同数字矩阵一样，对 矩阵来说， 矩阵的初等变换也不改变 矩阵的秩.定义 7.1.6 设 ， 是两个 的 矩阵. 如果 可经过有限次初()ABmn()A等变换得到 ，则称 与 等价，记为 .()()B同样易知， 矩阵的等价具有下面的三个性质：1）反身性
7、： ；()A2）对称性：若 ，则 ；()B()A3）传递性：若 ， ，则 .C()C由于 矩阵的初等变换也不改变 矩阵的秩，所以，凡是等价的 矩阵都有相同的秩. 但要注意，秩相同的 矩阵未必等价.相应于初等变换，也有 矩阵的初等矩阵. 例如，将单位矩阵的第 行的 j倍加到第 行上得()i1()(,)1ijiij j 列列列.P仍然用 表示由单位矩阵经过第 行与第 行互换位置得到的初等矩阵；用(,)ijPij表示用非零数 乘单位阵的第 行得到的初等矩阵. 同样地，对一个icc的 矩阵 作一次行初等变换，就相当于在 的左边乘以相应的mn()A()A初等矩阵；对 作一次列初等变换，就相当于在 的右边
8、乘以相应的 初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，且有；1(,)(,)ijijP；1c.1(,)(,)ijij因而初等变换具有可逆性：设 矩阵 通过初等变换变成了 ，这相当A()B于对 左乘或右乘一个初等矩阵. 再用这个初等矩阵的逆矩阵来乘 就变()A回了 ，这个逆矩阵仍然还是初等矩阵，因而 可以通过初等变换变回(). 在初等变换 中，规定 不为零，就是为了使 可逆.()()icPc()icP为了叙述方便，我们约定：表示 行（列）互换位置；,ij,ij表示用非零数 乘第 行（列） ；()cci表示将 行（列）的 倍加到 行（列）上.ijj()i定理 7.1.7 设 ， 是两个 的 矩阵. 如果 与 等
9、价，则()ABmn()AB存在 阶可逆的 矩阵 与 阶可逆的 矩阵 使得m()PQ.()()B证明 因为 ，所以 可以经过有限次初等变换变成 ，即存在()AB()A阶初等矩阵 与 阶初等矩阵 使得m12,(),()sPn12(),tQ.1()s t PB令 ， 就是所要求的 矩阵. 12()()s 12()()tQ它们都是初等矩阵的乘积，从而是可逆的. 证毕.7.2 矩阵的标准形由于 矩阵的等价是一个等价关系，所以我们可以对 上的全体矩阵按 P照是否等价进行分类. 这样在每一类 矩阵中，我们自然也想知道，能不能找到一类简单的矩阵，可以利用它来讨论这一类 矩阵所具有的某些重要性质. 这样简单的
10、矩阵是存在的，即所谓的 矩阵的标准形.定义 7.2.1 设有一个非零的 的 矩阵sn.12()()0rd 其中 是首项为 1 的多项式，且 ，1,(),)irdr 1()|(,1)iidr其他的元素都是 0，则称这个 矩阵为标准形矩阵，简称为标准形.如220101,01 都是标准形矩阵.显然，标准形矩阵的对角线上的元素如果有零次多项式，则必为 1，且在最前面；如果有零，则在最后面.在本节里，我们主要证明任意一个 矩阵都可以经过初等变换化为标准形矩阵. 为此，我们给出下面的引理.引理 7.2.2 设 矩阵11212212()()()()()()()nmmnaaA中的左上角元素 ，并且至少有一个
11、不能被 整除，则一定可1()0aija1a以找到一个与 等价的矩阵 ，它的左上角元素不为零，且次数比A()B的次数低.1()a（分析）针对于三种初等变换，需要分三种情形来证明.证明 根据 中 不能被 整除的 的位置分三种情形来讨论：()()ija1()a()ija1）如果在 中的第一列中有一个元素 不能被 整除，则有A1i 1()，1()()iqr其中余式 ，且 .()0r1degra对 作行初等变换：A1 11(),()()()()().i iqiaarra AB的左上角元素 符合要求，所以 就是所求的矩阵.()B()r()2）如果在 中的第一行中有一个元素 不能被 整除，这种情形的A1ja
12、1()a证明与 1）类似.3）如果 中的第一行与第一列中的元素都能被 整除，但 中有另()1()()A一个元素 不能被 整除，我们设 . 对,1)ijaj1()a1ias作下面的行初等变换：()A11 111 1()()()()()() 0()()()j ji ij ijjij jisiaaassa 1().0ijja A矩阵 的第一行中有一个元素 不能被 整除，这1()A1()()ij jasa1()a就转化为 2）的情形. 证毕.说明 记号“ ”表示行变换， “ ”表示列变换. 定理 7.2.3 任意一个非零的 的 矩阵 都等价于标准形矩阵. sn()A.12()()0rd 证明 在经过一
13、系列的行列交换后可以使得 的左上角元素 ，如果()A1()0a不能整除 中的所有元素，由引理，可以找到与 等价的矩阵1()a()A，B它的左上角 元素不为零，且次数比 的次数低. 如果 不能整除1()b1()a1()b中的所有元素，由引理 7.2.2 可以找到与 等价的矩阵 ，它的左1() B2B上角 元素不为零，且次数比 的次数低. 如此操作下去，就得到了彼2 1()b此等价的 ， ， . 它们的左上角元素均不为零，而且次数越来()A1()B2,越低. 由于次数是非负整数，所以在经过有限次操作后，我们将终止于一个矩阵 ，它的左上角元素为 不为零，且可以整除 中所有的元()s ()sb()sB
14、素，即.()()1,;,)ijsijbqsjn 现在对 作初等变换：()sB213111 1(),(),()()()()0.()sjsi sqbb A在右下角的 矩阵 中的所有元素都能被 整除，因为它们都是1()A()sb中元素的线性组合.()sB如果 ，则对 重复上面的操作，进而就可以把矩阵化为标准1()0A1()形矩阵，122()0()0dA其中， 与 都是首项为 1 的多项式（ 与 相差一个常数倍数） ，1()d2() 1()dsb并且 ， 能整除 中的所有元素. 这样一直下去， 就12()|2()2()A()A能化为标准形矩阵.12()()0rd 证毕.说明 定理 7.2.3 的证明给
15、出了将一个 矩阵 化为标准形矩阵的具体的方()A法.例 7.2.4 化 矩阵22211()A为标准形矩阵.解2 2222222222221111() 00011001A3.7.3 不变因子我们已经证明了每一个 矩阵都可以通过初等变换化为标准形. 在本节里，进一步证明，其标准形还是唯一的. 我们引入定义 7.3.1 设 矩阵 的秩为 ，对于正整数 ， 中必有非()Ar(1)kr(A零的 阶子式. 若 是 中全部 阶子式的最大公因式且首项系数为 1，kkDk则称 是 的 阶行列式因子.()k显然，如果 矩阵 的秩为 ，则它的行列式因子共有 个. 行列式()Arr因子的意义就在于，它在初等变换下是不
16、变的.定理 7.3.2 等价的 矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子.（分析） 我们只需要证明， 矩阵经过一次初等变换, 它的秩与行列式因子是不变的.证明 设 矩阵 经过一次初等行变换化为了 ， 与 分别是()A()Bf()g与 的 阶行列式因子. 需要证明 . 分三种情形讨论：()ABk()fg1） ，此时， 的每个 阶子式或者等于 的某个 阶,()ij ()Bk()Ak子式，或者与 的某个 阶子式反号，所以， 是 的 阶子式的公()Ak()fBk因式，从而 . |fg2） ，此时， 的每个 阶子式或者等于 的某个 阶()ic B()k()Ak子式，或者等于 的某个 阶子式的 倍. 所以，
17、 是 的 阶子式的Akc()fB公因式，从而 . ()|fg3） . 此时， 中那些包含 行与 行的 阶子式和那些()ij B()ijk不包含 行的 阶子式都等于 中对应的 阶子式； 中那些包含 行但不ikAk()Bi包含 行的 阶子式，按 行分成两个部分，而等于 的一个 阶子式与另一ji Ak个 阶子式的 倍的和，也就是 的两个 阶子式的线性组合，所以，k()()k是 的 阶子式公因式，从而 . ()fBk|fg对于列变换，可以一样的讨论. 总之， 经过一系列的初等变换变成()A，那么 . 又由于初等变换的可逆性， 经过一系列的初等变()()|fgB换可以变成 ，从而也有 . A()|f当
18、所有的 阶子式为零时， 所有的 阶子式也就等于零；反之亦()k()Bk然. 故 与 有相同的各阶行列式因子，从而有相同的秩. 证毕.B既然初等变换不改变行列式因子，所以，每个 矩阵与它的标准形有完全相同的行列式因子. 而求标准形的矩阵是较为简单的，因而，在求一个 矩阵的行列式因子时，只要求出它的标准形的行列式因子即可.现在来计算标准形矩阵的行列式因子. 设标准形为， （3.1）12()()0rd 其中 是首项系数为 1 的多项式，且 ，()1,)idr 1()|(,1)iidr其他的元素都是 0.不难证明，在这种形式的矩阵中，如果有一个 阶子式包含k的行与列的标号不完全相同，那么这个 阶子式一
19、定为零. 因此，为了计算 阶k行列式因子，只要看由 行与 列 组成的12,kii 12,i 12()kiir阶子式就可以了，而这个 阶子式等于k.12()()kiiidd显然，这种 阶子式的最大公因式就是k.12()()k定理 7.3.3 矩阵的标准形是唯一的.证明 设（3.1）是 的标准形. 由于 与（3.1）等价，则它们有相同的秩()A()A与相同的行列式因子，因此， 的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个()数 . 的 阶行列式因子就是r()k（ =1，2， ， ）. 12()()k kDdd r（3.2）于是211211()()(),().rrDdddD（3.3）这说明 的标准形（3.
20、1）的主角线上的非零元素是被 的行列式因子所()A ()A唯一决定的，所以 的标准形是唯一的.()定义 7.3.4 标准形的主对角线上非零元素 称为 矩阵12(),()rdd 的不变因子. ()A定理 7.3.5 两个 矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.证明 等式（3.2）与（3.3）给出了 矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系.这个关系式说明，行列式因子与不变因子是相互确定的.因此，说两个矩阵有相同的各阶行列式因子，就等于说它们有相同的各级不变因子.必要性已由定理 7.3.2 证明.充分性是很明显的. 事实上，若 矩阵 与 有相同的不变因子，则()A
21、B与 和同一个标准形等价，因而 与 等价. 证毕.()AB例 7.3.6 证明：若 ，则(),1fg与 等价.()0fg10()f证明 因为 ，故 的一阶子式的最大公因式 ，(),f()0fg1()D而 的一阶子式的最大公因式显然也是 1.10()fg又由于，()10()0()f fgf即两者二阶子式的最大公因式也相等，从而有完全相等的行列式因子，故两者等价. 证毕.由（3.3）可以看出，在 矩阵的行列式因子之间，有下面的关系. （3.4）1()|()kkD,1)r在计算 矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高阶的行列式因子. 这样，由（3.4）我们就大致有了低阶行列式因子的范围了.下面我们将给
22、出 矩阵等价的另一个充要条件. 为此，我们先来求可逆的矩阵的标准形矩阵. 当然，这也是计算 矩阵的行列式因子的一个例子.如果 为一个 可逆矩阵，则可设()An，()dA其中 是一非零常数. 这就是说，d()1.nD于是由（3.4）可知， 从而()1,2,kd.k因此，可逆矩阵 的标准形是单位矩阵 . 反过来，与单位矩阵等价的矩阵()AE一定是可逆的，因为它的行列式是一个非零的数. 这就是说，矩阵可逆的充分必要条件是它与单位矩阵等价. 又矩阵 与 等价的充分必要条件是有一()AB系列初等矩阵 使1,212,l t PQ12()().l t PQ特别地，当 时，就得到了下面的定理.()BE定理 7
23、.3.7 矩阵可逆的充分必要条件是它们可以表成一些初等矩阵的乘积.于是，我们又有下面的结果.推论 7.3.8 两个 的 矩阵 与 等价的充分必要条件是，存在一sn()AB个 的可逆矩阵 与一个 的矩阵 使得s()PQ.()()P4 矩阵相似的判定我们在求数字矩阵 的特征值与特征向量时所涉及的特征矩阵 ，就AEA是一个 矩阵. 在本节里，我们主要是证明一个结果：两个 数字矩阵 和 n相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 与 等价. 为此，我们BEAB先给出两个引理.引理 7.4.1 如果存在 数字矩阵 使得n0,PQ，00()EAPBQ则 与 相似.AB证明 由于 ，则有0000()PQ.PBEA
24、对上式两边进行比较有.00,Q所以 从而 . 故 与 相似.10,QP10BAB证毕.引理 7.4.2 对于任何非零的 数字矩阵 和 矩阵 与 ，必存在n()UV矩阵 与 及数字矩阵 与 使得()R0UV， （4.1）0()(EAQ. （4.2）VR证明 将 进行自然表示()U. （4.3）101()mmKK其中 都是 数字矩阵，且 . 若 ，则令01,mKn00(),QU便满足引理 7.4.2 的要求.设 ，令0.120 21()mm Q其中 都是待定的数字矩阵. 于是(1,iQ10101)()()m mkkEAQAA. 21m Q（4.4）要使（4.1）成立，结合（4.3）与（4.4） ，
25、取010211201,.kkmmU QKAQKA就能满足要求. 类似可以求得 与 . 证毕.()R0V下面给出本节的主要定理.定理 7.4.3 设 是数域 上的 数字矩阵. 和 相似的充分必要条件是,ABPnAB它们的特征矩阵 与 等价.E证明必要性. 设 和 相似，即存在可逆阵 ，使得.-1A=PB那么.11()EEP所以 与 等价.AB充分性. 设 与 等价. 则由上一节定理 7.3.7 的推论知道，存在可逆的 矩阵 与 ，使得()UV. ()(EBV则有. （4.5）1()()(AE由引理 7.4.2，存在 矩阵 与 及数字矩阵 与 使得QR0UV， （4.6）0()(U. （4.7）V
26、EA将（4.7）中的 代入（4.5） ，得到()V.1 0()()() UEBRAEBV上式的右边或是一个一次的矩阵多项式，或 . 因此0是一个数字矩阵（在 时，是零矩阵） ，记之为 ，1()(EBR T即，1()(TUEBR.0AV现在来证明 是可逆的. 由 有1()(11010()()()ETEBRUAQAVT上面等式右端的第二项必须为零，否则它的次数至少为 1，由于 与 都是0UTE数字矩阵，等式就不能成立了. 因此 .这就是说 是可逆的. 再由0EU得到0()()TEABV.10()ATBV由引理 7.4.1 知道， 和 相似.证毕.以后我们就将矩阵 的特征矩阵 的不变因子简称为 的不
27、变因子. AEAA由于两个 矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7.4.3 即有下面的推论.推论 7.4.4 矩阵 和 相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子.B显然，一个 矩阵的特征矩阵的秩一定是 ， 因此， 矩阵的不变nnn因子有 个，且他们的乘积就是这个矩阵的特征多项式.说明 从上面的结果可以看出，不变因子是矩阵的相似不变量，那么我们就可以把一个线性变换的任意一矩阵的不变因子（它们与基的选择无关）定义为线性变换的不变因子.7.5 初等因子本节讨论将 矩阵的不变因子进一步分解为更简单的形式. 1. 初等因子概念定义 7.5.1 设 是 上的一个矩阵，其不变因子 在 上
28、AP12(),()rdd P的首项系数为 1 的不可约因式方幂的全体，称为 在 上的初等因子.AP例如，设 的不变因子是 .222,1,()3()如果在有理数域上，它的初等因子是：.222,(),1,(),1如果在实数域上，则 的初等因子是A2221,(),(3),(),(如果在复数域上，则 的初等因子是.22,(1),(),(),(,)i说明 由上例可以看出， 的初等因子与数域 是密切相关的. 如果只在复数域AP中讨论，那么 的初等因子都是一次因式的方幂. 在下面以及到本章后面的几节中，除非声明，我们假定讨论中的数域都是复数域.2. 不变因子和初等因子的关系我们进一步来说明不变因子和初等因子
29、的关系. 首先假设已经知道了 阶矩阵 的不变因子 . 现在将nA12(),()ndd分解为互不相同的一次因式的乘积：12(),()ndd11212 21212()()(),()()(),rnnnrkkkkkknd 则其中对应于 的那些方幂1ijk()()ijkij就是 的全部初等因子. 注意到不变因子有一个除尽的性质，即()A1()|(,21),iidin从而.1,()|()(,;,2)ij ijkk jr 因此，在 的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数12,ndd有递升的性质，即 12(1,).jjnjkkr 这说明了同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，次数最高的方幂必然出现在最后一
30、个不变因子 的分解中，次数次高的必然出现在 中. 如此()nd1()nd顺推下去，属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的. 上面的分析实际上给出了一个如何从初等因子与矩阵的阶数唯一地作出不变因子的方法. 假设已经知道了 阶矩阵 的全部初等因子，在全部初等因子nA中将同一个一次因式 的方幂的那些初等因子按升幂排列，()(1,2)j r而且当这些初等因子的个数少于 时，就在前面添上适当个数的 1，使得凑成个，设所得到的排列为n.12(),(),()(,2)j j njkkkr 于是令 12()()()(1,),i i irkkkid n 则 就是 的不变因子.
31、12(),n A于是我们得到这样的一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们是相似的. 反过来，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子.这样我们便有了下面定理定理 7.5.2 两个同阶矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子.2. 初等因子的求法初等因子与不变因子都是矩阵的相似不变量. 但初等因子的求法相较于不变因子的求法要方便一些.在介绍直接求初等因子的方法之前，我们先来说明关于多项式的最大公因式的一个命题.命题 7.5.3 如果多项式 都与 互素，则12(),f12(),g.1 12() (),(fgfg证明 令，
32、.12(),()()fgfd121(),(),fd122(),()d显然 ， . 而 ，所以 ，|d| g1因而 .12()|()又由于 ，则可令 ，其中 ，1|fg()()df1()|f.()|g因为 ，所以 . 而又 ，则有12,()f2(),(1fg2()|()fg，因而 ，同理 . 故 . 证毕.()|1|fd2)|d1d引理 7.5.4 设 12()0() ,0()fgfgA212()() .()ffB如果多项式 都与 互素，则 与 等价.12(),f12(),g()AB证明 显然， 与 有相同的二阶行列式因子. 而 与 的一阶行AB()列式因子分别是 和12()(),()dffg2
33、12(),.Bdfg由上面的命题知道 所以 与 有相同的一阶行列式因子. ().AB()AB故 与 等价. 证毕.()A下面的定理给出了一个求初等因子的方法，它不必事先知道不变因子.定理 7.5.5 首先用初等变换将矩阵 特征矩阵 化为对角矩阵，然后将主E对角线上的元素分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是 的全部初等因子.A证明 设 已经用初等变换化为对角矩阵EA，12()()()nhD其中每个 的最高项系数都为 1. 将 分解为互不相同的一次因式方幂的()ihih乘积： 12()()()(1,2).i i irkkki n 现在，我们需要
34、证明：对于每个相同的一次因式的方幂 12(),(),()(,)j j njkkkr 在 的主对角线上按升幂排列后，得到新的对角矩阵 与 等价. 此()D (D时 就是 的标准形，且所有不为 1 的 就是 的全部初等因EA()ijkA子.为了方便，先对 的方幂进行讨论. 令12()()(1,2).i irkkig n 则.1()(,2)ikihgin且每个 都与 互素. 若有相邻的一对指数 ，1()ik,2jgjn 1,iik则在 中将 与 对调位置，其余因式保持不动. D1ik1,()ik则由引理 7.5.4， 1 1,()(00)()i ikkgg 与 1, 1()(00)()i ikkgg
35、 等价，从而 与对角阵()D11, 11()()() )(iinkkkgg 等价. 对 再作如上的讨论. 这样一直进行下去，直到对角矩阵的主对角1()D线上元素所含 的方幂是按升幂排列为止. 对 作同样的操作，2,r最后，便得到了与 等价的对角矩阵 ，它的主对角线上所含每个相同()()D的一次因式的方幂，都是按升幂排列的. 证毕.7.6 若当（Jordan）标准形我们已经知道，并不是对于每个线性变换都有一组基，使得它在这组基下的矩阵是对角矩阵. 那么，对于一个一般的线性变换，通过基的合适选择，它能化简到何种程度呢？这也就是我们在本章一开始就提出的初衷.1 若当形矩阵概念定义 7.6.1 形如0
36、0101t J的矩阵称为若当（Jordan ）块，由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵.一阶若当块就是一阶矩阵，所以若当形矩阵包括对角矩阵.我们用初等因子的理论来解决若当标准形的计算问题. 首先计算若当标准形的初等因子.容易算出若当块 00101n J的初等因子是 0().n考虑它的特征矩阵.000 0011 EJ容易看出 ，这就是 的 阶行列式因子.00()n0IJn由于 有一个 阶子式是EJ1，0 10()10n 因而它的 阶行列式因子以及它以下的各阶行列式因子都是 1. 所以它的不1n变因子是.1210()(),()nnndd则它的初等因子就是 .0n这样，就容易得到了若当形矩阵
37、的初等因子.设有若当形矩阵 12sJJ其中.001(1,2)01iii ikis J由于 的初等因子是 ，所以iJ()(,2)iks.1()ii kEJ于是 12 skkk EJEJ与1 21()()1()skkk 等价. 所以 的全部初等因子是：J.12(),(),()skkk这说明了每个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子构成的. 由于每个若当块完全由它的阶数 和主对角线上元素 所刻画，而这两个iki数都反映在它的初等因子 中. 因此若当块被它的初等因子唯一决定. ()i所以，若当形矩阵除去其中若当块排列的次序外被它的初等因子唯一决定.2. 若当标准形定理 7.6.2 任何
38、一个 阶复矩阵 都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵nA除去其中若当块排列的次序外是被矩阵 唯一决定的，称它为 的若当标准形.A证明 设 阶复矩阵 的初等因子为n（6.1）12(),(),()skkk（其中 可能有相同的，指数 也可能有相同的）.每一个初12,s 1,s等因子 对应于一个若当块()ik.001(1,2)01iii ikis J这些若当块构成一若当形矩阵.12sJJ由上面的分析， 的初等因子也就是（6.1）. 由于 与 有相同的初等因子，J A所以它们相似. 假设有另一若当形矩阵 与 相似，那么 与 就有相同的初等因子，因AJ此， 与 除了其中若当块排列的次序外是相同的，唯一性
39、得证. 证毕.J例 7.6.3 求下列矩阵的若当标准形：1） ； 2） .83604A1(0)1abbabB解 1）由于 中有两个 2 阶子式E3632(),404是互素的，所以行列式因子 ，因而 .21D1()又 ，所以 的不变因子为3()()DIAA，2123(,()()dd所以 的初等因子为.2(1),()故 的若当标准形为A.102J2） 的右上角的 5 阶子式等于 ，所以 ，从而EB30b5()1D.14()()D而又，238()()IBab所以 的不变因子为B，33156()()1,()()dd所以 的初等因子为.33(),()abab故 的若当标准形为B.11abab 用线性变换
40、的语言来叙述定理 7.6.2 就是定理 7.6.4 设 是复数域上的 维线性空间 的初等变换，在 中必存在一组AnVV基，使得 在这组基下的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去其中若当块排列的次序外是被 唯一决定的.证明 在 中任取一组基 ，设 在这组基下的矩阵是 ，由定理V12,nAA7.6.2，存在可逆矩阵 ，使得 成若当形矩阵. 于是在由P1212(,)(,)nn P所确定的基 下，线性变换 的矩阵就是 . 由定理 7.6.2，唯12,n A1A一性是显然的.由于 1 阶若当块对应于 1 次初等因子，所以矩阵相似于对角阵的另一些条件.定理 7.6.5 复数方阵 与对角阵相似的充分必要
41、条件是 的初等因子全是一次AA的.在复数域上，初等因子是由不变因子分解成不同的一次因式的方幂而得到的，因此有定理 7.6.6 复数域 上的 阶方阵 与对角阵相似的充分必要条件是 的不变CnAA因子都没有重根.7.7 最小多项式由 Hamilton-Cayley 定理知道，对于数域 上的 阶方阵 ，总可以找到数PnA域 上的一个多项式 ，使得 . 如果多项式 使 ，我们P()fx()f0A()fxf0就称 以 为根. 以 为根的多项式是很多的，我们称其中次数最低的首项()fxA为 1 且以 为根的多项式称为 的最小多项式或极小多项式.根据矩阵和线性变换之间的对应关系，我们也可以定义线性变换 的最
42、小A多项式，它等于其对应矩阵 的最小多项式.最小多项式具有下面的一些性质.性质 1 矩阵 的最小多项式是唯一的.A证明 设 都是 的最小多项式，根据带余除法， 可以表为2(),fx 1()fx，12()()fxqfxr其中 或 ，于是()0rx2deg()r.12()()0ffrAA又 ，所以 . 由最小多项式的定义知 ，即12(),()ffA0r()0rx. 同样的可证 . 因此 只能相差一个常数因子. 2|x12()|fx12(),fx而 的首项系数都是 1，所以 . 证毕.12(),f类似地，可以证明下面的性质 2.性质 2 设 是矩阵 的最小多项式，那么 是 的根的充分必要条件是()g
43、xAA()fx.()|xf说明 从性质 2 可以看出：任一方阵的最小多项式必整除它的特征多项式.例 7.7.1 数量矩阵 的最小多项式为 . 另一方面，如果 的最小多项式kExkA是 1 次多项式，那么 一定是数量矩阵.A例 7.7.2 求矩阵 310645的最小多项式.解 由于，3(1)xEA所以 的最小多项式是 的因式. 显然 ，但 ，所以A3(1) 0E2()0A的最小多项式是 .2x下面介绍几个命题.命题 7.7.3 相似矩阵有相同的最小多项式.证明 设 相似，即存在可逆矩阵 ，使得 . 又设 分别,ABP1BAP12(),fx是 的最小多项式. 由于，11222()()fff0B所以 . 因而 .同样的可证 . 因此 只能2()fA1|x1|x12(),fx相差一个常数因子. 而 的首项系数都是 1，所以 . 证毕.2(),f 应该指出，命题 7.7.5 的逆不成立. 见
