1、第五届全国北师大版初中数学优质课评比与观摩活动 作品欣赏探寻神奇的幻方西安高新一中初中校区 王海瑛学生起点分析“探寻神奇的幻方” 是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践” ，学生此前已完成“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，部分学生对用 19 填成三阶幻方，在方法上有初步的感性认识.学生的认知条件决定了它主要立足于丰富学生的数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，对解决问题的方法和经验进行反思，从中感受。对学生而言，一种全新的以自主探究为特色的学习方式.教学任务分析“探寻神奇的幻方”是北师大版数学七年级上册综合与实践学习课题之一。根据新课标的要求，通过本课题的学习应让
2、学生能够结合实际情境，经历解决具体问题的方案的过程；在参与过程中学会反思，并能进行交流，进一步获得数学活动经验；能够通过对有关知识的探讨，了解所学知识之间的关联，发展应用意识和能力。因此，本节课的设计以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；以“有理数及其运算”与“整式及其加减”的知识为基础，提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，可以组建四人活动小组，促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在
3、独立思考的基础上与同伴进行合作交流；不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论。教学目标1、 综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质特征。2、 经历观察、猜想、归纳、类比等活动，初步积累构造三阶幻方的经验。3、 进一步体验合作交流、自主探究的学习方式。教学重难点重点：探索三阶幻方的基本规律及本质特征。难点：构造符合要求的三阶幻方教学过程设计本节课设计了七个教学环节：第一环节：情景激趣；第二环节：动手实践；第三环节：分享交流；第四环节：思维晋级；第五环节：勇于尝试；第六环节：归纳提升；第七环节：课后升级.情景激趣1 洛水神龟献奇图相传公元前 2200 多年，我国大禹治水时发现一
4、个神龟，背上刻有图案，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服 .后人称之为 “洛书 “（如图 1） 。你能用今天的数学符号这个图案翻译出来吗？图 1 2. 三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质：每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等.一般地，一个 n 行 n 列的正方形方格中，每行、每列和每条对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为 n 阶幻方.算出右图中各横排、竖列及对角线上数字的和，看看它是不是一个幻方.活动内容：（1）由学生尝试用今天的数学符号对神龟背上的图案进行翻译，引导学生发现数字排列规律；（2）检验如图所示 44 数阵是否是一个幻方。活动目的：旨在引入课题，并揭示幻
5、方的性质。存在着 n 阶幻方，我们这节课只研究三阶幻方的构造方法，不要给知识面狭窄的学生造成误区。动手实践请将 1 至 9 这九个数分别填在三行三列的数表中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。活动内容：本课题学习安排的是 2 课时，本节课主要是展示交流由活动经验生成一定的方法，提前一天布置动手实践，由学生分组完成，课堂将学生的答案展示在黑板上。活动目的：学生经历构造三阶幻方的过程，或成功或失败，积累活动的经验，发现问题，提出问题。1415 121110 13169 876543 21活动效果：学生能够独立或小组完成填表，并得到了不同的构造方法，展示中有一个学生出错，也正好为下面的交
6、流提供了反例（在后续学习中这个学生自己发现问题加以改正，由他自己改错加上课堂的教学气氛没有给这个学生造成压力） 。分享交流 （ 1） 你是怎样用 1 至 9 这九个数构造三阶幻方的？（ 2） 在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？试说明理由。（ 3） 上述幻方中数字的位置能否改变？请分析其中的规律。来源:学优高考网 gkstk活动内容：由个别学生阐述自己构造三阶幻方的过程，并适时提出问题 2、3，引发学生的思考，个别回答、同桌或小组讨论的形式，让学生畅所欲言。教师适度点拨，并引导学生上升到理论层次。活动目的：通过交流引导学生深入思考，帮助学生借助字母表示数、探索规律把对三阶幻方的感性认识过渡到
7、理性经验的层面，能感知并解释几种简单三阶幻方的数学模型，把握构造三阶幻方的核心（中心数的确定）和关键（奇偶性） ，能对相应的探究方法反思提炼。活动效果：学生这节课较高程度参与了课堂，参与热情高，人员广泛，积极思考，勇于表达，且表达思路清晰语言完善，一些平时胆小不够自信的学生也有较好的展现，使得课堂高效完成。学生通过构造三阶幻方，很容易发现中间位置应该填 5，通过试验也能知道如果 5 不在中间位置将无法满足题意，但不能解释其中的道理，只停留在经验层面上。通过引导，有一个学生提出了字母表示数，但其做法是设中间数是 x，将其他数依次设为 x+4,x-4,x-1,x+1,x-2,x+2,x+3,x-3
8、，这时教师对其字母表示做出肯定，并结合黑板上的不同构造方法进一步引导学生发现这样的表示方法不具一般性，这里不具规律性，应该怎么做呢？学生表示出来一定的困难，由教师引导给出。设 9 个数分别为 a,b,cd,e,f,g,h,i则(a+e+i)+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）=154(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=60, 即 45+3e=60， e=5对于幻方中数字的位置能否改变，有学生发现了数字的奇偶性，引导全体学生思考，因为奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数， ；而且进一步当把 5 填入中间格时，如果四个角上填奇数，则其他四格填偶数，我们可以看到
9、第一行、第三行、第一列、第三列他们的和都得偶数，而据题目所求，三个数之和为 15，15 是奇数，所以与题意不符（如图 1）.如果四个角上一对奇数一对偶数，则剩下的四个格中也应该一对奇数一对偶数，此时我们可以看到第一行、第三行和都为偶数，同样与题意不符（如图 2）.然而如果四个角上都填偶数，剩下的四个格填奇数则符合题意（如图 3）.图 1 图 2 图 3思维晋级请总结三阶幻方的构造方法。 活动内容：学生分组讨论，总结前面分享交流的结论，形成构造三阶幻方的方法。活动目的：部分学生在小学就有构造幻方的经历，但大部分同学只是简单地背记老师所给的方法，这节课就是要摒弃学生的机械记忆，在了解幻方实质的基础
10、上形成自己的方法。活动效果：学生经过小组讨论，很快形成思路，即第一步确定“中心数” ，第二步配对，第三步分析奇偶性。教师追问“中心数”如何确定，学生加以补充，最终形成五步法： 计算九数之和 ；计算幻和（ 3） ；确定”中心数”( 33)；配对；aaa定奇偶。勇于尝试1、将 2,3,4,5,6,7,8,9,10 填入到 33 的方格中，使得每行、每列、 来源 :学优高考网 每条对角线上的三个数之和相等。思考 这 9 个数与原来 9 个数有什么关系？可以由原来 9 个数怎么变过来？2、请自行列举出 9 个数，将它们填入到 33 的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三偶数 奇数 偶数奇数 5 奇
11、数偶数 奇数 偶数奇数 偶数 奇数偶数 5 偶数奇数 偶数 奇数奇数来源:gkstk.Com奇数 偶数偶数 5 偶数偶数 奇数 奇数个数之和都等于 45.（备用图） （备用图）思考 你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方的要求？应怎样把这九个数填入三阶幻方？说说你的道理 .活动内容：由学生自主完成练习 1、2 两个小题，并思考所提出来的两个问题，然后交流。活动目的：让学生体验新的方法，巩固新的方法。引申思考如何构造九个数来完成一个三阶幻方。活动效果：这时课堂已接近尾声，只完成了练习 1，并由两个学生上黑板展示了答案，其中一个学生出错，教师抓住契机分析了利用这组数构造三阶幻方，在中间数填 6 的情况
12、下，数字排列的奇偶性，应该是来源:gkstk.Com学生对思考题的反应还是不错的，很快发现 2,3,4,5,6,7,8,9,10 是在1,2,3,4,5,6,7，8,9 这九个数的基础之上加 1 得到的，当即引导学生思考给每个数同时加或减同一个整数，或者同时乘同一个整数，得到一列新的数都可以构造一个三阶幻方。由于时间关系，对得到的结论没能当堂加以验证，练习 2 布置给学生课后完成。归纳提升谈谈这节课你的收获？活动目的：让学生交流总结，一方面让学生感受知识形成的过程，另一方面训练学生归纳概括知识的能力，使知识系统化，条理化，培养学生归纳、反思的意识。奇数 偶数 奇数偶数 6 偶数奇数 偶数 奇数
13、课后升级1. 将 -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6 填入到 33 的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等 .2. 自行选取一组数构造一个三阶幻方 ,使得每行、每列和每条对角线上的三个数之和都等于 60。来源 :学优高考网 gkstk*3.用 1,3,5,10,12,14,19,21,23 构造一个三阶幻方。*4.用 25 个数构造一个五阶幻方 .活动目的：巩固课堂所学知识，作业的设置是有层次的：第 1 题直接给出 9 个数构造三阶幻方；第 2 题自行选取 9 个数来构造；第 3 题在于引起学生思维的冲击，课堂上所用的 9 个数都是连续的，那怎样的九个数就能构造三
14、阶幻方，学生是无法得到这个结论的，设置这个题避免学生思维的局限性；第 4 题学有余力、学有兴趣的孩子可以大展身手。板书设计探寻神奇的幻方一、 幻方的概念一般地，一个 n 行 n 列的正方形方格中，每行、每列和每条对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为 n 阶幻方.二、 三阶幻方的构造方法计算九数之和 ；计算幻和（ 3） ；aa确定”中心数”( 33)；配对；定奇偶。设 9 个数分别为 a,b,cd,e,f,g,h,i则(a+e+i)+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）=154(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=60, 即 45+3e=60， e=5则(a+e+i)+（
15、b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）=154(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=60, 即 45+3e=60， e=5教学反思：本节课的构思是清晰的，重点是探索三阶幻方的基本规律及本质特征，难点是如何选取9 个数来构造三阶幻方，课题学习关注的是“学习过程” ，重生成，轻结论，课前对学生的学情做了较为全面的预见，导学案环节设置合理，精心设计问题，教师较好地掌控了课堂。本节课的教学形式是“课外活动，课内交流” ，学生在课堂上有着非常好的呈现，积极参与，同桌、小组交流气氛热烈；积极思考，可以看到有的学生眉头紧锁，有的不停地在草稿本上验算着，有的高高地举起了手；回答时思路清晰，语言流畅；经历了充分的探索和交流后，可以看到学生收获的喜悦，平时几个“慢孩子”也欣喜地做出答案勇于展示。让我又一次感受到教师精心备课的重大意义，老师的教学方式直接影响到学生的思维方式，变讲堂为学堂，真正让学生、让每一个学生成为课堂的主体，没有教不会的学生。由于老师在幻方方面知识的限制，我觉得这节课思路不是非常开放，具体问题学生在课后能够解决，但更多未知的东西如何去解决，教学高度不够。还有幻方仅仅是一个数字游戏吗？其广泛的应用价值没能在课堂上展示，以拓宽学生视野，应借助多媒体辅助教学。
