1、螺旋理论基础知识综述 摘要：本文系统总结和陈述了螺旋理论基础知识，分析了刚体的瞬时螺旋运动及刚体上作用的力螺旋，并对运动学和静力学的物理量进行对比，同时分析了刚体任意运动的瞬时螺旋轴。关键词：螺旋理论 运动螺旋 力螺旋 瞬时螺旋轴中图分类号：TG156Summary of the Basics of Theory of the SpiralAbstract：This paper systematacially summarize and state the basics of theory of the spiral, analyz the instantaneous motion screw
2、 and wrench of a rigid body , and make comparison on physical quantity of kinematic and static , in addition instantaneous Helical - axis simultaneous analysis of rigid bodies of arbitrary motion.Key words：Spiral Theory motion screw wrench instantaneous screw axis0 前言 *应用螺旋理论做空间机构的某些分析是比较方便的，它是诸种常用的
3、数学方法中较好的一种。螺旋也称旋量。一个旋量可以表示空间的一组对偶矢量，从而可以用来同时表示矢量的方向和位置，同时表示运动学的角速度和线速度，以及同时表示刚体力学中的力和力矩。这样一个含 6 个标量的旋量概念，就易于应用于空间机构的运动的分析。它也易于与其他方法和矢量法、矩阵法和运动影响系数法之间的相互转化。它具有几何概念清楚、物理意义明确、表达形式简单、代数运算方便、理论上的难度也不是很高等优点，因而得到广泛的应用。对目前机构学上的许多前沿性的研究问题，螺旋理论也就做出了贡献。1 螺旋理论基础知识1.1 点的齐次坐标点 ， ，若A,xyz（ ） xyzrijk， ， ，00dijk0d00z
4、d，则 ， 为齐次坐标。其中 表示r(;)0方向， 、 表示位置。0点的矢量方程（1）d0r直线的方程（2）0S其中 表示方向， 为线矩。s0s坐标Plucker（3）(,;,)LMNQR其中 L、M、N 为 的坐标，P、Q、R 为 的坐S0S标线的齐次坐标（4）0(;)线矩（5）01Sr表示线的位置，有长度单位。自由矢量当 ， 时，直线在无穷远处，S0，记为0(;)（5）(;S)面的齐次坐标，其中 为平面的法向量，表示方向；0(;)n67表示平面的位置。点、线、面到原点的距nr0离分别为： ； ； 。d0Sn01.2 点线面的相互关系及两直线的互矩直线与平面相交点：直线与平面方程分别为， ，
5、则相交点为10rS20r02()S121S（6）两平面相交线：两平面齐次坐标分别为，则相交点为0102(;),;)S021S12r(（7）两直线互矩：空间有两交错直线，如图 1 所示，两直线的矢量方程为 ， ，101202rS则互矩为 m10201MS（8）互矩只与两直线的距离的扭向角有关，与原点位置选择无关。图 2 两直线的互矩两直线的交点：两相交直线的矢量方程为， ，其交点为 ，则可得101rS202rSr到交点为。 1.3 线矢量及旋量线矢量： ，其中 。0(;)0旋量： ，其中 ，也可表示为SS（9）0$为对偶标识符。节距（10）h0S与原点位置无关，具有长度量纲。轴线方程h0rS=-
6、（11）为确定轴线可以如图 2 所示，将 分解为垂直0和平行于 的两个分量 和 。-hS0h0S-图 2 螺旋的轴线1.4 旋量的代数运算两个旋量 ， ，011$S022$S代数和为2（12）标量积：01212121$SS（13）互易积0012121（14）叉积012121212$SS（15）1.5 刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时转动：用角速度的大小与一个表示旋转轴作用线矢 之积0(S;)0$S（16）式中 是单位矢量， ； 是 对原点的线矩，s10且与 正交， , 。转动的轴线方0Sr程为（17）068坐标为 或 。当坐标系原点Plucker);(0S);(0与转轴重合时， 坐标为 。Pluc
7、ker刚体的瞬时移动：刚体的移动速度，也可以看成是一个瞬时转动，此转动轴线与 正交，并位于距s无限远的平面内，此转轴的 坐标为slr或 。绕此轴的瞬时转动运动，S)(0;),;,NML就可以表示成 。速度矢量 是自由(0;矢量。刚体的螺旋运动：当 刚体既有转动又有移动时，刚体的绝对瞬时运动应是这两个运动的合成。合成旋量如表示成（18）=iii0$S其中下角标 表示合成的绝对瞬时运动。显然，此时刚体的绝对瞬时运动已不是纯转动，而且旋量的对偶旋量也不满足正交条件，即 ，为分0i析此运动，可将 矢量分解为沿 方向及垂直 方0iSSi向等两个部分，若令 hi此时绝对运动可表示为如下两项(;)=(;)(
8、0;)iiiii00ii（19）上式中右边的第一项 是绕 轴线的iihiSiS纯转动，括号中的对偶矢量部分只表示原点重合点的切向速度分量。合成运动的轴线方程就可以表示为 （20）iih0ir右边第二项 是纯移动分量。移动速度(;)iiS大小为 ，而移动速度的方向也是沿 方向。ihiS这样合成运动的对偶部分仍表示物体上原点重合点的速度 ，包含转动形成的原点重合点速度与沿螺旋0i轴方向的移动速度之和。1.6 刚体上作用力的力螺旋刚体上的作用力：如刚体上有一作用力 ，如图f3 所示，它可以写为标量 与单位矢量 之积 fS。此力对坐标原点之矩 可表示为标量 与单矢0C量 的线矩 之积， 。所以作用在刚
9、体S0f上的力如以单位线矢表示，为（21）0f$S式中 为单位线矢， ； 和 正交，10S。用线矢量就同时表示了刚体上的力的大小、0S方向和作用线。力线矢写成 坐标形式为Plucker或 或 即0(;)fS0(;)f0(;)fC（22）$ZXYrfO图 3 刚体上的作用力刚体上的作用力偶：在刚体上作用两个大小相等、方向相反的平行力 、 ，如图 4 所示，这1f2两个力构成一个力偶，力偶矩为矢量可以表示为21()()Crrf（23）可以用旋量表示为（24）()$0;SZXYf 2r 2Sf 1r 1O图 4 刚体上的作用力偶刚体上作用的力螺旋：一般情况下作用于一个空间力系都可以简化为一个力 和一
10、个力偶10(;)fS，如图 5 所示，这里 和 都是单位2(0;)CS2矢量。合成的旋量可表示为 ，式iiiff0$中 为单位矢量， 。其原部和对偶部分i i别为 和 1f012fCSrS轴线方程（25）i ih0ir节距（26）/()i0iiff对于与螺旋轴线共线的力偶，节距可简化为（27）/iihCf69ZXYOf i S if 1 S 1C 2 S 2图 5 刚体上的作用力螺旋2 各物理量对比在运动学和静力学中物理量有如下几类：自由矢量只要考虑大小和方向的量，如运动学的刚体移动速度、静力学中的力偶矢量。它们都需给出大小和方向就能确定该物理量。线矢量需要同时给出大小、方向和矢量的作用线，才
11、能确定该物理量，如角速度矢量、力矢量都是这样的物理量。当需要从全局或整体上描绘物体的受力或者运动时，就要采用力螺旋或运动螺旋这样的物理量，它们都是旋量。这两种都是由一个标量和一个单位旋量结合构成。一般多个矢量之和仍为矢量，但多个线矢量之和却是旋量。各物理量比较表 1 给出它们的比较表 1 各物理量的比较节距 运动学 静力学(;)hSr(;)hSr旋量 0h运动螺旋力螺旋ff线矢 角速度矢量 力线矢 量 (;)r(;)fr自由矢量 h移动速度 0力偶矢 0C3 刚体运动瞬时旋转轴如图 6 所示，需要证明在做一般运动的刚体存在直线 MN。该直线上所有点的速度在给定时刻沿着该直线并平行于 。刚体某一
12、瞬时基点的速度和角速度 的列阵分别为：o，OXYZOXoYZ如果刚体上 点的速度不等于零并且平行于 S，则由式 得ioir（28）(0)pXYZMSNO图 6 刚体一般运动的瞬时旋转轴设 X、Y、Z 是 S 点的坐标，则上面的方程可以写成标量形式（29）()()()OOZXOZYYp很明显，这是个直线方程。该直线为刚体一般运动的瞬时旋转轴，瞬时旋转轴上所有点的速度都相等，且与角速度 同向。参 考 文 献1 黄真，赵永生，赵铁石.高等空间机构学 【M】.北京：高等教育出版社，2006。HUANGZhen,ZHAOYongsheng,ZHAOTieshi.Institutionsof higher
13、 learning spaceJ. Higher Education Press, 2006.2 黄真，孔令富，方跃法.并联机器人机构学理论及控制（第二章） 【M】.北京：机械工业出版社，1997。HUANGZhen,KONGLingfu,FANGYuejin.Parallel Robot MechanismTheoryandControl(Chapter II)J.Beijing:Machinery Industry Press,1997.3 谭月胜.基于旋量理论及距离误差的机械臂标定新方法【J】 .北京航空航天大学学报，2006，32（9）：1104-110。Tan YueshengBas
14、ed onScrew Theoryanddistance errorofmanipulatorcalibration methodJBeijingUniversity of Aeronautics, 2006,32(9):1104-110.4 李俊峰，理论力学【M】.北京：清华大学出版社，2004.Li Junfeng,theoretical mechanicsM,Beijing:Tsinghua University Press,2004.5 卢宏琴，基于旋量理论的机器人运动学和动力学研究及其应用【D】.南京：南京航空航天大学出版社，2007.Lu Hongqin,spinortheorybasedrobot kinematicsand dynamicsand its applicationD, Nanjing:Nanjing University ofAeronauticsand Astronautics Press, 2007.
