1、- 1 -人类最伟大的十个科学发现之一：勾股定理（浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）著名网络科普作家塔米姆安萨利在其近着中，提出了对社会有重大影响的 10 大科学发现,现行初中教材中的几何里介绍了一个广为人知的定理：勾股定理。就是被列为“发现之一”。它是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前 572?公元前 497?）(图1）于
2、公元前 550 年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家在巨著几何原本（第卷，命题 47）中给出一个很好的证明。(图 2 为欧几里得和他的证明图)中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源欧 几 里 得 （ Euclid， 公 元 前 330 公 元 前 275） 和 他 的 证 明 图 ( 图 2) 毕 达 哥
3、 拉 斯 （ Pythagoras， 公 元 前 572? 公 元 前 497? (图 1) - 2 -于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩得到的一条直角边勾等于 3，另一条直角边股等于 4 的时候，那么它的斜边弦就必定是 5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前 1100 年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾 3 股 4 弦 5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。在稍后一点的九章算术一书中（约在公元50 至 100 年间）（
4、图 3），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”。九章算术系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了 246 个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，巧妙地证明了勾股定理（图 4）。他把三角形涂成红色，其面积叫“朱实”，中间正方形涂成黄色叫做“中黄实”，也叫“差实”。他写道
5、“按弦图”，又可勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差相乘为中黄实，加差实，亦称弦实。若用现在的话说，分别用 、 、 记勾、股、弦之长，赵爽所述即在这幅“勾股圆abc方图”中，以弦为边长得到正方形 ABDE 是由 4 个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为 ；中间的小正方形边长为 ，则面积为2ab。于是便可得如下的式子：2ab4 2abc 2化简后便可得： 22c图 3 AD CBE勾 (a) 股 (b)弦 (c)图 4 - 3 -赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中
6、国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。（图 5）5000 年前的埃及人，也知道这一定理的特例，也就是勾3、股 4、弦 5，并用它来测定直角。以后才渐渐推广到普遍的情况。金字塔的底部，四正四方，正对准东西南北，可见方向测得很准，四角又是严格的直角。而要量得直角，当
7、然可以采用作垂直线的方法，但是如果将勾股定理反过来，也就是说：只要三角形的三边是 3、4、5，或者符合的公式，那么弦边对面的角一定是直角。到了公元前 540 年，希腊数学家毕达哥拉斯注意到了直角三角形三边是 3、4、5，或者是 5、12、13 的时候，有这么个关系。他想：是不是所有直角三角形的三边都符合这个规律？反过来，三边符合这个规律的，是不是直角三角形？他搜集了许多例子，结果都对这两个问题作了肯定的回答。他高兴非常，杀了一百头牛来祝贺。以后，西方人就将这个定理称为毕达哥拉斯定理。目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，连美国第 20 届总统伽菲尔德于1881 年也提供了一面积证法.
8、 他是这样分析的，如图所示： ABCDS梯 形 2)(1ba)(22ba又 梯 形 CEDBAES abcab ADCBE- 4 - 2121cba)(2cab比较上二式便得 2而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法，下面就是其中一种(如图）的证法 abcaba2142142 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”bc cccc cbbbbbbbbbaaaaaaaaa两 个 正 方 形 的 边 长 都 是 a+b,面 积 相 等
