1、1第四类 概率问题重在“辨”辨析、辨型概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型，只要模型一找到，问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，同时，还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复杂事件.【例 4】 (2016全国卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 5保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1. 75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下
2、：一年内出险次数 0 1 2 3 4 5概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率.(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解 (1)设 A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费” ，则事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1，(辨析 1)故 P(A)0.200.200.100.050.55.2(辨型 1)(2)设 B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”，则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3，(辨
3、析 2)故 P(B)0.100.050.15.又 P(AB) P(B)，故 P(B|A) .P（ AB）P（ A） P（ B）P（ A） 0.150.55 311(辨型 2)因此所求概率为 .311(3)记续保人本年度的保费为 X，则 X 的分布列为X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2aP 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(辨型 3)E(X)0.85 a0.30 a0.151.25 a0.201.5 a0.201.75 a0.102 a0.051.23 a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23.探究提高 1.辨析(1)：判断事件
4、A 发生，在一年内出险次数为 2，3，4 或5.辨型(1)：该问题为求随机事件的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解.辨析(2)：判断事件 B 发生，在一年内出险次数为 4 或5.辨型(2)：该问题为条件概率，可利用公式求解.2.求解此类问题的关键：(1)会判断，先判断事件的类型，再利用对立事件的概率公式、条件概率的公式等求解概率；(2)会计算，要求随机变量 X 的期望，需先求出 X 的所有可能取值，然后求出随机变量 X 取每个值时的概率，再利用随机变量的数学期望的定义进行计算.【训练 4】 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联
5、网” ，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 50 人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这 50 人根据其满意度评分值(百分制)按照350，60)，60，70)，90，100分成 5 组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)的解决下列问题：频率分布表组别 分组 频数 频率第 1 组 50，60) 8 0.16第 2 组 60，70) a 第 3 组 70，80) 20 0.40第 4 组 80，90) 0.08第 5 组 90，100 2 b合计 频率分布直方图(1)求出 a，
6、b， x 的值；(2)若在满意度评分值为80，100的人中随机抽取 2 人进行座谈，设所抽取的 2 人中来自第 5 组的人数记为 ，求 的分布列和数学期望.解 (1)由题意可知， ，解得 b0. 04；82 0.16b样本容量 n 50，80.1680，90)内的频数为 500.084，a508204216；又60，70)内的频率为 0.32， x 0.032；1650 0.3210(2)由题意可知，第 4 组共有 4 人，第 5 组共有 2 人，随机变量 的可能取值为 0，1，2，P( 0) ， P( 1) ，25 8154P( 2) .115 的分布列为： 0 1 2P 25 815 115 E( )0 1 2 .25 815 115 23
