1、 第 1 页 共 12 页 第 1 节 简谐运动对 应 学 生 用 书 P1机械振动与简谐运动自读教材抓基础1机械振动(1)机械振动：物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的往复运动，简称振动。(2)平衡位置：物体能静止的位置(即机械振动的物体所围绕振动的位置 )。2简谐运动(1)回复力：概念：当物体偏离平衡位置时受到的指向平衡位置的力。1.回复力是使物体回到平衡位置的力，其方向指向平衡位置，简谐运动的回复力满足关系式：Fkx。2由平衡位置指向物体所在位置的有向线段为物体的位移，振动物体离开平衡位置的最大距离为振幅，物体在一个周期内的路程为四个振幅，但四分之一周期内的路程不一定为一个振幅。
2、3振子做简谐运动时，振动能量不变，振子远离平衡位置时，动能减小，势能增大。第 2 页 共 12 页 效果：总是要把振动物体拉回至平衡位置。(2)简谐运动：定义：如果物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，则物体所做的运动叫做简谐运动。公式描述：Fkx(其中 F 表示回复力，x 表示相对平衡位置的位移，k 为比例系数，“”号表示 F 与 x 方向相反 )。跟随名师解疑难1弹簧振子应满足的条件(1)质量：弹簧质量比小球质量小得多，可以认为质量只集中于振子( 小球)上。(2)体积：弹簧振子中与弹簧相连的小球的体积要足够小，可以认为小球是一个质点。(3)阻力：在振子振动过程
3、中，忽略弹簧与小球受到的各种阻力。(4)弹性限度：振子从平衡位置拉开的最大位移在弹簧的弹性限度内。2简谐运动的位移(1)定义：振动位移可用从平衡位置指向振子所在位置的有向线段表示，方向为从平衡位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离。(2)位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标表示。3简谐运动的回复力(1)由 F kx 知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。(2)公式 Fkx 中的 k 指的是回复力与位移的比例系数，而
4、不一定是弹簧的劲度系数，系数 k 由振动系统自身决定。4简谐运动的速度(1)物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称为 “一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。(2)特点：如图 111 所示为一简谐运动的模型，振子在 O 点速度最大，在 A、B 两点速度为零。图 1115简谐运动的加速度(1)计算方法：a ，式中 m 表示振子的质量，k 表示比例系数，x 表示振子距平衡kxm第 3 页 共 12 页 位置的位移。(2)特点：加速度大小随位移呈线性变化，方向只在平衡位置发生改变。学后自检(小试身手)下列说法正确的是( )A
5、弹簧振子的运动是简谐运动B简谐运动是机械运动中最简单、最基本的一种C做简谐运动的物体每次经过同一位置时，其速度、位移都相同D做简谐运动的物体在平衡位置两侧对称的位置上，其速度、位移都反向解析：选 A 弹簧振子是简谐运动中的一个理想模型，其运动是简谐运动，选项 A 正确；机械运动中最基本、最简单的运动形式是匀速直线运动，选项 B 错误；根据简谐运动中位移的概念，物体每次经过同一位置时，位移都相同，但在同一位置，既可能向平衡位置运动，也可能远离平衡位置，因此速度方向不确定，选项 C 错误；同理，在平衡位置两侧对称的位置上，位移方向相反，速度方向可能相同，也可能相反，选项 D 错误。振幅、周期和频率
6、自读教材抓基础1振幅(A )(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。(2)物理意义：表示振动强弱，是标量。2全振动简谐运动的物体完成一个完整的振动过程。3周期(T) 和频率(f)内容 周期 频率定义做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间单位时间内完成全振动的次数单位 秒(s) 赫兹 (Hz)物理含义 都是表示振动快慢的物理量联系T1f第 4 页 共 12 页 跟随名师解疑难1对全振动的理解(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫做一次全振动。(2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征。物理量特征：位移(x)、加速度 (a)、速度( v)三者
7、第一次同时与初始状态相同。时间特征：历时一个周期。路程特征：振幅的 4 倍。相位特征：增加 2。2振幅与振动中几个常见量的关系(1)振幅与位移的关系：振动中的位移是矢量，振幅是标量；在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等；同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。(2)振幅与路程的关系：振动中的路程是标量，是随时间不断增加的。其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为振幅的 4 倍；半个周期内的路程为振幅的 2 倍；若从特殊位置 计时，如平衡位置、最大位移处， 周期内的路程等于振幅；14若从一般位置 计时， 周期内路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于14或小于振幅。(
8、3)振幅与周期(或频率)的关系：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率) 是固定的，与振幅无关。学后自检(小试身手)有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩 x 后释放让它振动，第二次把弹簧压缩 2x 后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )A11 11 B11 12C14 14 D12 12解析：选 B 弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为 12，而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，则周期之比为 11。第 5 页 共 12 页 简谐运动的能量自读教材抓基础1弹簧振子振动过程中的能量转化如
9、图 112 所示，弹簧振子以 O 为平衡位置，在 BC 间振动，则图 112在从 B 到 O 过程中，动能增加 ，弹性势能减小，当运动到 O 时，动能最大，弹性势能为零。2简谐运动的能量简谐运动的能量是指振动系统的机械能，振动的过程就是动能和势能相互转化的过程，在简谐运动中，振动系统的机械能守恒。跟随名师解疑难1若不考虑阻力，弹簧振子在振动过程中只有弹力做功，故在任意时刻的动能与势能之和不变，即机械能守恒。2简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，因此简谐运动又称等幅振动，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。3在一个振动周
10、期内，动能和势能完成两次周期性变化。经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小。振子经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。学后自检(小试身手)物体做简谐运动的过程中，有两点 A、A关于平衡位置对称，则物体( )A在 A 点和 A点的位移相同B在两点处的速度可能相同C在两点处的加速度可能相同D在两点处的动能一定相同解析：选 BD 根据简谐运动的特点可知关于平衡位置的对称点，物体的位移大小相等，但方向相反，选项 A 错误；物体的速度大小相等，方向可以相同，也可以相反，故选项 B 正确；物体的加速度大小相等方向相反，选项 C 错误；由于速度大小相等，动能
11、自然相同，选项 D 正确。第 6 页 共 12 页 对 应 学 生 用 书 P3对简谐运动的理解典题例析1一弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的是( )A若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值B振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大C振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同D振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同思路点拨 (1)振子加速度的方向与速度方向、位移方向有什么关系？提示：加速度的方向始终与位移方向相反，与速度的方向可能相同，也可能相反。(2)振子由最大位移处向平衡位置运动时，做什么运动？提示：加速度逐渐减小的变加速运动。解析：如图所示。设弹
12、簧振子在 A、B 之间振动，O 是它的平衡位置，并设向右为正。在振子由 O 向 A运行过程中，振子的位移、速度为负值，加速度为正值，故 A 错。振子通过平衡位置时，加速度为零，速度最大，故 B 错。当振子每次通过同一位置时，速度大小一样，方向可能向左也可能向右，但加速度相同，故 C 错，D 正确。答案：D探规寻律简谐运动中各物理量动态变化的判断方法：(1)方向：位移 x 回复力 F 加速度 a(由回复力产生 )；速度方向为振动物F kx 相 反 F ma 相 同体运动方向，与以上各量无必然联系， “” “”与正方向选取有关。(2)大小：远离平衡位置位移 x回复力 F加速度 a(由回复力产生)速
13、度v；反之：靠近平衡位置位移 x回复力 F加速度 a(由回复力产生的) 速度v。说明：以上为判断主线，用符号“”表示各物理量间可以进行互判，而不要理解为第 7 页 共 12 页 相互的决定关系。跟踪演练如图 113 所示，水平方向上有一弹簧振子，O 点是其平衡位置，振子在 a 和 b 之间做简谐运动，关于振子下列说法正确的是( )图 113A在 a 点时加速度最大，速度最大B在 O 点时速度最大，位移最大C在 b 点时位移最大，速度最小D在 b 点时加速度最大，速度最大解析：选 C O 为弹簧振子振动的平衡位置，其加速度为零，位移为零，速度最大，B 错误；振子在 a、b 两位置，振动的位移最大
14、，加速度最大，速度为零，故 A、D 错误，C 正确。简谐运动的对称性典题例析2如图 114 所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距 10 cm的 A、B 两点，历时 0.5 s，过 B 点后再经过 t0.5 s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过 B 点，则质点从离开 O 点到再次回到 O 点历时(O 点为 AB 的中点)( ) 图 114A0.5 s B1.0 sC2.0 s D4.0 s思路点拨 以 同 样 的 速 度 通 过 A、B 速 度 对 称 性 O为 A、B中 点 ，即 平 衡 位 置 时 间 对 称 性 tAO tOB，tBD tDBtOB tBO tOD t
15、OB tBD解析：根据题意，由振动的对称性可知：AB 的中点为平衡位置，A、B 两点对称分布在 O 点两侧，质点从平衡位置 O 点向右运动到 B 点的时间应为 tOB 0.5 s0.25 s。质12点从 B 点向右到达右方极端位置(D 点)的时间 tBD 0.5 s0.25 s。所以质点从离开 O 点12第 8 页 共 12 页 到再次回到 O 点的时间 t2t OD2(0.25 0.25) s1.0 s，故正确选项为 B。答案：B探规寻律(1)速度、加速度、位移、动能、势能的对称特点：振子经过关于平衡位置 O 对称( OPOP ，如图 115 所示)的两点 P、P时，速度的大小、加速度的大小
16、、位移的大小、动能、势能相等。图 115振子在对称点速度的方向可以相同，也可以相反，加速度的方向一定相反。(2)时间的对称：振子由 P 到 O 所用时间等于由 O 到 P所用时间；振子往复过程中通过同一段路程(如 OP 段) 所用时间相等。跟踪演练一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过 M、N 两点时速度 v(v0) 相同，那么，下列说法正确的是( )A振子在 M、N 两点受力相同B振子在 M、N 两点相对平衡位置的位移相同C振子在 M、N 两点加速度大小相等D从 M 点到 N 点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动解析：选 C 建立弹簧振子模型如图所示。因位移、速度、加速度和回复力
17、都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同。M、N两点关于 O 点对称，振子受力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反。由此可知，A 、B 选项错误。振子在 M、N 两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故 C 选项正确。振子由 M 到 O 速度越越大，但加速度越越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动。振子由 O 到 N 速度越越小，但加速度越越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故 D 选项错误。对 应 学 生 用 书 P4课堂双基落实1关于振幅的概念，下列叙述中正确的是( )A振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量第 9 页 共 12 页 B振幅是表示振动强弱的物理
18、量C振幅增大，周期也必然增大，而频率减小D做简谐运动的物体，其频率是固定的，与振幅无关解析：选 BD 振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，振幅越大，表明物体振动越强。周期与振幅无关。2如图 116 所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是( ) 图 116A钢球运动的最高处为平衡位置B钢球运动的最低处为平衡位置C钢球速度为零处为平衡位置D钢球原静止时的位置为平衡位置解析：选 D 钢球以平衡位置为中心做往复运动，在平衡位置处速度最大，故A、B 、 C 不正确， D 选项正确。3对于弹簧振子的回复力与位移的关系图像，下列
19、图像中正确的是( )图 117解析：选 C 根据公式 F kx，可判断回复力与位移的关系图线是一条直线，斜率为负值，故选项 C 正确。4关于简谐运动的频率，下列说法正确的是( )A频率越高，振动质点运动的速度越大B频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多C频率是 50 Hz 时，1 s 内振动物体速度方向改变 100 次D弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关解析：选 BC 简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系，描述物体运动的快慢用速度，假如说物体振动过程中最大速度越大，也不能说明它的频率越大。振动的越快和运动得越快意义是不同的，故 A 错误；简谐运动的物体在一个周期内速度
20、的方向改变两次，频率越高，单位时间内所包含的周期个数越多，速度方向变化的次数就越多，故 B、C 正第 10 页 共 12 页 确；弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置的速度没有关系，它由振动系统的固有量振子的质量 m 和弹簧的劲度系数 k 决定，故 D 错误。课下综合检测1关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法正确的是( )A平衡位置就是物体振动范围的中心位置B机械振动的位移是指以平衡位置为起点的位移C机械振动的物体运动的路程越大发生的位移也越大D机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移解析：选 B 平衡位置是物体原静止时的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置无关，如乒
21、乓球竖直落在台面上的运动是一个机械振动，显然其运动过程的平衡位置在球台面上，A 错误；振动位移是以平衡位置为起点指向质点所在位置的有向线段，振动位移随时间而变，振子偏离平衡位置最远时，振动物体的振动位移最大，所以 B正确，C 、D 错误。2如图 1 所示，对做简谐运动的弹簧振子 m 的受力分析正确的是( ) 图 1A重力、支持力、弹簧的弹力B重力、支持力、弹簧的弹力、回复力C重力、支持力、回复力、摩擦力D重力、支持力、摩擦力解析：选 A 回复力是振子沿振动方向的合力，是效果力而不是物体实际受到的力，B、C 错误；弹簧振子做简谐运动，不受摩擦力，D 错误。3做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越
22、越大，则这段时间内( )A振子的位移越越大B振子正向平衡位置运动C振子速度与位移同向D振子速度与位移方向相反解析：选 BD 弹簧振子在某段时间内速度越越大，说明它正向平衡位置运动，故位移越越小，A 错误，B 正确；位移方向是从平衡位置指向振子，故振子速度与位移方向相反，C 错误，D 正确。4如图 2 所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为 O，把振子拉到 A 点，第 11 页 共 12 页 OA1 cm，然后释放振子，经过 0.2 s 振子第 1 次到达 O 点，如果把振子拉到 A点，OA2 cm，则释放振子后，振子第 1 次到达 O 点所需的时间为 ( )图 2A0.2 s B0.4
23、 sC0.1 s D. 0.3 s解析：选 A 简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第 1 次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的 ，它们相等。145如图 3 所示，弹簧振子在 BC 间振动，O 为平衡位置，BOOC5 cm，若振子从B 到 C 的运动时间是 1 s，则下列说法中正确的是 ( )图 3A振子从 B 经 O 到 C 完成一次全振动B振动周期是 1 s，振幅是 10 cmC经过两次全振动，振子通过的路程是 20 cmD从 B 经过 3 s，振子通过的路程是 30 cm解析：选 D 振子从 BOC 仅完成了半个全振动，所以周期 T21 s2 s，振幅A
24、BO5 cm，振子在一次全振动中通过的路程为 4A20 cm，所以两次全振动中通过的路程为 40 cm。从 B 经过 3 s 的时间为 1.5T，所以振子通过的路程为 30 cm。6当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是( )A振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等B振子从最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧弹力始终做负功C振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供D振子在运动过程中，系统的机械能守恒解析：选 CD 振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，A 错；振子由最低点向平衡位置
25、运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，做正功，B 错；振子运动过程中的回复力由弹簧振子所受合力提供且运动过程中机械能守恒，故 C、D 对。7.如图 4 所示，试证明光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简谐运动。第 12 页 共 12 页 图 4解析：小球静止时弹簧的伸长量为 x0 ，再住下拉后弹簧相对于静止位置伸长mgsin kx 时，物体的回复力 Fk (x0x )mg sin kx。由此可判定物体是做简谐运动。答案：见解析8如图 5 所示，弹簧振子以 O 点为平衡位置在 B、C 两点之间做简谐运动，B、C 相距 20 cm，当振子经过 B 点时 计时，经过 0.5 s，振子首次到达 C 点。求：图 5(1)振子的振幅和频率；(2)振子在 5 s 内通过的路程。解析：(1)B、C 关于 O 点对称，B、C 之间的距离为 2A，由于 2A20 cm，故振幅A10 cm。振子从 BO C 仅完成了半次全振动，所以周期 T20.5 s1 s，频率f 1 Hz。1T(2)振子在一次全振动中通过的路程为 4A40 cm,5 s 内完成 5 次全振动，故振子在 5 s内通过的路程为 540 cm200 cm。答案：(1)10 cm 1 Hz (2)200 cm
