1、3 简谐运动的图像和公式学习目标 1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息一、简谐运动的图像导学探究1甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的 xt 图像：如图 1 所示，取一张白纸，在正中间画一条直线 OO，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从 O 点沿垂直于 OO方向振动画线，乙同学沿 OO 方向水平向右匀速拖动白纸图 1(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？(2)乙同学匀速向右慢慢拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？(3)分
2、析白纸慢慢拖动时画出的曲线，沿 OO 与垂直 OO 方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么物理意义？答案 (1)是一条垂直于 OO的直线(2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线(3)垂直 OO 方向的轴为位置坐标轴 x(如果以 O为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿OO 方向的轴为时间轴 t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移( 以 O为出发点)或位置2绘制简谐运动的 xt 图像如图 2 所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摆动，并垂直于摆动平面匀速拉动薄板，则细沙在薄板上形成曲线若以漏斗的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立 x 轴，垂直于振动方向建立 t 轴，则这
3、些曲线就是漏斗的位移时间图像图 2(1)为什么这就是漏斗的位移时间图像？(2)位移时间图像与什么函数图像类似？答案 (1)当单摆摆动时，薄板从左向右匀速运动，所以薄板运动的距离与时间成正比，因此可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻摆球(漏斗) 离开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律(2)与正弦(或余弦 )函数图像类似知识梳理 对简谐运动图像的理解1图像的建立以横轴表示做简谐运动的物体的运动时间 t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移 x.2图像的特点一条正弦(或余弦)曲线，如图 3 所示3图像的应用(1)确定振动物体在任一时刻的位移如图 3 所
4、示，对应 t1、t 2 时刻的位移分别为 x17cm，x25cm.图 3(2)确定振动的振幅由图可知，振动的振幅是 10 cm.(3)确定振动的周期和频率由图可知，T0.2 s ，频率 f 5 Hz.1T(4)确定各质点的振动方向例如图中的 t1 时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；在 t3时刻，质点正向着平衡位置运动(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向例如在图中 t1 时刻质点位移 x1 为正，则加速度 a1为负，t 2 时刻质点位移 x2 为负，则加速度 a2 为正，又因为|x 1|x 2|，所以| a1|a 2|.即学即用 关于简谐运动的振动图像，判断下列说法的正误(1)图像表示质点
5、振动的轨迹是正弦或余弦曲线( )(2)由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向 ()(3)由图像可判断任一时刻质点的速度方向和加速度方向( )(4)由图像可以比较质点在不同时刻的速度大小、位移大小和加速度大小( )(5)由图像可知质点在平衡位置处速度最大( )二、简谐运动的表达式及相位差导学探究1将两个相同的单摆向同一方向拉开相同的角度，然后同时释放两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案 它们同时到达同侧的最大位移处，也同时到达平衡位置，它们总是“步调一致” ，相位相同，相位差为 0.2将两个摆长相同的单摆向相反方向拉开相同的角度，然后同时释放，观察两个单摆的振动有什么特点？
6、它们的相位差是多大？答案 它们各时刻的位移总是相反，相位差为 .3图 4 是弹簧振子做简谐运动的 xt 图像，它是一条正弦曲线，请根据数学知识写出此图像的函数表达式，并说明各量的物理意义图 4答案 表达式 xA sin ( t )，式中 A 表示振幅，T 表示周期， 表示初相位2T知识梳理 对表达式 xAsin (t )的理解1式中 x 表示振动质点相对于平衡位置的位移；t 表示振动的时间2A 表示振幅3 称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，与周期 T 及频率 f 的关系： 2f.2T所以表达式也可写成：xAsin 或 xA sin (2ft)(2Tt )4t 代表简谐运动的相位
7、；其中 是 t0 时的相位，称为初相位或初相相位是一个角度，单位是弧度或度5相位差若两个简谐运动的表达式为 x1A 1sin (t 1)，x 2A 2sin (t 2)，则相位差为(t 2)(t 1) 2 1.当 0 时，两振动质点振动步调一致当 时，两振动质点振动步调完全相反即学即用 1判断下列说法的正误(1)有一个弹簧振子，振幅为 0.8 cm，周期为 0.5 s，初始时(t0)具有正的最大位移，则它的振动方程是 x810 3 sin (4t ) m()2(2)某质点做简谐运动，其位移时间变化的关系式为 x5 sin( t) cm，则第 2 s 末和第 6 s 末质4点的位移相同()2A、
8、B 两个简谐运动的表达式分别为 x14asin(4bt )和 x22asin(4bt )，则它们12 32的振幅之比为_，各自的频率 f1_，f 2 _.A 比 B_(填“超前”或“滞后”)了_ 答案 21 2b 2b 滞后 一、对简谐运动图像的理解1简谐运动的图像不是振动质点的运动轨迹2分析图像问题时，要把图像与物体的振动过程联系起来(1)图像上的一个点表示振动中的一个状态(2)图像上的一段图线对应振动的一个过程例 1 如图 5 所示，为某一弹簧振子简谐运动的图像，则( )图 5A振动的振幅为 6 mB振动的周期为 6 sCt1.5 s 时和 t2.5 s 时，振子的速度相同Dt2.5 s
9、时，振子的加速度正在减小，沿 x 轴的负方向答案 C解析 由图知，振子运动的周期 为 T4 s；振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由图知，振幅 A3 cm，故 A、B 错误；在 t1.5 s 时和 t2.5 s 时，据图可知，振子关于平衡位置对称，所以两时刻速度大小相等，方向相同，沿 x 轴的负方向，故 C 正确；在第 2.5 s 时，振子正远离平衡位置，位移增大，其加速度增大，故 D 错误针对训练 1 如图 6 甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以 O 点为平衡位置，在a、b 两点之间做简谐运动(以向右为正方向 )，其振动图像如图乙所示由振动图像可以得知( )图 6A振子的振动周期等于
10、 t1B在 t0 时刻，振子的位置在 a 点C在 tt 1 时刻，振子的速度为零D从 t1 到 t2，振子正从 O 点向 b 点运动答案 D解析 振子的周期是振子完成一个周期性变化所用的时间，由图直接读出其周期 T2t 1，故A 错误；由图乙知在 t0 时刻，振子的位移 为零，正通 过平衡位置，所以振子的位置在 O 点，故 B 错误；在 tt 1时刻，振子的位移为零，正通 过平衡位置，速度最大，故 C 错误；从 t1 到 t2，振子的位移从 0 变化到正向最大， 说明振子正从 O 点向 b 点运动，故 D 正确二、对简谐运动的表达式的理解例 2 一个小球和轻质弹簧组成的系统，按 x15sin
11、(8t ) cm 的规律振动14(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相(2)另一简谐运动的表达式为 x25sin (8 t ) cm，求它们的相位差54答案 (1) s 4 Hz 5 cm (2)14 4解析 (1)已知 8 rad/s，由 得 T s，f 4 Hz. A5 cm， 1 .2T 14 1T 4(2)由 ( t 2)( t 1) 2 1 得 .54 4针对训练 2 (多选)有两个简谐运动，其表达式分别是 x14sin (100t ) cm，x 25sin 3(100t ) cm，下列说法正确的是( )6A它们的振幅相同 B它们的周期相同C它们的相位差恒定 D它们的振动步调一致答案
12、 BC解析 它们的振幅分别是 4 cm、5 cm，故不同； 都是 100 rad/s，所以周期(T )都是 s；2 150由 (100t )(100 t ) 得相位差恒定；0，即振动步调不一致3 6 61(多选) 如图 7 表示某质点简谐运动的图像，以下说法正确的是 ( )图 7At 1、t 2 时刻的速度相同B从 t1 到 t2 这段时间内，速度与位移同向C从 t2 到 t3 这段时间内，速度变大，位移变小Dt 1、t 3 时刻的回复力方向相反答案 BC解析 t 1时刻振子速度最大，t 2时刻振子速度为零，故 A 不正确；t 1 到 t2这段时间内， 质点远离平衡位置，故速度、位移均背离平衡
13、位置，所以二者方向相同，则 B 正确；在 t2 到 t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，故 C 正确；t 1 和 t3时刻质点在平衡位置，回复力为零，故 D 错误 2装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图 8 所示，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像中可能正确的是( )图 8答案 D解析 试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始计时时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，因此应选 D.3(多选) 一弹簧振子 A 的位移 x 随时间
14、 t 变化的关系式为 x0.1sin (2.5t)，位移 x 的单位为 m，时间 t 的单位为 s.则( )A弹簧振子的振幅为 0.2 mB弹簧振子的周期为 1.25 sC在 t0.2 s 时，振子的运动速度为零D若另一弹簧振子 B 的位移 x1 随时间变化的关系式为 x10.2sin ，则振动 A 滞后(2.5t 4)B4答案 CD解析 由振动方程为 x0.1sin (2.5t)，可读出振幅 A0.1 m，圆频率 2.5 rad/s，故周期T s0.8 s，故 A、B 错误；在 t0.2 s 时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故2 22.5C 正确；两振动的相位差 B A ，即 B 超前
15、 A ，或说 A 滞后 B ，选项 D 正确4 4 44根据如图 9 所示的某振子的振动图像，完成下列各题：图 9(1)算出下列时刻振子相对平衡位置的位移t 10.5 s；t 21.5 s.(2)将位移随时间的变化规律写成 xAsin (t)的形式并指出振动的初相位的大小答案 (1)5 cm 5 cm2 2(2)x10sin cm (2t 2) 2解析 (1)由题图知， xAcos (t )10cos ( t) cm10cos ( ) cm，24 t2则 t10.5 s 时，x 15 cm；2t21.5 s 时， x25 cm.2(2)x10sin ( t ) cm，2 2初相位 .2一、选择
16、题1.如图 1 所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法中正确的是( )图 1A因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹B振动图像反映的是振子的位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹C振子在 B 位置的位移就是曲线 BC 的长度D振子运动到 B 点时的速度方向即为该点的切线方向答案 B解析 振动图像表示振子的位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹， B 对，A、C 错由于 图像不是振子的运动轨迹，因此切线的方向并不表示速度的方向， D 错2(多选) 一质点做简谐运动，其位移 x 与时间 t 的关系图像如图 2 所示，由图可知( )图 2A质点振动的频率是 4
17、HzB质点振动的振幅是 2 cmCt3 s 时，质点的速度最大Dt3 s 时，质点的振幅为零Et3 s 时，动能最大答案 BCE解析 由题图可以直接看出振幅为 2 cm，周期 为 4 s，所以频率为 0.25 Hz，所以选项 A 错误，B 正确 t3 s 时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项 C、E 正确振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移的大小，与质点的位移有着本质的区别 ，t3 s 时， 质点的位移为零，但振幅仍为 2 cm，所以 选项 D 错误3(多选) 一质点做简谐运动的振动图像如图 3 所示，则该质点 ( )图 3A在 00.01 s 内，速度与加速度同向B在 0.010.02 s
18、 内，速度与回复力同向C在 0.025 s 时，速度为正，加速度为正D在 0.04 s 时，速度最大，回复力为零答案 AC4一个弹簧振子沿 x 轴做简谐运动，取平衡位置 O 为 x 轴坐标原点从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿 x 轴正方向的最大加速度能正确反映振子位移 x 与时间 t关系的图像是( )答案 A解析 根据 Fkx 及牛顿第二定律得 a x，当振子具有沿 x 轴正方向的最大加速Fm km度时，其具有沿 x 轴负方向的最大位移，故选项 A 正确5. (多选) 如图 4 所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是 ( )图 4A在第 1 s 内，质点速度逐渐增大B在
19、第 1 s 内，质点加速度逐渐增大C在第 1 s 内，质点的回复力逐渐增大D在第 4 s 内质点的动能逐渐增大E在第 4 s 内质点的势能逐渐增大F在第 4 s 内质点的机械能逐渐增大答案 BCD解析 在第 1 s 内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第 4 s 内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒6(多选) 某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 xAsin ( t)，则质点( )4A第 1 s 末与第 3 s 末的位移相同B第 1 s 末与第 3 s 末的速度相同C第 3 s 末与
20、第 5 s 末的位移方向相同D第 3 s 末与第 5 s 末的速度方向相同答案 AD解析 根据 xA sin ( t)可求得 该质点振动周期为 T8 s，则该质点振动图像如图所示，图像4的斜率为正表示速度为正，反之 为负，由 图可以看出第 1 s 末和第 3 s 末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项 A 正确，B 错误；第 3 s 末和第 5 s 末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项 C 错误，D 正确7. (多选) 图 5 为甲、乙两单摆的振动图像，则( )图 5A若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为 l 甲 l 乙 21B若甲、乙两单
21、摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为 l 甲 l 乙 41C若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比为 g 甲 g 乙 41D若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比为 g 甲 g 乙 14答案 BD解析 由题图可知 T 甲 T 乙 21，由公式 T2 可知：若两 单摆在同一地点，则两摆长lg之比为 l 甲 l 乙 41，故 A 错误，B 正确；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g 甲 g 乙 14，故 C 错误，D 正确8(多选) 一个质点做简谐运动的图像如图 6 所示，下列叙述中正确的是 ( )
22、图 6A质点的振动频率为 4 HzB在 10 s 内质点经过的路程为 20 cmC在 5 s 末，质点做简谐运动的相位为 32Dt1.5 s 和 t4.5 s 两时刻质点的位移大小相等，都是 cm2答案 BD解析 由振动图像可直接得到周期 T4 s，频率 f 0.25 Hz，故选项 A 错误一个周期内1T做简谐运动的质点经过的路程是 4A8 cm.10 s 为 2.5 个周期，故质点经过的路程为 20 cm，选项 B 正确由图像知位移与时间的关系为 xAsin (t 0)0.02sin ( t) m当 t5 s 时，其2相位 t 0 5 ，故 C 错误在 1.5 s 和 4.5 s 两时刻，质
23、点位移相同，xAsin 1352 52A cm，故 D 正确22 29(多选) 如图 7 甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移 x 随时间 t 变化的图像如图乙所示不计空气阻力，g 取 10 m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是( )图 7A单摆的位移 x 随时间 t 变化的关系式为 x8sin (t) cmB单摆的摆长约为 1 mC从 t2.5 s 到 t3 s 的过程中，摆球的重力势能逐渐增大D从 t2.5 s 到 t3 s 的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小答案 AB解析 由题目中振动图像读出周期 T2 s，振幅 A8
24、 cm，由 得到圆频率 rad/s，2T则单摆的位移 x 随时间 t 变化的关系式为 xAsin t8sin (t) cm.故 A 正确由公式 T2，代入得到 l1 m故 B 正确从 t2.5 s 到 t3 s 的过程中，摆球从最高点运动到最低点，lg重力势能减小，故 C 错误从 t2.5 s 到 t3 s 的过程中，摆球的位移减小，回复力减小，速度增大，所需向心力增大，绳子拉力增大，故 D 错误10如图 8 甲所示是演示简谐运动图像的装置，当漏斗下面的薄木板 N 被匀速地拉出时，振动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系板上的直线OO1 代表时间轴，图乙中是两个摆中
25、的沙在各自的板上形成的曲线，若板 N1 和板 N2 拉动的速度 v1 和 v2 的关系为 v22v 1，则板 N1、N 2 上曲线所代表的简谐运动的周期 T1 和 T2 的关系为( )图 8AT 2T 1 BT 22T 1CT 2 4T1 DT 2 T114答案 D解析 由题图可知，薄木板被匀速拉 动的距离相同，且 v22v 1，则 t12t 2.由题图乙可知，T1t 1，T2 t2，从而得出 T14T 2.正确选项为 D.12二、非选择题11如图 9 所示为 A、B 两个简谐运动的位移时间图像试根据图像写出：图 9(1)A 的振幅是 _cm，周期是_s；B 的振幅是_cm，周期是_s.(2)
26、这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式(3)在时间 t0.05 s 时两质点的位移分别是多少？答案 (1)0.5 0.4 0.2 0.8 (2)x A0.5sin (5t ) cm，x B0.2sin (2.5t ) cm2(3)xA cm，x B0.2sin cm24 58解析 (1)由图像知：A 的振幅是 0.5 cm，周期是 0.4 s；B 的振幅是 0.2 cm，周期是 0.8 s.(2)由图像知：A 中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动 了 周期，由 T0.4 s，得 12 5 rad/s，则简谐 运动的表达式为 xA0.5sin (5t) cm.B 中振动的质点从平衡位置沿正2T方
27、向已振动了 周期， ，由 T0.8 s 得 2.5 rad/s，则简谐运动的表达式为14 2 2TxB0.2sin (2.5t ) cm.2(3)将 t0.05 s 分别代入两个表达式中得： xA0.5sin(5 0.05) cm0.5 cm 22 24cm，xB0.2sin(2.5 0.05 ) cm0.2sin cm.2 5812一物体沿 x 轴做简谐运动，振幅为 8 cm，频率为 0.5 Hz，在 t0 时，位移是 4 cm，且向 x 轴负方向运动(1)试写出用正弦函数表示的振动方程(2)10 s 内通过的路程是多少？答案 (1)x0.08sin ( t ) m (2)1.6 m56解析
28、 (1)简谐运动振动方程的一般表达式为 xAsin (t)根据题给条件有：A0.08 m，2f rad/s.所以 x0.08sin (t ) m将 t0，x 0.04 m 代入得 0.040.08sin ，解得初相位 或 ，6 56因为 t0 时，速度方向沿 x 轴负方向，即位移在减小，所以取 .56故所求的振动方程为 x0.08sin (t ) m.56(2)周期 T 2 s，所以 t5T，因一个周期内通过的路程是 4A，则 10 s 内通过的路程1fs54A208 cm160 cm1.6 m.13有一弹簧振子在水平方向上的 B、C 之间做简谐运动，已知 B、C 间的距离为 20 cm，振子
29、在 2 s 内完成了 10 次全振动若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t0)，经过周期振子有正向最大加速度14(1)求振子的振幅和周期；(2)在图 10 中作出该振子的位移时间图像；图 10(3)写出振子的振动方程答案 (1)10 cm 0.2 s(2)见解析图(3)x10sin (10 t)cm解析 (1)x BC20 cm，t2 s，n10，由 题意可知：A 10 cm，xBC2 20 cm2T 0.2 s.tn 2 s10(2)由振子经过平衡位置开始计时经过 周期振子有正向最大加速度，可知振子此时在负方向14最大位移处所以位移时间图 像如图所示(3)由 A 10 cm，T0.2 s ， 10 rad/s，故振子的振 动 方程为 x10sin(10 t)cm.2T
