1、有限单元法初步,有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法，用于板壳、实体等结构的分析。,有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。,离散化：,单元分析：,整体分析：,求应力：,1 杆系结构的有限单元法,1.1 泛函与变分,“最速落径问题”-质量为m的小环从A处自由滑下， 试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）,所需时间,称T为y（x）的泛函， y（x）为自变函数。,即以函数作自变量以积 分形式定义的函数为泛函。,1.1 泛函与变分,变分运算在形式上与微分运算相同。,称 为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。,微分与变分运算次序可以交换。,积分与变分运算次序也
2、可以交换。,1.2 变形体虚位移原理,外力虚功,内力虚功,虚功方程,1.3 势能原理,1.应变能,弯曲应变能,拉压应变能,剪切应变能,2.外力势能,外力从变形状态退回到无位移的 原始状态中所作的功.,3.结构势能,对于线弹性杆件体系,4.势能原理,对于线弹性杆件体系,对于线弹性杆件体系,虚功方程为:,或,即,在弹性结构的一切可能位移中，真实位移 使结构势能取驻值。,1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析,单元杆端力,一、建立位移模式-用杆端位移表示杆中位移,单元杆端位移,设杆中任一点位移,a、b称为广义坐标,令 -自然坐标,-形函数矩阵,2.,中包含刚体位移,杆中任一点应变,一、建立位
3、移模式-用杆端位移表示杆中位移,-应变矩阵,二、应变分析-用杆端位移表示杆中应变,三、应力分析-用杆端位移表示杆中内力,杆中任一点应力,杆中任一截面的轴力,四、单元分析-用杆端位移表示杆端力,单元应变能,单元外力势能,1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析,四、单元分析-用杆端位移表示杆端力,单元的总势能,单元是平衡的,上式记作,其中,-局部坐标系下的单元刚度矩阵,-单元等效结点荷载,1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析,单元分析的步骤:,1.以单元结点位移表示单元内位移,的性函数矩阵,2.由应变分析得到应变矩阵,3.由势能驻值原理或变形体虚功原理建立单元刚度方程得到单刚与单
4、元等效结点荷载,坐标转换与矩阵位移法相同,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,设单元内任一点位移为,单元杆端力,单元杆端位移,一、确定形函数,1、广义坐标法,任一截面转角为,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,一、确定形函数,2、试凑法,利用形函数的性质建立形函数矩阵,(1)确定,由 可
5、设,由 可知,所以,(2)确定,由 可设,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,一、确定形函数,二、确定应变矩阵(建立几何方程),微分算子矩阵,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,一、确定形函数,二、确定应变矩阵(建立几何方程),弹性矩阵,三、确定弹性矩阵(建立物理方程),四、确定单刚和单元等效结点荷载(建立平衡方程),1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,单刚,单元等效结点荷载,(i,j=1,2),1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)
6、的单元分析,形函数矩阵是那两组量之间的联系矩阵?,应变矩阵是那两个量之间的联系矩阵?,弹性矩阵是那两个量之间的联系矩阵?,单刚是那两个量之间的联系矩阵?,单元分析的步骤是怎样的?,1.6 其它平面杆件单元的单刚,一、桁架单元,二、不计轴变的弯曲单元,1.6 其它平面杆件单元的单刚,三、连续梁单元,四、一端刚结一端铰结的单元,1.6 其它平面杆件单元的单刚,五、计剪切的自由式单元,（单刚见教材41页）,六、带刚域单元,1.6 其它平面杆件单元的单刚,七、扭转杆单元,1.7 空间杆系结构的单元分析,一.交叉梁结构,1.7 空间杆系结构的单元分析,一.交叉梁结构,二.空间桁架,1.7 空间杆系结构的
7、单元分析,一.交叉梁结构,二.空间桁架,三.空间刚架,2.1 弹性力学与结构力学的区别,2 弹性力学的基本方程,浅梁,深梁,2.2 弹性力学平面问题的两种类型,平截面假设成立,一.平面应力问题,一.平面应变问题,2.3 几何方程-位移与应变之间的关系,设物体内任意一点A的位移为,应变为,微元体只有水平位移时,只有竖向位移时,-几何方程,2.4 物理方程-应力与应变关系,由广义虎克定律,对于平面应力问题,其中:,应力向量,应变向量,弹性矩阵,对于平面应变问题,将平面应力问题的弹性矩阵中的E换成 换成 。,2.5 平衡方程-应力与外力关系,一.应力与体积力关系-平衡微分方程,体内微元体 边界微元体
8、,-体积力,-表面力,二.应力与表面力关系-应力边界条件,设,2.6 虚功方程、结构势能 表达式,外力虚功,微元体上外力在虚变形位移上作的虚功,虚功方程:,2.6 虚功方程、结构势能 表达式,外力势能,应变能,结构势能:,3.1 常应变三角形单元,3 平面问题的有限元分析,单元编码,结点编码,结点位移编码,整体编码,一.离散化,二.单元分析,单元结点编码(局部编码)按逆时针顺序排序,单元结点位移向量,单元结点力向量,单元体积力向量,单元边界外力向量,1.单元位移,代入上式,得,设单元内位移为,在单元结点处有,解方程,得,其中,三角形面积,1.单元位移,代入上式,得,设单元内位移为,在单元结点处
9、有,解方程,得,其中,三角形面积,其中,整理后,得,1.单元位移,其中,整理后,得,其中,同理,1.单元位移,其中,同理,-形函数矩阵,-形函数,2.形函数的性质,-形函数矩阵,-形函数,若,则,.,.,若,则,由此可知:所设位移可反应单元的刚体位移.,以i、j边为例：,i、j边的直线方程为,=常数=0,由此性质可知：单元间的位移是协调的。,在i、j边上,3.解答的收敛性,随着单元的越划越小,解答趋于精确解.-收敛,得,由几何方程,为了保证收敛,所设位移应满足如下条件:,位移模式应包含刚体位移和常应变状态.-完备条件,.,应保证相邻单元的位移协调. -协调条件,.,条件1是收敛的必要条件.,条
10、件1、2是收敛的充分条件.,常应变三角形单元是完备协调单元,4.单元的应力与应变,其中,应变矩阵,其中,常数矩阵 单元内应变为常数,由物理方程,4.单元的应力与应变,其中,应力矩阵,对于平面应力问题,设单元结点发生虚位移,5.单元特性分析,单元内任一点虚位移为,虚应变为,应力在虚应变上作的功为,外力在虚位移上作的功为,-单元刚度方程,-单元刚度方程,-单元刚度矩阵,-单元刚度矩阵,-单元等效结点荷载,单元刚度矩阵的性质：1）对称性2）奇异性,1.不需作坐标转换。,三.整体分析,2.结构刚度矩阵的形成与杆系相同。,3.结构荷载列阵由单元等效结点荷载对号入座形成。,或由静力等效直接化成结点荷载,4
11、.边界处理与矩阵位移法相同。,5.解方程求结点位移。,6.单元应力计算,四.算例,见教材93页例题5-1,作业：115页5-15-5,五.采用面积坐标时的单元分析,1 .面积坐标,三角形单元中任一点P 可用直角坐标 (x , y)表示。,连P i、 P j、 P k，则可得三个小三角形。它们和 大三角形123的面积比，记作,由于 Li+ Lj + Lk = 1，只有两个是独立的。 三角形中任一点P 的位置可用面积坐标Li、 Lj 确定。,当P 点在i结点时Lj = Lk= 0， Li= 1。余类推。,可见面积坐标具有“形函数”的性质。,Li+ Lj + Lk=1,五.采用面积坐标时的单元分析,
12、2 .位移模式,由于面积坐标有形函数性质，因此根据试凑法可得到形函数矩阵。,形函数 Ni=Li 面积坐标,如果结点 i 位移为ui、vi，（i=i，j，k）则单元位移模式（位移场）为,u= Niui ； v= Nivi,面积坐标和直角坐标关系:,后面的分析过程与结果与 前面广义坐标法一致.,3.1 常应变三角形单元,3 平面问题的有限元分析,一.离散化,单元结点位移向量,3.2 矩形双线性单元,单元结点力向量,同理,有,二.单元分析,若用广义坐标法,则与三角形单元类似的可得到,下面用试凑法确定形函数矩阵,1.单元位移,设单元内位移为,令,由形函数性质,可设,正则(自然) 坐标系,或,思考题:这
13、种单元是收敛的单元吗?为什么?,2.单元应力与应变,2.单元应力与应变,应变矩阵,应变矩阵,应力矩阵,对于平面应力问题,应力矩阵,对于平面应力问题,从应变矩阵和应力矩阵可见:单元内应力和应变沿x方向是线性变化的, 沿y向也是线性变化的.,这是由所设位移模式所决定的.,3.单元刚度矩阵和单元等效结点荷载,用虚位移原理或势能原理可推得,对于平面应力问题,三.算例见教材98页例题5-2、99页例题5-3,一.结点的选择和单元划分,1.集中力作用点、分布力突变点、支承点应选作结点。,3.3 有限元分析应注意的问题和结果整理,2.不同厚度、不同材料的部分不应划在同一个单元。,3.应力变化大处单元应密集一
14、些。结点的多少与疏密要考虑计算机的容量和计算精度。,4.单元边界的边长之比应尽可能靠近1。,5.相邻单元的尺寸尽可能接近。,6.结点所连接的单元个数尽可能一致。,二.结点编码,尽可能使相关结点的结点编码差值最小.,总刚半带宽=(相关结点最大差值+1)*结点位移数,总刚半带宽=(7+1)*2=16,总刚需占用的存贮空间为:16 *14*2=448,总刚半带宽=(2+1)*2=6,总刚需占用的存贮空间为:6 *14*2=168,三.充分利用结构的对称性,四.应力结果的整理,位移的计算结果一般比应力、内力结果精度高。位移达到满意结果，由几何方程求应变，再由物理方程求应力，结果的精度较差。上述三角形单元为常应力，矩形单元应力线性变化，而工程问题的应力是比较复杂的。为更好地反应实际应力情况，需要对计算结果进行整理。常用处理方法有两种:绕结点平均法和两单元平均法。,1.绕结点平均法,以交于同一结点各单元此结点处某应力分量的代数平均值，作为此结点该实际应力的近似值。对于边界处的结点，由内结点结果的外得到。,结点4的应力由结点1、2、3的应力 外插得到,2.两单元平均法,三角形单元时，以两相邻单元应力平均值作为边中点的应力近似值。矩形单元时，以两相邻单元公共边两端结点四个应力的平均值作为边中点的应力近似值。对于边界处的结点，同样由内结点结果的外插得到。,
