1、一、平面度误差的测量 平面度误差是指被测实际表面对其理想平面的变动量。 平面度误差是将被测实际表面与理想平面进行比较，两者之间的线值距离即为平面度误差值；或通过测量实际表面上若干点的相对高度差，再换算以线值表示的平面度误差值。 平面度误差测量的常用方法有如下几种： 1、平晶干涉法：用光学平晶的工作面体现理想平面，直接以干涉条纹的弯曲程度确定被测表面的平面度误差值。主要用于测量小平面，如量规的工作面和千分尺测头测量面的平面度误差。 2、打表测量法：打表测量法是将被测零件和测微计放在标准平板上，以标准平板作为测量基准面，用测微计沿实际表面逐点或沿几条直线方向进行测量。打表测量法按评定基准面分为三点
2、法和对角线法：三点法是用被测实际表面上相距最远的三点所决定的理想平面作为评定基准面，实测时先将被测实际表面上相距最远的三点调整到与标准平板等高；对角线法实测时先将实际表面上的四个角点按对角线调整到两两等高。然后用测微计进行测量，测微计在整个实际表面上测得的最大变动量即为该实际表面的平面度误差。 3、液平面法：液平面法是用液平面作为测量基准面，液平面由 “连通罐”内的液面构成，然后用传感器进行测量。此法主要用于测量大平面的平面度误差。4、光束平面法：光束平面法是采用准值望远镜和瞄准靶镜进行测量，选择实际表面上相距最远的三个点形成的光束平面作为平面度误差的测量基准面。 除上述方法可测量平面度误差外
3、，还有采用平面干涉仪、水平仪、自准直仪等用于测量大型平面的平面度误差。二、平面度误差的评定方法 平面度误差的评定方法有：三远点法、对角线法、最小二乘法和最小区域法等四种。 1、三远点法：是以通过实际被测表面上相距最远的三点所组成的平面作为评定基准面，以平行于此基准面，且具有最小距离的两包容平面间的距离作为平面度误差值。 2、对角线法：是以通过实际被测表面上的一条对角线，且平行于另一条对角线所作的评定基准面，以平行于此基准面且具有最小距离的两包容平面间的距离作为平面度误差值。 3、最小二乘法：是以实际被测表面的最小二乘平面作为评定基准面，以平行于最小二乘平面，且具有最小距离的两包容平面间的距离作
4、为平面度误差值。最小二乘平面是使实际被测表面上各点与该平面的距离的平方和为最小的平面。此法计算较为复杂，一般均需计算机处理。 4、最小区域法：是以包容实际被测表面的最小包容区域的宽度作为平面度误差值，是符合平面度误差定义的评定方法。 三、平面度误差的数据处理 由上述平面度误差的测量方法和评定方法阐述可知，测量方法和评定方法不同，数据处理的方法也不相同。选定某一测量方法和评定方法，可能直接得到实际表面的平面度误差值，如采用打表法进行测量，再用对角线法评定其平面度误差，则可不必进行数据处理，可直接得到测量结果；采用水平仪进行测量，则不论采用何种评定方法，均需进行数据处理；而对于任何一种测量方法，如
5、果按最小区域法来评定其平面度误差，都必须进行数据处理才能得到平面度误差值。 另外，还应注意到，测量基准面和评定基准面一般是不重合的（或说不平行的）。尤其是符合最小条件的评定基准面的位置是按实际表面的形状确定的，不可能在测量之前预先确定，如图一所示。且测量所得到的原始数据中的最大值与最小值并不一定是实际表面上的最高点和最低点，故在数据处理之前，一般应根据所测数据对实际表面的形状特征进行大致分析，初步判断实际表面是凸形、凹形、鞍形或其它复杂形态，以免过多重复计算花费时间，必要时还可画出其数据空间分布示意图，进而确定其评定基准面。 数据处理方法有：解析法、坐标变换法和投影作图法等。其中坐标变换法对数
6、据处理带有一般性，应该熟练掌握。 坐标变换法是将被测实际表面上各点对测量基准面的坐标值，转换为与评定方法相对应的评定基准面的坐标值。由于评定基准面的旋转可使各测得值产生不同的变化，从而获得不同的评定结果。坐标变换法又称为旋转法，其实质是在测得数据上加上一对应的等差数列。各测点的旋转量如图二所示。 当采用最小区域法评定实际表面的平面度误差时，最小区域法判别准则亦应熟练掌握，才能在数据处理之前做到胸有成竹，避免过多重复计算而少走弯路。平面度最小区域的判别准则是：由两平行平面包容实际被测要素时，实现至少三点或四点接触，且具有下列形式之一者，即为最小区域 最大值与最小值可直接得到被测表面的平面度误差值
7、为： f1= 90-(-50)=140m。 2、三远点法确定平面度误差 选择 a3、b1、c 2 三点组成的三角形作为评定基准面，采用旋 转法将此三点旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋转量与原始 数据各对应点相加，可得评定数据如图五所示。 建立方程组： 解之得： 由评定数据可知，过最高点 b2 115 和最低点 a1=0，可作两包容平面且平行 a 3=b1=c3=5 组成的三角形评定基准面，则被测实际表面的平面度误差值为：f 2 =115 - 0 =115m。 3、最小包容区域法确定平面度误差 由原始数据分析，实际表面为凸型，可实现三角形准则，今选择 a1、a3、c2 三点组成的三角形平面作为
8、一个包容平面，采用旋转法将此三点旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋转量与原始数据各对应点相加，可得评定数据如图六所示。 建立方程组： 解之得： 由评定数据可知，最高点 b2 =111.75，最低点 a1=a3=c2 =0，其余各点的坐标值均在最高点与最低点之间，过最高点和最低点作两包容平行平面，符合最小包容区域的准则，故被测实际表面的平面度误差值为：f3=111.75 - 0=111.75m.。 例二、用水平仪测量某实际表面的平面度误差，所测数据按测量顺序累积后，各测点坐标值（单位：m），如图七所示，试确定其平面度误差值。 解：采用水平仪测量，不可能直接得到测量结果，现采用坐标变换法进行数据处
9、理，以适用不同评定方法获得实际表面的平面度误差值。 1、 对角线法确定平面度误差 将两对角线的测得值旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋转量与 最大值与最小值可直接得到被测表面的平面度误差值为： f1= 90-(-50)=140m。 2、三远点法确定平面度误差 选择 a3、b1、c 2 三点组成的三角形作为评定基准面，采用旋 转法将此三点旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋转量与原始 数据各对应点相加，可得评定数据如图五所示。 建立方程组： 解之得： 由评定数据可知，过最高点 b2 115 和最低点 a1=0，可作两包容平面且平行 a 3=b1=c3=5 组成的三角形评定基准面，则被测实际表面的平
10、面度误差值为：f 2 =115 - 0 =115m。 3、最小包容区域法确定平面度误差 由原始数据分析，实际表面为凸型，可实现三角形准则，今选择 a1、a3、c2 三点组成的三角形平面作为一个包容平面，采用旋转法将此三点旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋转量与原始数据各对应点相加，可得评定数据如图六所示。 建立方程组： 解之得： 1、一个最高（低）点在另一包容平面上的投影位于三个最低（高）点所形成的三角形区域内，称为三角形的准则，如图三（a）、（b）所示。 2、两个最高点的连线与两个最低点的连线在包容平面上的投影相交，称为交叉准则，如图三（c）所示。 3、一个最高（低）点在另一个包容平面上的投
11、影位于两个最低（高）点的连线上，称为直线准则。如图三（d）所示，直线准则是三角形准则和交叉准则的特殊情况 四、举例 例一、用打表法测量某实际表面的平面度误差数据（单位 m） ，如图四所示，试确定其平面度误差值。 解：1、对角线法确定平面度误差 因实测数据两对角线已等高，不必再进行数据处理，根据实测数据的由评定数据可知，最高点 b2 =111.75，最低点 a1=a3=c2 =0，其余各点的坐标值均在最高点与最低点之间，过最高点和最低点作两包容平行平面，符合最小包容区域的准则，故被测实际表面的平面度误差值为：f3=111.75 - 0=111.75m.。 例二、用水平仪测量某实际表面的平面度误差
12、，所测数据按测量顺序累积后，各测点坐标值（单位：m） ，如图七所示，试确定其平面度误差值。 解：采用水平仪测量，不可能直接得到测量结果，现采用坐标变换法进行数据处理，以适用不同评定方法获得实际表面的平面度误差值。 1、 对角线法确定平面度误差 将两对角线的测得值旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋转量与原始数据各对应点相加，可得评定数据如图八所示。 建立方程组： 解之得： 根据评定数据可得被测实际表面的平面度误差值为：f 1=37-(-7.5)=44.5m。 2、三远点法确定平面度误差 选择 a2、b1、c 3 三点组成的三角形作为评定基准面，采用旋转法将此三点旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋
13、转量与原始数据各对应点相加，可得评定数据如图九所示。 建立方程组： 解之得： 小包容区域准则，不在交叉线上的其余点均可落在此包容区域内，故实际被测表面的平面度误差值为：f3=32-(-10)=42m。 例三、某被测实际表面的平面度误差数据（单位：m） ，如图十一所示，数据处理采用投影作图法，试按最小包容区域法评定其平面度误差值。 解：投影作图法实质是画法几何基础理论中的投影变换法，其中有换面法和旋转法。将实测数据置于投影体系中，对选定的评定基准面变换成某投影面的垂直面，即可根据相应的评定方法确定被测实际表面的平面度误差值。 根据被测实际表面的原始数据判断为凸形表面，可实现三角形准则。画出各测点
14、的空间分布示意图，如图十二所示。选择 a 3、b1、c2 三点组成一个三角形包容平面，若过最高点 b 2 作另一包容平面，则可实现最小包容区域准则。 今采用换面法确定其平面度误差，将各测点向 V/H 投影体系中进行投影，并将 a3、b1、c2 三点组成的三角形平面变换成 V1/H 新投影体系中的垂直面，其余测点都向 V1 面投影，过最高点 b 2 作平行线与垂直面平行，可见其余测点均在两平行线之间，如图十三所示。则被测实际表面的平面度误差为两平行线之间的坐标值：f=54m。 若采用投影变换法中的旋转法亦可确定其平面度误差值，在此不再赘述。 由以上三例分析计算可知，数据处理采用坐标变换旋转法对各
15、种评定方法带有普遍性，在多作练习和理解之后不难掌握，投影作图法有一定的直观性，当按最小区域法评定平面度误差时，能较方便地确定基准包容平面。当然实际测量中，所测数据可能多于 9 个 ，且数值不一定是简单的整数值，故数据处理还是比较繁复的。平面度误差的测量一、实验目的1. 了解平面度误差的测量原理及千分表的使用方法。2. 掌握平面度误差的评定方法及数据处理。二、实验内容用千分表测量平面度误差。三、测量原理平面度公差用以限制平面的形状误差。其公差带是距离为公差值的两平行平面之间的区域。并规定，理想形状的位置应符合最小条件，常见的平面度测量方法有用指示表测量、用光学平晶测量平面度、用水平仪测量平面度及
16、用自准仪和反射镜测量平面度误差，用各种不同的方法测得的平面度测值，应进行数据处理，然后按一定的评定准则处理结果。平面度误差的评定方法有；1. 最小包容区域法，由两平行平面包容实际被测要素时，实现至少四点或三点接触。且具有下列形式之一者，即为最小包容区域，其平面度误差值最小。最小包容区域的判别方法有下列三种形式。(1)两平行平面包容被测表面时，被测表面上有 3 个最低点(或 3 个最高点)及 1 个最高点(或 1 个最低点)分别与两包容平面接触，并且最高点(或最低点) 能投影到 3 个最低点( 或 3 个最高点)之间，则这两个平行平面符合最小包容区原则。见图 1(a)所示。(2)被测表面上有 2
17、 个最高点和 2 个最低点分别与两个平行的包容面相接触，并且 2 个最高点投影于 2 个低点连线之两侧。则两个平行平面符合于平面度最小包容区原则。见图 1(b)所示。(3)被测表面的同一截面内有 2 个最高点及 1 个低点(或相反) 分别和两个平行的包容面相接触。则该两平行平面符合于平面度最小包容区原则，如图 1(c)所示。图 1 平面度误差的最小区域判别法三角形法是以通过被测表面上相距最远且不在一条直线上的 3 个点建立一个基准平面，各测点对此平面的偏差中最大值与最小值的绝对值之和为平面度误差。实测时，可以在被测表面上找到 3 个等高点，并且调到零。在被测表面上按布点测量，与三角形基准平面相
18、距最远的最高和最低点间的距离为平面度误差值。2. 对角线法是通过被测表面的一条对角线作另一条对角线的平行平面，该平面即为基准平面。偏离此平面的最大值和最小值的绝对值之和为平面度误差。四、实验步骤检测:工具：平板、带千分表的测量架等。检测时，将被测零件放在平板上，带千分表的测量架放在平板上，并使千分表测量头垂直地指向被测零件表面，压表并调整表盘，使指针指在零位。然后，按(图 2)所示，将被测平板沿纵横方向均布画好网格，四周离边缘 10mm，其画线的交点为测量的 9 个点。同时记录各点的读数值。全部被测点的测量值取得后，按对角线法求出平面度误差值。图 2五、数据处理1. 数据处理 数据处理的方法有
19、多种，有计算法、作图法等。下面介绍用对角线法求取平面度误差值的方法。图 3(1)令 图 3 中的 为旋转轴，旋转量为 。则有图 4(2)令图 4 中的 为旋转轴，旋转量为 。则有+ + + + + 图 5(3)按对角线上两个值相等列出下列方程，求旋转量 P 和 Q 把求出的 和 代入图 5 中。按最大最小读数值之差来确定被测表面的平面度误差值。2. 例题用千分表按图 2 所示的布线方式测得 9 点，其读数如图 6(a)所示。用对角线法确定平面度误差。0 6 16 0 5.5 157 3 7 9.5 1 8.510 12 4 15 7.5 0 图 6( a ) 图 6(b) 04 2P2Q162
20、P 102Q解得：P0.5Q2.5将各点的旋转量与图 6(a)中的对应点的值想加，即得经坐标变换后的各点坐标值。如图 6(b)所示，由图 6(b)可见 和 等高(0)； 和 等高(15) ，则平面度误差值为：7.5(15)22.5(um)根据压力表产生测量误差的原因，可以将其分为系统误差、偶然误差和疏失误差三大类。 1、 系统误差 能够保持恒定不变或按照一定规律变化的测量误差，称为系统误差。系统误差主要是由于测量设备、测量方法的不完善和测量条件的不稳定而引起的。由于系统误差表示了测量结果偏离其真实值的程度，即反映了测量结果的准确度，所以在误差理论中，经常用准确度来表示系统误差的大小。系统误差越
21、小，测量结果的准确度就越高。 2、 偶然误差 偶然误差又称随机误差，是一种大小和符号都不确定的误差，即在同一条件下对同一被测量重复测量时，各次测量结果服从某种统计分布；这种误差的处理依据概率统计方法。产生偶然误差的原因很多，如温度、磁场、电源频率等的偶然变化等都可能引起这种误差；另一方面观测者本身感官分辨能力的限制，也是偶然误差的一个来源。偶然误差反映了测量的精密度，偶然误差越小，精密度就越高，反之则精密度越低。 系统误差和偶然误差是两类性质完全不同的误差。系统误差反映在一定条件下误差出现的必然性；而偶然则反映在一定条件下误差出现的可能性。 3、 疏失误差 疏失误差是测量过程中操作、读数、记录
22、和计算等方面的错误所引起的误差。显然，凡是含有疏失误差的测量结果都是应该摈弃的。 解决方法： 仪表测量误差是不可能绝对消除的，但要尽可能减小误差对测量结果的影响，使其减小到允许的范围内。 消除测量误差，应根据误差的来源和性质，采取相应的措施和方法。必须指出，一个测量结果中既存在系统误差，又存在偶然误差，要截然区分两者是不容易的。所以应根据测量的要求和两者对测量结果的影响程度，选择消除方法。一般情况下，在对精密度要求不高的工程测量中，主要考虑对系统误差的消除；而在科研、计量等对测量准确度和精密度要求较高的测量中，必须同时考虑消除上述两种误差。 1、 系统误差的消除方法 (1) 对测量仪表进行校正
23、 在准确度要求较高的测量结果中，引入校正值进行修正。 (2) 消除产生误差的根源 即正确选择测量方法和测量仪器，尽量使测量仪表在规定的使用条件下工作，消除各种外界因素造成的影响。 采用特殊的测量方法 如正负误差补偿法、替代法等。例如，用电流表测量电流时，考虑到外磁场对读数的影响，可以把电流表转动180 度，进行两次测量。在两次测量中，必然出现一次读数偏大，而另一次读数偏小，取两次读数的平均值作为测量结果，其正负误差抵消，可以有效地消除外磁场对测量的影响。 2、 偶然误差的消除方法 消除偶然误差可采用在同一条件下，对被测量进行足够多次的重复测量，取其平均值作为测量结果的方法。根据统计学原理可知，
24、在足够多次的重复测量中，正误差和负误差出现的可能性几乎相同，因此偶然误差的平均值几乎为零。所以，在测量仪器仪表选定以后，测量次数是保证测量精密度的前提。 第一章 测量误差及数据处理 物理实验的任务不仅是定性地观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理量。而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。本章将从测量及误差的定义开始，逐步介绍有关误差和实验数据处理的方法和基本知识。误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内容，是不可分割的两部分。误差理论是一门独立的学科。随着科学技术事业的发展，近年来误差理论基本的概念和处理方法也有很大发
25、展。误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。对低年级大学生，这部分内容难度较大，本课程尽限于介绍误差分析的初步知识，着重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证，减小学生学习的难度，有利于学好物理实验这门基础课程。第一节 测量与误差 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量，以取得物理量数据的表征。对物理量进行测量，是物理实验中极其重要的一个
26、组成部分。对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论，这个比较的过程就叫做测量。例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得。比较的结果记录下来就叫做实验数据。测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。 国际上规定了七个物理量的单位为基本单位。其它物理量的单位则是由以上基本单位按一定的计算关系式导出的。因此，除基本单位之外的其余单位均称它们为导出单位。如以上提到的速度以及经常遇到的
27、力、电压、电阻等物理量的单位都是导出单位。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 测量可以分为两类。按照测量结果获得的方法来分，可将测量分为直接测量和间接测量两类，而从测量条件是否相同来分，又有所谓等精度测量和不等精度测量。 根据测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量就是把待测量与标准量直接比较得
28、出结果。如用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用电流表测量电流等，都是直接测量。间接测量借助函数关系由直接测量的结果计算出所谓的物理量。例如已知了路程和时间，根据速度、时间和路程之间的关系求出的速度就是间接测量。 一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如电能的测量本来是间接测量，现在也可以用电度表来进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。 根据测量条件来分，有等精度测量和非等精度测量。等精度测量是指在同一（相同）条件下进行的多次测量，如同一个人，用同一台仪器，每次测量时周围
29、环境条件相同，等精度测量每次测量的可靠程度相同。反之，若每次测量时的条件不同，或测量仪器改变，或测量方法、条件改变。这样所进行的一系列测量叫做非等精度测量，非等精度测量的结果，其可靠程度自然也不相同。物理实验中大多采用等精度测量。应该指出：重复测量必须是重复进行测量的整个操作过程，而不是仅仅为重复读数。 测量仪器是进行测量的必要工具。熟悉仪器性能。掌握仪器的使用方法及正确进行读数，是每个测量者必备的基础知识。如下简单介绍仪器精密度、准确度和量程等基本概念。 仪器精密度是指仪器的最小分度相当的物理量。仪器最小的分度越小，所测量物理量的位数就越多，仪器精密度就越高。对测量读数最小一位的取值，一般来
30、讲应在仪器最小分度范围内再进行估计读出一位数字。如具有毫米分度的米尺，其精密度为 1 毫米，应该估计读出到毫米的十分位；螺旋测微器的精密度为 0.01 毫米，应该估计读出到毫米的千分位。 仪器准确度是指仪器测量读数的可靠程度。它一般标在仪器上或写在仪器说明书上。如电学仪表所标示的级别就是该仪器的准确度。对于没有标明准确度的仪器，可粗略地取仪器最小的分度数值或最小分度数值的一半，一般对连续读数的仪器取最小分度数值的一半，对非连续读数的仪器取最小的分度数值。在制造仪器时，其最小的分度数值是受仪器准确度约束的，对不同的仪器准确度是不一样的，对测量长度的常用仪器米尺、游标卡尺和螺旋测微器它们的仪器准确
31、度依次提高。 量程是指仪器所能测量的物理量最大值和最小值之差，即仪器的测量范围（有时也将所能测量的最大值称量程）测量过程中，超过仪器量程使用仪器是不允许的，轻则仪器准确度降低，使用寿命缩短，重则损坏仪器。 误差与偏差 测量的目的就是为了得到被测物理量所具有的客观真实数据，但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，只能获得该物理量的近似值，也就是说，一个被测量值 N 与真值 N0 之间总是存在着这种差值，这种差值称为测量误差，即 NNN0 显然误差 N 有正负之分，因为它是指与真值的差值，常称为绝对误差。注意，绝对误差不是误差的绝对值！ 误差存在于一切测量之中，测量与误
32、差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验中的一项重要工作，也是实验的基本技能。实验总是根据对测量结果误差限度的一定要求来制定方案和选用仪器的，不要以为仪器精度越高越好。因为测量的误差是各个因素所引起的误差的总合，要以最小的代价来取得最好的结果，要合理的设计实验方案，选择仪器，确定采用这种或那种测量方法。如比较法、替代法、天平复称法等，都是为了减小测量误差；对测量公式进行这样或那样的修正，也是为了减少某些误差的影响；在调节仪器时，如调仪器使其处于铅直、水平状态，要考虑到什么程度才能使它的偏离对实验结果造成的影响可以忽略不计；电表接入
33、电路和选择量程都要考虑到引起误差的大小。在测量过程中某些对结果影响大的关键量，就要努力想办法将它测准；有的测量不太准确对结果没有什么影响，就不必花太多的时间和精力去对待，在进行处理数据时，某个数据取到多少位，怎样使用近似公式，作图时坐标比例、尺寸大小怎样选取，如何求直线的斜率等，都要考虑到引入误差的大小。 由于客观条件所限、人们认识的局限性，测量不可能获得待测量的真值，只能是近似值。设某个物理量真值为 x0 ，进行 n 次等精度测量，测量值分别为 x1，x2， xn，（测量过程无明显的系统误差） 。它们的误差为 ?x = x - x 1 1 0?x = x - x 2 2 0 ?x = x - xn n 0求和 n n?x = x -nx i i 0i=1 i=1即 n n?x x i ii=1 i=1= - x 0n nnn?x x i ii=1 i=1当测量次数 n，可以证明 0, 而且 = x 是 x0 的最佳估计值，称 x 为测n n量值的近似真实值。为了估计误差，定义测量值与近似真实值的差值为偏差：即?x = x - x 。偏差又叫做 “残差” 。实验中真值得不到，因此误差也无法知道，而测i i量的偏差可以准确知道，实验误差分析中要经常计算这种偏差，用偏差来描述测量结果的精确程度。
