1、统计物理(4),微电子与固体电子学院张继华,基本原理微观量与宏观量的联系,上堂课回顾,从统计物理讨论物质的客观性质，主要在分子、原子层次.如果能够忽略量子效应，则可称作宏观，如果不能忽略则认为是微观。,定域粒子非定域粒子(近)独立粒子非独立粒子,自由度：确定体系中粒子位置的独立参量广义坐标：描述体系空间状态的坐标参数qk广义速度：广义动量：,几个惯用术语,物质的微观结构,统计系统的分类,粒子的自由度f:,1. 粒子运动的经典描述,子相空间,N个粒子的系统，由N个子相空间构成的空间称为相空间，有2Nf 维。,每个状态可表示为该量子数空间中的一个点单粒子状态空间(相空间),2. 粒子运动的量子描述
2、,测不准关系,微观粒子不可能有确定的动量和坐标,量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描述，由一组量子数来表征，量子数的数目即粒子的自由度数。,hrqp,例1. 自旋系统，一个量子数n (1 OR -1),例2. 1D谐振子系统，一个量子数n =0，1，2，3，,例1、例2,对独立粒子体系，系统的状态(1)可用各单粒子状态数的集合表示(2)系统能量表现为各单粒子能量之和,自旋系统的量子数只能取有限个数值，因而微观态总数有限除自旋系统外，一般系统的量子数可取无穷多个值，没有上限，微观态总数也为无限，这样的系统称为正常系统。,体系的微观状态是指体系在某一瞬间的状态在经典力学中体系的微观状态用相空
3、间来描述；在量子力学中体系的微观状态用波函数来描述。 系统多达1023个粒子，不可能逐一描述。平衡系统只需利用少数几个宏观可测参量( T、P、V、U 等)就可描述其宏观性质 。这样确定的状态称为体系的宏观态,5.3.2 体系宏观态,例题的简单模型中，每个具有确定能量的状态就是系统的宏观态。宏观态可根据宏观可测的力学量区分，而不必深究其量子数的组合形式。,简并度通常与宏观态的各宏观参量有关简并函数,设系统能量在E到E+dE之间的微观态数目为d= (E)dE。,(E)随E的增大迅速增大,例2,通常一个宏观态可以包含许多微观态宏观态的简并度,(E)能量态密度，能量在E附近的单位能量上的状态数,对自由
4、度（所有粒子自由度之和）为f的正常系统，,宏观态与微观态的关系,每一个具体分布（量子态 量子数） 微观态 每一种分布（宏观可区分） 宏观态量子数不同 能量相同, 能级 每一种宏观态内微观态数目(属于相同能级的量子态数目) 简并度（1）4粒子二态自旋系统 微观态总数= 24 = 16； i = 1，4，6，4，1,在量子力学中，微观粒子的能量是不连续的能级。如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的，一个能级的量子态数称为该能级的简并度。如果一个能级只有一个量子态，该能级称为非简并的。,线性谐振子En=(n+1/2)，n=0,1,2,3 所有能级等间距均为，能级非简并。单粒子多量子数 OR
5、 多粒子系统 简并,Why 微观态？,5.3.3 宏观量与微观量的联系,1.宏观量从整体上描述系统的状态. 一般可以直接测量。如压强P、体积V、温度T等。2. 微观量描述系统内微观粒子的物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量等。3. 微观量与宏观量有一定的内在联系宏观量是微观量的统计平均值统计力学基本观点。 系统微观状态频繁变化，观测到的只能是大量微观态的平均值。,大量自由度，实际不可能求解,How？,4. 各态经历假设,只要知道系统处于每一微观态的几率即可,统计力学的任务：由系统微观结构确定微观量Ai及其分布函数i，然后求平均得出系统宏观态。,5. 分布函数,（E,V,N）不变的孤立系
6、统微正则分布。（T,V,N）不变的恒温系统正则分布。（T,V,m）不变的开放系统巨正则分布。,6. 最可几宏观态：出现几率最大的宏观态。最可几宏观态对应于热力学的平衡态。系统在最可几宏观态中的物理量值可作为系统的状态参量值。【例1二态自旋系统】统计力学问题归结为：对一个具体的系统，在满足一定的条件下，由微观结构模型求出各微观态出现的几率（分布函数），再由分布函数建立微观结构与宏观量之间的联系。,1. 概率(几率Probability),随机事件i 出现的几率Pi 满足,补充：概率论基本结论,2. 概率分布,a.离散变量：,b.连续变量,3. 统计平均值,a.离散型:,b.连续型：,4. 排列与
7、组合,从N个元素的集合中任意取出n个不计顺序的元素称为一个组合。,5. Stirling公式取对数得：lnm!=m(lnm-1)+1/2ln(2m)当m足够大， 1/2ln(2m)可忽略，即lnm!=m(lnm-1)或 m!=mme-m,例3 N个粒子组成的二态自旋系统的简并函数。,例4 N 分子在两个等容器中的分布情况,n,N-n, = 2N,有n个分子在左边的宏观态包含的微观态数（简并度）：,系统所有可能的微观态数：,N = 10,最可几分布 (10,5) 简并度最大 体系 不平衡 平衡 简并度小 大,N 很大时， (N, N/2) (均匀分布) 与 十分接近,(N,N/2) = = St
8、irling 公式，N! = NN e-N (N 很大）(N,N/2) = 2N = ln (N,N/2) 与 ln 更接近,(N/2)!(N/2)!,N!,N!,(N/2)!2,NN e-N, (N/2)N/2 e-N/2 2,小 结,三大力学 量子力学 （微观性质） 热力学 （热力学函数） 统计力学（热力学与量子力学的联系）如何进行统计 ？,宏观量与微观量,宏观物体的任何性质总是微观粒子运动的宏观反映: 宏观量是微观量的统计平均值,质量 mi 动能 i 势能Ui转动惯量Ii振动频率i速率v,统计 平均,温度 T 压力 p 质量 m 熵 S 内能 U Gibbs 自由能G,统计热力学的目的就是从组成系统的微观性质出发, 用统计的方法说明、计算或预言平衡系统的热力学性质, 从而揭示物质的运动本质.,微观量,宏观量,各态经历假设当实验测定某种宏观性质时, 总是需要一定的时间. 虽然时间很短, 但所有可能的微观态全部经历过, 因此测得的数值是观察时间间隔内相应微观量对所有微观态的平均值.统计力学问题归结为：对一个具体的系统，在满足一定的条件下，由微观结构模型求出各微观态出现的几率（分布函数），再由分布函数建立微观结构与宏观量之间的联系。,最可几宏观态出现几率最大的宏观态。最可几宏观态对应于热力学的平衡态。系统在最可几宏观态中的物理量值可作为系统的状态参量。,
