1、1第 6 节 习题课 天体运动学考报告考试要求学考 选考知识内容 天体运动c c基本要求1.掌握解决天体运动问题的思路和方法2.理解赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别3.会分析卫星(或飞船)的变轨问题发展要求 掌握双星的运动特点及其问题的分析基 础 梳 理1.一种模型无论自然天体(如地球)还是人造天体(如宇宙飞船)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。2.两条思路(1)在中心天体表面或附近时，万有引力近似等于重力，即 G mg(g 表示天体表面的重力MmR2加速度)，此式两个用途： GM gR2，称为黄金代换法；求 g ，从而把万有引力定GMR2律与运动学公式相结合解题。(2
2、)天体运动的向心力来源于中心天体的万有引力，即 G m mr 2 m r man。Mmr2 v2r 4 2T2典 例 精 析【例 1】 地球半径为 R0，地面重力加速度为 g，若卫星在距地面 R0处做匀速圆周运动，则( )A.卫星速度为 B.卫星的角速度为R0g2 g8R0C.卫星的加速度为 D.卫星周期为 2g2 2R0g2解析 由 man m m 2(2R0) m (2R0)及 GM gR ，可得卫星的向心加速GMm（ 2R0） 2 v22R0 4 2T2 20度 an ，角速度 ，线速度 v ，周期 T2 ，所以 A、C、D 错误，Bg4 g8R0 2R0g2 8R0g正确。答案 B基
3、础 梳 理1.三个物体求解卫星运行问题时，一定要认清三个物体(赤道上的物体、近地卫星、同步卫星)之间的关系。比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星向心力来源 万有引力的分力 万有引力向心力方向 指向地心重力与万有引力的关系重力略小于万有引力 重力等于万有引力v1 1R v2GMR v3 3(R h)GMR h线速度v1v2v3 B.v1a2a3 D.a1v1 r 1，选项 A、B 均错误；由 G ma，得 a ，同步卫星 q 的轨道半径大Mmr2 GMr2于近地资源卫星 p 的轨道半径，可知 q 的向心加速度 a3m ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心Mmr2 v2r运动，卫星
4、的发射和回收就是利用这一原理。3.卫星到达椭圆轨道与圆轨道的公切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同。4.飞船对接问题：两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上，目标船处于较高轨道，在较低轨道上运动的对接船通过合理地加速，做离心运动而追上目标船与其完成对接。典 例 精 析【例 3】 2013 年 5 月 2 日凌晨 0 时 06 分，我国“中星 11 号”通信卫星发射成功。 “中星11 号”是一颗地球同步卫星，它主要用于为亚太地区等区域用户提供商业通信服务。如图2 为发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后经点火，使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨
5、道 3。轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相切于 P 点，则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )图 2A.卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率B.卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 1 上的角速度C.卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的速度D.卫星在轨道 2 上经过 P 点时的速度大于它在轨道 3 上经过 P 点时的速度解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：G m ， v ，因为 r1 r3，所以 v1 v3，由 得 1 3。在 Q 点，卫星沿着圆Mmr2 v2r GMr vr轨道 1 运行与沿着椭圆
6、轨道 2 运行时所受的万有引力相等，在圆轨道 1 上引力刚好等于向心力，即 F 。而在椭圆轨道 2 上卫星做离心运动，说明引力不足以提供卫星以 v2速率运行时所需的向心力，即 F ，所以 v2 v1。卫星在椭圆轨道 2 上运行到远地点 P时，根据机械能守恒可知此时的速率 v2 v2，在 P 点卫星沿椭圆轨道 2 运行与沿着圆轨道 3 运行时所受的地球引力也相等，但是卫星在椭圆轨道 2 上做近心运动，说明 F m5，卫星在圆轨道 3 上运行时，引力刚好等于向心力，即 F m ，所以v2 2rv2 v3。由以上可知，速率从大到小排列为： v2 v1 v3 v2。答案 B即 学 即 练探测器绕月球做
7、匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )A.轨道半径变小 B.向心加速度变小C.线速度变小 D.角速度变小解析 由 G m 知 T2 ，变轨后 T 减小，则 r 减小，故选项 A 正确；由Mmr2 4 2rT2 r3GMG man知 r 减小， an变大，故选项 B 错误；由 G m 知 v ， r 减小， v 变大，故Mmr2 Mmr2 v2r GMr选项 C 错误；由 知 T 减小， 变大，故选项 D 错误。2T答案 A典 例 精 析【例 4】 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点 O 为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保
8、持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星” ，如图 3所示。已知双星的质量分别为 m1和 m2，它们之间的距离为 L，求双星的运行轨道半径 r1和 r2及运行周期 T。图 3解析 双星间的引力提供了各自做圆周运动的向心力对 m1： m1 2r1，Gm1m2L2对 m2： m2r2 2，且 r1 r2 L，Gm1m2L2解得 r1 ， r2 。Lm2m1 m2 Lm1m1 m2由 G m1r1 及 r1 得m1m2L2 4 2T2 Lm2m1 m26周期 T4 2L3G（ m1 m2）答案 Lm2m1 m2 Lm1m1 m2 4 2L3G（ m1 m2）1.如图 4 所示， a、 b 是两颗绕地
9、球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R 和 2R(R 为地球半径)。下列说法中正确的是( )图 4A.a、 b 的线速度大小之比是 12B.a、 b 的周期之比是 12 2C.a、 b 的角速度大小之比是 3 46D.a、 b 的向心加速度大小之比是 32解析 两卫星均做匀速圆周运动， F 万 F 向 ，向心力选不同的表达形式分别分析，如下表：选项 内容指向、联系分析 结论A 由 m 得 GMmr2 v2r v1v2r2r1 3R2R 32 错误B 由 mr( )2得 GMmr2 2T T1T2 2323 错误C 由 mr 2得 GMmr2 1 2 364 正确D 由 ma 得
10、GMmr2 a1a2 94 错误答案 C2.地球同步卫星离地心的距离为 r，运行速度为 v1，加速度为 a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a2，地球的第一宇宙速度为 v2，半径为 R，则下列比例关系中正确的是( )A. B. ( )2a1a2 rR a1a2 rRC. D. ( )2v1v2 rR v1v2 Rr解析 设地球质量为 M，同步卫星的质量为 m1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体7的质量为 m2，根据向心加速度和角速度的关系有 a1 r， a2 R，又 1 2，故21 2 ，选项 A 正确，B 错误；由万有引力定律和牛顿第a1a2 rR二定律得 G m1 ， G m2
11、 ，解得 ，选项 C、D 错误。Mm1r2 Mm2R2 v1v2 Rr答案 A3.如图 5 所示， a 为地球赤道上的物体， b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c 为地球同步卫星。关于 a、 b、 c 做匀速圆周运动的说法中正确的是( )图 5A.地球对 b、 c 两星的万有引力提供了向心力，因此只有 a 受重力， b、 c 两星不受重力B.周期关系为 TcTbTaC.线速度的大小关系为 vaabac答案 C4.如图 6 所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为 L，质量之比为 m1 m232，下列说
12、法中正确的是( )图 6A.m1、 m2做圆周运动的线速度之比为 32B.m1、 m2做圆周运动的角速度之比为 32C.m1做圆周运动的半径为 L25D.m2做圆周运动的半径为 L25解析 设双星 m1、 m2距转动中心 O 的距离分别为 r1、 r2，双星绕 O 点转动的角速度为 ，根据万有引力定律和牛顿第二定律得8G m1r1 2 m2r2 2，又 r1 r2 L， m1 m232m1m2L2所以可解得 r1 L， r2 L，25 35m1、 m2运动的线速度分别为 v1 r1 ， v2 r2 ，故 v1 v2 r1 r223，综上所述，选项 C 正确。答案 C1.关于近地卫星、同步卫星、
13、赤道上的物体，以下说法正确的是( )A.都是万有引力等于向心力B.赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等C.赤道上的物体和近地卫星的轨道半径相同但线速度、周期不同D.同步卫星的周期小于近地卫星的周期解析 赤道上的物体是由万有引力的一个分力提供向心力，A 项错误；赤道上的物体和同步卫星有相同周期和角速度，但线速度不同，B 项错误；同步卫星和近地卫星有相同的中心天体，根据 m m r 得 v ， T2 ，由于 r 同 r 近 ，故 v 同 GMmr2 v2r 4 2T2 GMr r3GMT 近 ，D 错误；赤道上物体、近地卫星、同步卫星三者间的周期关系为 T 赤 T 同 T 近 ，根据
14、v r 可知 v 赤 Tc24 h，4 hT 3 4 2r3GM则 d 的周期可能是 30 h，选项 D 正确。答案 D4.登上火星是人类的梦想， “嫦娥之父”欧阳自远院士透露：中国计划于 2020 年登陆火星。地球和火星公转可视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表信息可知( )行星 半径/m 质量/kg 公转轨道半径/m地球 6.4106 6.01024 1.51011火星 3.4106 6.41023 2.31011A.火星的公转周期较小B.火星公转时的向心加速度较小C.火星公转时的线速度较大D.火星公转时的角速度较大解析 由表中信息知 r 火 r 地 ，根据牛顿第二定律 G m m
15、an m mr 2得：Mmr2 4 2rT2 v2r10T ， an ， v ， ，轨道半径大，周期大，向心加速度小，线速度小，4 2r3GM GMr2 GMr GMr3角速度小，故 B 正确，A、C、D 错误。答案 B5.质量为 m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为 M，月球半径为 R，月球表面重力加速度为 g，引力常量为 G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )A.线速度 v B.角速度 GmR gRC.运动周期 T2 D.向心加速度 aRg GmR2解析 对航天器： G m ， v ，故 A 项错误；由 mg m 2R 得 ，故 B 项错误
16、；MmR2 v2R GMR gR由 mg m( )2R 得 T2 ，故 C 项正确；由 G man得 an ，故 D 项错误。2T Rg MmR2 GMR2答案 C6.冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为 71，同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕 O 点运动的( )A.轨道半径约为卡戎的17B.角速度大小约为卡戎的17C.线速度大小约为卡戎的 7 倍D.向心力大小约为卡戎的 7 倍解析 两星绕连线上某点稳定转动，则转动周期和角速度相同，根据两星做圆周运动所需的向心力由万有引力提供，两星受到的万有引力为相互作用力，有 ，Gm1m2L2 4 2m1R1T
17、2 ，解之得 ，选项 A 正确，选项 B 错误；线速度Gm1m2L2 4 2m2R2T2 R1R2 m2m1 17v R ， ，选项 C 错误；因两星向心力均由大小相等的相互作用的万有引力提供，v1v2 R1R2 17选项 D 错误。答案 A7.一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减小为原来的 ，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的( )12A.向心加速度大小之比为 4111B.角速度大小之比为 21C.周期之比为 14D.轨道半径之比为 14解析 该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减为原来的 ；根据 G m 可得： r 可12 Mmr2 v2r GMv
18、2知变轨后，轨道半径变为原来的 4 倍，选项 D 正确；根据 G man，则 an ，则变轨后Mmr2 GMr2的加速度变为原来的 ，选项 A 错误；根据 可知变轨后角速度变为原来的 ，选项 B116 vr 18错误；根据 T 可知，变轨后周期变为原来的 8 倍，选项 C 错误。2答案 D8.如图 2 所示， a、 b、 c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的 3 颗人造卫星，下列说法正确的是( )图 2A.b、 c 的线速度大小相等，且大于 a 的线速度B.a 加速可能会追上 bC.c 加速可追上同一轨道上的 b， b 减速可等到同一轨道上的 cD.a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做
19、匀速圆周运动，则其线速度将变小解析 因为 b、 c 在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等。又由 b、 c 轨道半径大于 a 轨道半径，由 v 可知， vb vcm ，它将偏离原轨道，做近心运动，所以无论如何 c 也追不上 b， b 也等不到 c，故选项 C 错；对 a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由 v 可知， r 减小时， v 逐渐增大，故选项 D 错误。GMr答案 B129.已知近地卫星线速度大小为 v1，向心加速度大小为 a1，地球同步卫星线速度大小为 v2，向心加速度大小为 a2，设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的6 倍。则以下结论正确的是(
20、)A. B. v1v2 61 a1a2 491C. D. a1a2 71 v1v2 71解析 卫星圆周运动的向心力由万有引力提供， ma ；因为线速度 v ，则 ，故 A、D 错误；因为加速度GMmr2 mv2r GMr v1v2 r2r1 6R RR 71a ，所以， ( )2 ，故 B 正确，C 错误。GMr2 a1a2 6R RR 491答案 B10.已知甲、乙两行星的半径之比为 a，它们各自对应的第一宇宙速度之比为 b，则下列结论不正确的是( )A.甲、乙两行星的质量之比为 b2a1B.甲、乙两行星表面的重力加速度之比为 b2 aC.甲、乙两行星各自的卫星的最小周期之比为 a bD.甲
21、、乙两行星各自的卫星的最大角速度之比为 a b解析 根据 mg ，则第一宇宙速度为： v ，则行星表面的重力加速度为： g ，mv2R gR v2R甲、乙两行星的半径之比为 a，它们各自的第一宇宙速度之比为 b，则甲、乙两行星表面的重力加速度之比为 ，根据 mg ，则有： M ，因为半径之比为 a，重力加速度之比b2a GMmR2 gR2G为 ，所以甲、乙两行星的质量之比为 b2a1，故 A、B 正确；轨道半径越小，周期越小，b2a根据 m 得，最小周期 T2 ，甲、乙两行星的质量之比为 ab21，半径之GMmR2 4 2RT2 R3GM比为 a，则最小周期之比为 a b，故 C 正确；轨道半径越小，角速度越大，根据 ，最小周期之比为 a b，则最大角速度之比为 b a，故 D 错误。2T答案 D
