1、【考纲要求】（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次） ；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.【命题规律】利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值.预计 2019 年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖【典型高考试题变式】（一）原函数与其导函数的图像问题例 1.【2017 浙江高考】函数 的导函数
2、的图像如图所示，则函数 的图像可yfxyfxyfx能是（ ）.yxOA.Oxy B.Oxy C.Oxy D.Oxy【答案】D【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选 D【方法技巧归纳】在 内可导函数 ， 在 任意子区间内都不恒等于 0.(,)ab()fxf(,)ab在 上为增函数 在 上为减函数且导函数单调性可以判()0fxfx0fx,原函数图像的凹凸性：若 大于 0 且递增，则原函数 图像递增且下凹；若大于 0 且递减，则原函)(xf )(数 图像递增且上凸.)(xf【变式 1】 【改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】 【吉林省吉
3、林市 2018 届高三第三次调研】设曲线 上任一点 处切线斜率为 ，则函数 的部分*cosfmxR,xygx2yxg图象可以为A B C D 【答案】D【变式 2】 【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】 【广东省珠海一中等六校 2018 届高三第三次联考】函数 的导函数 在区间 上的图象大致是( )()= () ,A B C D 【答案】A【解析】 ，可排除（ ） =， （ ） =， （ 0） =1 、 ；又 在 处取最大值；故排除 B.故选 A（ ） =0（二）用导数求不含参数的单调区间例 2.【2018 全国卷 II 节选】已知函数 ()=133(2+1)（1）若 ，求 的单
4、调区间；=3 ()【答案】 （1） f（ x）在（， ） ， （ ，+ ）单调递增，在（ ， ）单调递323 3+23 323 3+23减【方法技巧归纳】 （1）用导数求函数单调区间的步骤如下：确定函数 的定义域；求导数 ；() ()由 （或 ）解出相应的 的取值范围，当 时， 在相应区间上是增函数；当()0 ()0 ()时， 在相应区间上是减增函数.()1) (2)=0则 ，()=2(2)+12+42(2)2+40在 为单调递减函数，()(1,+)当 时， ，故 单调递增； (1,2) ()0 ()0， ()当 时， ，故 单调递减(2,+) ()0，即 0，由此求得)(xf 1xg)(xf
5、f(x)的单调区间.试题解析：（）因为 ，所以 .()eaxfb()eaxfxb依题设， 即(2)e,1f2,1a解得 .,ab【数学思想】分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这
6、一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”2.分类讨论思想的常见类型 问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 问题中的条件是分类给出的； 解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.【处理导数与单调性问题注意点】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法.【典例试题演练】1 【2018 河南郑州一中测试题】如果函数 在区间 上是增函数，而函数 在区间 上yfxI fxyI是减函数，那么称函数 是区间 上“缓增函数” ，区间 叫做“缓增区间”.若函数yfxI是
7、区间 上“缓增函数” ，则“缓增区间” 为 ( )23fxI IA. B. C. D. 1,0,0,1,3【答案】D【解析】因 ，故 ，解之得 ，应 2131,()2fxfxx 210 3x13x选答案 D.2 【2018 河南南阳一中上学期第二次考试（文） 】已知函数 ，则函数 的单调25lnfxxfx递增区间是_【答案】 和10,2,3 【2018 辽宁沈阳市东北育才学校上学期一模（文）改编】已知函数 ， （ 为自然对数的底数）.22xafxe0ae()讨论 的单调性；f【答案】 （）当 时， 在 上为减函数；当 时，则 在 上0afx,0afx,0a为减函数；在 上为增函数；,【解析】(
8、) ，令 ； xafe120,fxxa 时，则 （当且仅当 时取等号） 在 上为减函数；0a0ff,当 时，则 在 上为减函数； ,0xafxx 0a在 上为增函数；,xffx4 【河北省石家庄 2018 届高三教学质量检测节选】已知函数 .()=+()(1)讨论函数 的单调性；()【答案】(1)答案见解析；【解析】(1)当 时, ,故函数在 上单调递增.当 或 时,=0 ()= (0,+) 0 0 () (0,+)当 时， .0()=2=22 =2(22)(+22)当 变化时， 的变化情况如下: (),()由此可知，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .() (0,22) (22,+)
9、9 【2017 湖北省浠水县实验高级中学测试题（文） 】已知函数 .21lnfxax（）讨论 的单调性；fx【答案】 （）见解析；【解析】试题分析：（）求出 的定义域为 ，求导数，若 ，若 ，判断导函数的fx0,0a符号，然后推出函数的单调性；试题解析：（） 的定义域为 ，求导数，得fx,.若 ，则 ，此时 在2111xaxafxa00ffx上单调递增，若 ，则由 ，得 .当 时， ；但 时， 0,00f xafa，此时 在 上单调递减，在 上单调递增. 0fxfx0,a,a10 【2017 河北省唐山市三模（理）改编】已知函数 ， .2ln1fxax0（1）讨论函数 的单调性；fx【答案】
10、（）见解析【解析】试题分析：（）求导得 ， 分 ， ， ，三种情况讨21axf00论可得单调区间.由 ， 得 ，10g102g120x当 时， ， ， 单调递增；1,xxff当 时， ， ， 单调递减；20g0xx当 时， ， ， 单调递增.,xxff综上所述，当 时， 在 上单调递增；02af1,当 时， 在 和 上单调递增，2afx21,a2,a在 上单调递减. ,2a 11 【2018 河北省武邑中学第一次月考（理）改编】已知函数 （ ， 为自然对数的exfaRe底数）.（1）讨论函数 的单调性；fx【答案】 （1）见解析【解析】试题分析：（1）求函数的导数 通过 和 两种情况分类讨论，
11、分别判断xfea0a函数的单调性12 【2018 湖南省岳阳市一中第一次月考（理）改编】已知函数 .21ln0fxaxa（1）讨论 的单调性；fx【答案】(1) 当 时， 在 上单调递减；当 ， 的单调递增区间为 ；1afx0,01fx,1单调递减区间是 和 ；当 ， 的单调递增区间为 ，单调递减区间是 和0， ,1afx,a0，；,a【解析】试题分析：（1）求出 的导数，通过 的讨论，分别令 得增区间，fx,01,afx得减区间；0fx试题解析：（1） ，2111xaxaafx，1afxx当 时， ， 在 上单调递减；10afxfx0,当 ，由 解得 ， 的单调递增区间为 ，01a0fxf,1a单调递减区间是 和 ；， 1,当 ，同理可得 的单调递增区间为 ，单调递减区间是 和 .fx1,a0， ,
