1、 模型界定本模型主要处理关于动量守恒定律的理解与应用方法以及与能量守恒相结合的一般情况，不涉及具体的碰撞、子弹打木块及人船模型等。模型破解1.动量守恒定律内容一个系统不受外力或所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。2.动量守恒定律表达式（1 ）守恒角度：作用过程中系统在任一时刻动量均相等p=p或 （等式两边均为矢量和）（2 ）变化的角度：作用前后系统的总动量变化为零p=0（3 ）转移角度：系统内 A 物体动量的增量等于 B 物体动量的减少量即两个物体的动量变化大小相等，方向相反p1=p 2 或 （等式两边均为矢量差）此处要注意动量变化的矢量性.在两物体相互作用的
2、过程中，也可能两物体的动量都增大，也可能都减小，但其矢量和不变。3.动量守恒定律的理解（1）条件性动量守恒定律是自然界最普遍、最基本的规律之一。不仅适用于宏观物体的低速运动，也适用与微观物体的高速运动。小到微观粒子，大到宇宙天体，无论内力是什么性质的力，只要满足守恒条件，动量守恒定律总是适用的。应用动量守恒定律解题时可从三种情况进行判定：（i).系统不受外力或者所受合外力为零；(ii).系统所受合外力虽然不为零，但系统的内力远大于外力时，如碰撞、爆炸等现象中，系统的动量可看成近似守恒；(iii).系统总的来看不符合以上条件的任意一条，则系统的总动量不守恒。但是若系统在某一方向上符合以上条件的任
3、意一条，则系统在该方向上动量守恒。例 1. 如图所示,质量分别为 m 和 2m 的 A、B 两个木块间用轻弹簧相连,放在光滑水平面上,A 靠紧竖直墙.用水平力 F 将 B 向左压,使弹簧被压缩一定长度,静止后弹簧储存的弹性势能为 E.这时突然撤去 F,关于 A、B 和弹簧组成的系统,下列说法正确的是 （ ）A.撤去 F 后,系统动量守恒,机械能守恒B. 撤去 F 后,A 离开竖直墙前,系统动量不守恒,机械能守恒C. 撤去 F 后,A 离开竖直墙后,弹簧的弹性势能最大值为 ED. 撤去 F 后,A 离开竖直墙后,弹簧的弹性势能最大值为 【答案】BD例 2.如图所示，小球 A 系在细线的一端，线的
4、另一端固定在 O 点，O 点到水平面的距离为h。物块 B 质量是小球的 5 倍，置于粗糙的水平面上且位于 O 点的正下方，物块与水平面间的动摩擦因数为 。现拉动小球使线水平伸直，小球由静止开始释放，运动到最低点时与物块发生正碰（碰撞时间极短） ，反弹后上升至最高点时到水平面的距离为 。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为 g，求物块在水平面上滑行的时间 t。【答案】设碰撞后物块的速度大小为 ，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律，有得 物块在水平面上滑行所受摩擦力的大小设物块在水平面上滑行的时间为 ，根据动量定理，有得 例 3.如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为 m 的光滑
5、弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为 m 的小球从槽高 h 处开始自由下滑A.在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒B.在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功C.被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动D.被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽高 h 处【答案】C （2）矢量性动量是矢量。动量守恒定律的方程是一个矢量方程。在一维情况下，通常规定正方向后，能确定方向的物理量一律将方向表示为“+”或“-”，物理量中只代入大小：不能确定方向的物理量可以用字母表示，若计算结果为“+”，则说明其方向与规定的正方向相同，若计算结果为“-” ，则说明其方向与
6、规定的正方向相反。例 4.如图所示，质量为 mB=2kg 的木块 B 静止在光滑水平面上。一质量为 mA= 1kg 的木块A 以某一初速度 v0=5m/s 沿水平方向向右运动，与 B 碰撞后都向右运动。木块 B 与挡板碰撞后立即反弹（设木块 B 与挡板碰撞过程无机械能损失） 。后来木块 B 与 A 发生二次碰撞，碰后 A、B 同向运动，速度大小分别为 1.2m/s 、0.9m/s。求第一次木块 A、B 碰撞过程中A 对 B 的冲量大小和方向。【答案】0.4Ns，向右【解析】设 A、B 第一次碰撞后的速度大小分别为 vA1、v B1，取向右为正方向，对于 A、B组成的系统，由动量守恒定律得：B
7、与挡板碰撞，因为没有机械能损失，所以 B 以原速率反弹，则第二次 A、B 碰撞前瞬间的速度大小仍然分别为 vA1、v B1，设碰撞后的速度大小分别为 vA2、v B2，由题意知，v A2 和 vB2 方向均向左，取向左为正方向，由动量守恒定律得：第一次碰撞过程中，设向右为正，对 B，由动量定理可得方向向右 （3）相对性物体的动量与参考系的选择有关。通常，取地面为参考系，因此，作用前后的速度都必须相对于地面。（4）瞬时性动量是一个瞬时量，动量守恒定律指的是系统任一瞬间的动量和恒定。因此，列出的动量守恒定律表达式 m1v1+m2v2+=m1v1+m2v2+，其中 v1，v 2都是作用前同一时刻的瞬
8、时速度，v 1，v 2都是作用后同一时刻的瞬时速度。只要系统满足动量守恒定律的条件，在相互作用过程的任何一个瞬间，系统的总动量都守恒。在具体问题中，可根据任何两个瞬间系统内各物体的动量，列出动量守恒表达式。例 5.质量 M 的小船尾部有一质量 m 的人,人和船以 v 向前行驶.人以相对于船的水平速度 u向后跳出后,船速为多大?【答案】（5）普适性它不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统。例 6.如图所示，木块 A 的质量 mA = 1 kg，足够长的木板 B 的质量 mB = 4 kg，质量为 mC = 4 kg 的木
9、块 C 置于木板 B 的右端，已知水平地面光滑， B、 C 之间有摩擦现使 A 以 v0 = 12 m/s 的初速度向右运动，与 B 碰撞后以 4 m/s 速率弹回，求此后的运动过程中木板 B 的最大速率；木块 C 的最大速率【答案】4m/s2m/s4.动量守恒定律的一般解题步骤 确定研究对象(系统),进行受力分析: 确定研究过程,进行运动分析; 判断系统在所研究的过程中是否满足动量守恒定律成立的条件; 规定某个方向为正方向,分析初末状态系统的动量;根据动量守恒定律建立方程,并求出结果。5.动量守恒与能量守恒的结合 在动量与能量结合的问题中，常见的情形有：一是利用在某一过程中动量或某一方向的动
10、量守恒，同时利用此过程中系统的能量守恒列方程求解；二是多阶段过程中，整个过程中动量并不守恒，只在某个阶段中或某个瞬时动量守恒，可利用动量守恒列方程，而在其它阶段利用能量守恒列方程，再联立求解。例 7.如图所示，物体 A、B 的质量分别是 、 ，用轻弹簧相连接放在光滑的水平面上，物体 B 左侧与竖直墙相接触另有一个物体 C 以速度 向左运动，与物体 A 相碰，碰后立即与 A 粘在一起不再分开，然后以 的共同速度压缩弹簧，试求物块 C 的质量在 B 离开墙壁之后，弹簧的最大弹性势能【答案】2kg 6J例 8.两质量分别为 M1 和 M2 的劈 A 和 B，高度相同，放在光滑水平面上， A 和 B
11、的倾斜面都是光滑曲面，曲面下端与水平面相切，如图所示，一质量为 m 的物块位于劈 A 的倾斜面上，距水平面的高度为 h。物块从静止滑下，然后双滑上劈 B。求物块在 B 上能够达到的最大高度。 【答案】【解析】设物块到达劈 A 的低端时，物块和 A 的的速度大小分别为 和 V，由机械能守恒和动量守恒得设物块在劈 B 上达到的最大高度为 ，此时物块和 B 的共同速度大小为 ，由机械能守恒和动量守恒得联立式得例 9.如图所示，相距 L 的光滑金属导轨，半径为 R 的 圆弧部分竖直放置，直的部分固定于水平地面，MNQP 范围内有方向竖直向下、磁感应强度为 B 的匀强磁场。金属棒 ab 和cd 垂直导轨
12、且接触良好，cd 静止在磁场中；ab 从圆弧的顶端由静止释放，进入磁场后与cd 没有接触。已知 ab 的质量为 m、电阻为 r，cd 的质量为 3m、电阻为 r，金属导轨电阻不计，重力加速度为 g。求：ab 到达圆弧底端时对轨道的压力大小；在图中标出 ab 刚进入磁场时 cd 中的电流方向；若 cd 离开磁场时的速度是此刻 ab 速度的一半，求：cd 离开磁场瞬间，ab 受到的安培力大小。【答案】 （1）3mg（2）电流的方向为 abdca(3)设 cd 刚离开磁场时的速度为 v，则 ab 此时的速度为 2v，以为 ab、cd 为系统，所受合外力为零，动量守恒，则有：mv 0=m2v+3mv
13、联得： 此时 ab 产生的感应电动势为 E=2BLv ，cd 已出磁场，不产生的感应电动势回路中的感应电流为： ab 受到的安培力为：F =ILB 联得： 模型练习1如图所示，两辆质量相同的平板小车 a、b 成一直线排列，静止在光滑水平地面上，原来静止在 a 车上的一个小孩跳到 b，接着又立即从 b 跳回 a 车，他跳回 a 车并相对 a 车保持静止，此后 。 （填选项前的字母）Aa 、b 两车的速率相等 Ba 车的速率大于 b 车的速率C a 车的速率小于 b 车的速率 Da、b 两车均静止【答案】C2.在质量为 M 的小车中挂有一单摆，摆球的质量为 m0，小车和单摆一起以恒定的速度 v 沿
14、光滑水平面运动，与位于正对面的质量为 m 的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短在此碰撞瞬间，下列说法中可能发生的是（ ）A小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为 vl、v 2、v 3，满足（M+m 0）v=Mvl+m2v2+m0v3B摆球的速度不变，小车和木块的速度分别变为 vl 和 v2，满足（M+m 0）v=Mv 1+mv2C摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为 v1，满足 Mv=（M+m）v 1D小车和摆球的速度都变为 v1，木块的速度变为 v2，满足（ M+m0）v=（M+m 0）v 1+mv【答案】C【解析】碰撞的瞬间小车和木块组成的系统动量守恒，摆球可认为没有参与碰撞，由于惯性
15、其速度在瞬间不变若碰后小车和木块的速度变 v1 和 v2，根据动量守恒有：Mv=mv1+mv2若碰后小车和木块速度相同，根据动量守恒定律有：Mv=（M+m）v 1故 C正确，A、B、 D 错误3.如图所示,将质量为 M1,半径为 R 且内壁光滑的半圆槽置于光滑水平面上,左侧靠墙角,右侧靠一质量为 M2 的物块. 今让一质量为 m 的小球自左侧槽口 A 的正上方 h 高处从静止开始落下,与圆弧槽相切自 A 点进入槽内,则以下结论中正确的是（ ）A.小球在槽内运动的全过程中,小球与半圆槽在水平方向动量守恒B.小球在槽内运动的全过程中,小球、半圆槽和物块组成的系统动量守恒C.小球离开 C 点以后,将
16、做竖直上抛运动D.槽将与墙不会再次接触【答案】D3.两块大小不同的圆形薄板（厚度不计） ，质量分别为 M 和 m（M=2rn,） ，半径分别为 R 和r，两板之间用一根长为 L= 0.4rm 不可伸长的轻质绳相连结开始时，两板水平叠放在支架C 上方高 h=0.2m 处，支架上有一个半径为 的圆孔，两板中心与圆孔中心在同一直线上，如图所示现让两板一起自由下落，大圆板碰到支架后跳起，机械能无损失，小圆板穿过圆孔继续运动，两板分离，试求当细绳绷紧的瞬间两板的共同速度 （不计碰撞时间及空气阻力，取 g= 10m/s2）【答案】【解析】设与 m 自由下落到与 C 碰撞时的速度为 v1，大圆板碰到 C 后
17、向上跳起，做竖直上抛运动，小圆板做加速度为 g 的加速运动。当二者之间的距离为 L 时细绳拉紧，则有：此时大圆板的速度 ，方向向上小圆板的速度为 ，方向向下选向下为正方向，细绳绷紧过程动量守恒：得4.如图，在光滑水平长直轨道上有 A、B 两个小绝缘体，质量分别为 m、M，且满足M=4m、A 带正电、B 不带电它们之间用一根长为 L 的轻软细线相连，空间存在方向向右的匀强电场开始时将 A 与 B 靠在一起，且保持静止：某时刻撤去外力，A 将向右运动，当细线绷紧时，两物体间将发生时间极短的相互作用，此后 B 开始运动，线再次松弛，已知 B 开始运动时的速率等于线刚要绷紧瞬间 A 物体速率的 设整个
18、过程中 A 的带电量保持不变B 开始运动后到细线第二次被绷紧前的过程中，B 与 A 是否会相碰?如果能相碰，求出相碰时 B 的位移大小及 A、B 相碰前瞬间的速度；如果不能相碰，求出 B 与 A 间的最短距离【答案】【解析】当 A、B 之间的细线绷紧前，物块 A 的速度为 vA，电场力为 F，据动能定理有细线绷紧时间很短可认为这个过程中 A、B 系统的动量守恒。则有得可见软线绷紧后，A 将先向左做减速运动，加速度 a 保持不变，同时 B 将向右做匀速直线运动。A 减速为零后再次加速到 B 同速时所用的时间为 tA据动量定理有 这段时间 B 前进位移为可见，细线再次绷紧时 A、B 不会相碰此时
19、A、B 间距离最短，则 A、B 间最近时相距为5.如图所示，光滑绝缘杆上套有两个完全相同、质量都是 m 的金属小球 a、b，a 带电量为q（q0） ，b 不带电。M 点是 ON 的中点，且 OM=MN=L，整个装置放在与杆平行的匀强电场中。开始时，b 静止在杆上 MN 之间的某点 P 处，a 从杆上 O 点以速度 v0 向右运动，到达 M 点时速度为 ，再到 P 点与 b 球相碰并粘合在一起（碰撞时间极短） ，运动到 N 点时速度恰好为零。求：电场强度 E 的大小和方向；a 、 b 两球碰撞中损失的机械能；a 球碰撞 b 球前的速度 v。【答案】 （1） 向左（ 2） （3）设碰撞中损失的机械
20、能为 E，对 a、b 球从 O 到 N 的全过程应用能的转化和守恒定律：qE2L E0 则碰撞中损失的机械能为 E = 设 a 与 b 碰撞前后的速度分别为 v、v，则 ：mv 2mv 又减少的动能E 6.如图所示，一轻质弹簧两端连接着物体 A 和物体 B，放在光滑的水平面上,水平速度为 V0的子弹射中物体 A 并嵌在其中，已知物体 B 的质量为 mB，物体 A 的质量是物体 B 的质量的 3/4，子弹的质量是物体 B 的质量的 1/4,求弹簧被压缩到最短时的弹性势能。【答案】7.如图所示，两根间距为 l 的光滑金属导轨（不计电阻） ，由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成。其水平段加有竖
21、直向下方向的匀强磁场，其磁感应强度为 B，导轨水平段上静止放置一金属棒 cd，质量为 2m。 ，电阻为 2r。另一质量为 m，电阻为 r 的金属棒ab，从圆弧段 M 处由静止释放下滑至 N 处进入水平段，圆弧段 MN 半径为 R，所对圆心角为 60，求：（1 ） ab 棒在 N 处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？（2 ） ab 棒能达到的最大速度是多大？（3 ） ab 棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？【答案】 （1） 、 （2 ） （3）（2 ）设 ab 棒与 cd 棒所受安培力的大小为 F，安培力作用时间为 t，ab 棒在安培力作用下做减速运动，cd 棒在安培力
22、作用下做加速运动，当两棒速度达到相同速度 v时，电路中电流为零，安培力为零，cd 达到最大速度。运用动量守恒定律得 解得 （3 ）系统释放热量应等于系统机械能减少量，故有解得8.如图中有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度为 k 的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为 m 的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料ER 流体，它对滑块的阻力可调。起初，滑块静止,ER 流体对其阻力为 0，弹簧的长度为 L，现有一质量为 M=2m 的物体从距地面 2L 处自由落下，与滑块瞬间碰撞后粘在一起向下运动。为保证滑块做匀减速运动，且下移距离为 （g 为重力加速度）时速度减为 0，ER 流体对滑块的阻力须
23、随滑块下移而变。试求（忽略空气阻力）:(1) 下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能；(2) 在滑块下移停止之前的过程中，ER 流体对滑块阻力的大小 f 与下滑距离 d 所满足的函数关系式。 【答案】 （1）2mgL/3 （2）2mg-kd+4kL/9 （2 ）相碰前弹簧的压缩量为 x1 =mg/k 共同下移到静止 h=3mg/k , 设加速度的大小为 a，由匀变速直线运动公式有V22=2ah 设滑块下滑距离 d 时受到 ER 流体的阻力大小为 f,此时弹簧的压缩量为 x2则 x2= x1+d 由牛顿第二定律得：f+kx 2 (M+m)g=(M+m)a 由、得f= 2mg-kd+4kL/9
