1、中档大题分类练( 一) 三角函数、解三角形(建议用时：60 分钟)1已知 m ，n ，设函数 f(x)mn.(cosx4，1) ( 3sinx4，cos2x4)(1)求函数 f(x)的单调增区间；(2)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a，b，c 成等比数列，求 f(B)的取值范围解 (1)f(x) mn sin ，(cosx4，1)( 3sinx4，cos2x4) (x2 6) 12令 2k 2k ，则 4k x 4k ，kZ，2 x2 6 2 43 23所以函数 f(x)单调递增区间为 ，kZ. 4k 43，4k 23(2)由 b2ac 可知 cos B (当且
2、仅当a2 c2 b22ac a2 c2 ac2ac 2ac ac2ac 12ac 时取等号 )，所以 0B ， ，1f(B) ，3 6 B2 6 3 3 12综上 f(B)的取值范围为 .(1，3 12 2在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 acos C(2b3c)cos A.3(1)求角 A 的大小；(2)若 a2，求 ABC 面积的最大值解 (1)由正弦定理可得 ： sin Acos C2sin Bcos A sin Ccos A，3 3从而可得： sin(AC)2sin Bcos A，3即 sin B2sin Bcos A，3又 B 为三角形内角，所以 sin B
3、0，于是 cos A ，32又 A 为三角形内角，所以 A .6(2)由余弦定理：a 2b 2c 22bccos A 得：4b 2c 22bc 2bc bc，32 3所以 bc4(2 )，所以 S bcsin A2 ，ABC 面积最大值为 2312 3.33在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知ac b， sin B sin C.66 6(1)求 cos A 的值；(2)求 cos 的值(2A 6)解 (1)在ABC 中，由 ，及 sin B sin C，可得 b c.bsin B csin C 6 6由 ac b，得 a2c .66所以 cos A .b2 c2 a
4、22bc 6c2 c2 4c226c2 64(2)在ABC 中，由 cos A ，可得 sin A .64 104于是 cos 2A 2cos2A1 ，sin 2A2sin Acos A .14 154所以 cos cos 2Acos sin 2Asin .(2A 6) 6 6 15 384如图 54 所示，在四边形 ABCD 中，D2B，且 AD1, CD3 ，cos B .33图 54(1)求ACD 的面积；(2)若 BC2 ，求 AB 的长3解 (1)因为D2B， cos B ，33所以 cos Dcos 2B2cos 2B1 .13因为 D(0 ，)，所以 sin D .1 cos2D
5、223因为 AD1，CD3，所以ACD 的面积 S ADCDsin D 13 .12 12 223 2(2)在ACD 中，AC 2AD 2DC 22AD DCcos D12，所以 AC2 .3因为 BC2 ， ，3ACsin B ABsin ACB所以 ，23sin B ABsin 2B ABsin 2B AB2sin Bcos B AB233sin B所以 AB4.(教师备选)1已知 f(x)4 sin xcos x2cos 2x1，x .3 0，3(1)求 f(x)的值域；(2)若 CD 为ABC 的中线，已知 ACf(x )max，BCf (x)min，cos BCA ，求 CD 的长1
6、3解 (1)f(x) 4 sin xcos x2cos 2x1，3化简得 f(x)2 sin 2x2cos 2x14sin2x 1.36因为 x ，所以 2x ， 0，3 6 6，56当 2x 时，sin 取得最大值 1，6 2 (2x 6)当 2x 或 2x 时，sin 取得最小值 ，6 6 6 56 (2x 6) 12所以 sin ， 4sin 11,3 ，(2x 6) 12，1 (2x 6)所以 f(x)的值域为1,3 .(2)法一：因为 ACf (x)max，BCf( x)min ，由(1)知，AC 3，BC 1 ，又因为 cosBCA ，13根据余弦定理得 AB2AC 2BC 22A
7、CBCcos BCA 8，所以 AB2 .2因为 AC2AB 2BC 2，所以ABC 为直角三角形， B 为直角. 故在 RtABC 中，BC1，BD ，2所以 CD .12 2 3法二：由(1)知 | |3，| |1， ( )，CA CB CD 12CA CB 所以 2 ( 2 22 )CD 14CA CB CA CB 3，14(9 1 23113)所以| | .CD 32设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，abtan A，且 B 为钝角(1)证明：BA ；2(2)求 sin A sin C 的取值范围解 (1)证明：由 abtan A 及正弦定理，得 ，sin Acos A ab sin Asin B所以 sin Bcos A，即 sin Bsin .(2 A)又 B 为钝角，因此 A ，2 (2，)故 B A，即 BA .2 2(2)由(1)知，C(AB) 2A0，(2A 2) 2所以 A .(0，4)于是 sin Asin C sin Asin (2 2A)sin Acos 2A2sin 2Asin A12 2 .(sin A 14) 98因为 0A ，所以 0sin A ，4 22因此 2 2 .22 (sin A 14) 98 98由此可知 sin Asin C 的取值范围是 .(22，98
