1、1第 9 讲 圆锥曲线的定义、方程及性质高考统计定方向热点题型 真题统计 命题规律题型 1：圆锥曲线的定义、标准方程2017 全国卷T14；2017 全国卷T12；2014 全国卷T10题型 2：圆锥曲线的性质及应用2018 全国卷T4；2018 全国卷T6；2018 全国卷T112018 全国卷T10；2017 全国卷T5；2017 全国卷T52017 全国卷T12；2016 全国卷T5；2016 全国卷T122015 全国卷T5；2015 全国卷T16；2015 全国卷T152014 全国卷T4题型 3：直线、圆与圆锥曲线的交汇2017 卷T11；2014 卷T201.每年必考内容，多以选
2、择、填空题的形式考查圆锥曲线的定义、方程、性质，以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的综合问题.2.小题一般出现在 512或 1415 题的位置，难度中等偏上，解答题出现在 20 题的位置上，难度较大.题型 1 圆锥曲线的定义、标准方程核心知识储备圆锥曲线的定义(1)椭圆：| PF1| PF2|2 a(2a| F1F2|)；(2)双曲线| PF1| PF2|2 a(2a| F1F2|)；(3)抛物线：| PF| PM|，点 F 不在直线 l 上， PM l 于 M(直线 l 是抛物线的准线)高考考法示例【例 1】 (1)(2018哈尔滨模拟)已知双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F，点x2a
3、2 y2b2A 在双曲线的渐近线上， OAF 是边长为 2 的等边三角形( O 为原点)，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y212 x212 y242C. y21 D x2 1x23 y23(2)(2017全国卷)已知 F 是抛物线 C： y28 x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则| FN|_.(1)D (2)6 (1)根据题意画出草图如图所示，不妨设点 A 在渐近线 y x 上ba由 AOF 是边长为 2 的等边三角形得到 AOF60， c| OF|2.又点 A 在双曲线的渐近线 y x 上， tan 60 .b
4、a ba 3又 a2 b24， a1， b ，3双曲线的方程为 x2 1.故选 D.y23(2)如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P， PM OF.由题意知， F(2,0)，| FO| AO|2.点 M 为 FN 的中点， PM OF，| MP| |FO|1.12又| BP| AO|2，| MB| MP| BP|3.由抛物线的定义知| MF| MB|3，故| FN|2| MF|6.3方法归纳 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”1 定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标
5、准方程.2 计算，即利用待定系数法求出方程或方程组中的 a2， b2或 p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为 y22 ax 或 x22 ay a0 ，椭圆常设为mx2 ny21 m0， n0， m n ，双曲线常设为 mx2 ny21 mn0.对点即时训练1设双曲线与椭圆 1 相交且有共同的焦点，其中一个交点的坐标为( ，4)，x227 y236 15则此双曲线的标准方程是( )A. 1 B. 1y24 x25 y25 x24C. 1 D. 1x24 y25 x25 y24A 法一：(定义法)椭圆 1 的焦点坐标分别是(0,3)，(0，3)x227 y236根据双曲线的定义知，2 a|
6、 15 0 2 4 3 2|4， 15 0 2 4 3 2解得 a2，又 b2 c2 a25，所以所求双曲线的标准方程为 1.故选 A.y24 x25法二：(待定系数法)椭圆 1 的焦点坐标分别是(0,3)，(0，3)x227 y236设双曲线的标准方程为 1( a0， b0)，y2a2 x2b2则 a2 b29.又点( ，4)在双曲线上，所以 1.1516a2 15b2由解得 a24， b25.故所求双曲线的标准方程为 1.故选 A.y24 x252设椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在椭圆上，且满x216 y212足 9，则| | |的值为( )PF1 PF2 PF1 P
7、F2 A8 B10 C12 D15D 因为 P 是椭圆 1 上一点， F1， F2分别是椭圆的左、右焦点，所以x216 y212|PF1| PF2|8，| F1F2|4.因为 9，所以| | |cos F1PF29，因为|PF1 PF2 PF1 PF2 4|2| |2| |22| | |cos F1PF2(| | |)F1F2 PF1 PF2 PF1 PF2 PF1 PF2 22| | |2| | |cos F1PF2，所以 642| | |1816.所以|PF1 PF2 PF1 PF2 PF1 PF2 | |15，故选 D.PF1 PF2 5题型 2 圆锥曲线的性质及应用核心知识储备1椭圆、
8、双曲线中， a， b， c， e 之间的关系(1)在椭圆中： a2 b2 c2，离心率为 e ；ca 1 (ba)2(2)在双曲线中： c2 a2 b2，离心率为 e .ca 1 (ba)22双曲线的渐近线方程与焦点坐标(1)双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x；焦点坐标 F1( c,0)，x2a2 y2b2 baF2(c,0)；(2)双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，焦点坐标 F1(0， c)，y2a2 x2b2 abF2(0， c)注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系高考考法示例【例 2】 (1)(2018全国卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心
9、率为 ，x2a2 y2b2 2则点(4,0)到 C 的渐近线的距离为( )A. B2 C. D22322 2(2)(2018沈阳模拟)已知双曲线 1( a0， b0)的左焦点为 F，离心率为 .若x2a2 y2b2 2经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y24 x28 y28C. 1 D. 1x24 y28 x28 y24(3)已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 1( a b0)的焦点与顶点，若双曲线x2a2 y2b2的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.13 12 2
10、2 33(1)D (2)B (3)C (1)法一：由离心率 e ，得 c a，又 b2 c2 a2，得ca 2 26b a，所以双曲线 C 的渐近线方程为 y x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到 C 的渐近线的距离为 2 .故选 D.41 1 2法二：离心率 e 的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 y x，由点到直线的2距离公式得点(4,0)到 C 的渐近线的距离为 2 .故选 D.41 1 2(2)由离心率为 可知 a b， c a，所以 F( a,0)，由题意可知 kPF2 2 2 1，所以 a4，解得 a2 ，所以双曲线的方程为 1，故4 00 2a 42a 2 2 x28 y
11、28选 B.(3)设椭圆的左、右焦点分别为 F1( c,0)， F2(c,0)，则由题意可知双曲线的方程为 1，其渐近线方程为 y x.因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边x2c2 y2b2 bc形恰为正方形，所以由椭圆的对称性可知，渐近线的方程为 y x，即 b c，所以 a c，故椭圆的离心率 e ，故选 C.b2 c2 222方法归纳1求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a， b， c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a， c 代换，求 的值ca2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边
12、的 1 改为零，分解因式可得(2)用法：可得 或 的值ba ab利用渐近线方程设所求双曲线的方程利用 e 求离心率1 b2a2对点即时训练1(2018全国卷)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为 的直线23与 C 交于 M， N 两点，则 ( )FM FN A5 B6 C7 D87D 法一：过点(2,0)且斜率为 的直线的方程为 y (x2)，由Error!得23 23x25 x40，解得 x1 或 x4，所以Error!或Error!不妨设 M(1,2)， N(4,4)，易知F(1,0)，所以 (0,2)， (3,4)，所以 8.故选 D.FM FN FM FN
13、法二：过点(2,0)且斜率为 的直线的方程为 y (x2)，由Error!得23 23x25 x40，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 y10， y20，根据根与系数的关系，得x1 x25， x1x24.易知 F(1,0)，所以 ( x11， y1)， ( x21， y2)，所FM FN 以 ( x11)( x21) y1y2 x1x2( x1 x2)14 45188.故选 D.FM FN x1x22(2016全国卷)已知 F1， F2是双曲线 E： 1 的左，右焦点，点 M 在 E 上，x2a2 y2b2MF1与 x 轴垂直，sin MF2F1 ，则 E 的离心率为( )13
14、A. B. C. D2232 3A 法一：如图，因为 MF1与 x 轴垂直，所以| MF1| .b2a又 sin MF2F1 ，所以 ，即| MF2|3| MF1|.由双曲线的定义得13 |MF1|MF2| 132a| MF2| MF1|2| MF1| ，所以 b2 a2，所以 c2 b2 a22 a2，所以离心率 e 2b2a ca.2法二：如图，因为 MF1 x 轴，所以| MF1| .b2a在 Rt MF1F2中，由 sin MF2F1 得13tan MF2F1 .248所以 ，即 ，即 ，|MF1|2c 24 b22ac 24 c2 a22ac 24整理得 c2 ac a20，22两边
15、同除以 a2得 e2 e10.22解得 e (负值舍去)2题型 3 直线、圆与圆锥曲线的交汇全国卷考查圆与圆锥曲线的交汇问题是近几年高考考查的热点，在小题和大题中均有可能出现高考考法示例【例 3】 (1)(2016全国卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点，交C 的准线于 D， E 两点已知| AB|4 ，| DE|2 ，则 C 的焦点到准线的距离为( )2 5A2 B4 C6 D8B 设出抛物线和圆的方程，将点的坐标代入，联立方程组求解设抛物线的方程为 y22 px(p0)，圆的方程为 x2 y2 r2.| AB|4 ，| DE|2 ，2 5抛物线的准线方程为 x ，p
16、2不妨设 A ， D .(4p， 22) ( p2， 5)点 A ， D 在圆 x2 y2 r2上，(4p， 22) ( p2， 5)Error! 8 5， p4(负值舍去)16p2 p24 C 的焦点到准线的距离为 4.(2)(2018郑州模拟)已知椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，x2a2 y2b2以 F1F2为直径的圆与直线 ax2 by ab0 相切3图 252求椭圆 C 的离心率；9如图 252，过 F1作直线 l 与椭圆分别交于两点 P， Q，若 PQF2的周长为 4 ，求2 的最大值F2P F2Q 思路点拨 直 线 与 圆 相 切 关 于 a， b，
17、c的 关 系 式 a2 2b2 离 心 率 e解 由题意 c，| 3ab|a2 4b2即 3a2b2 c2(a24 b2)( a2 b2)(a24 b2) a22 b2， e .22因为三角形 PQF2的周长为 4 .2所以 4a4 ， a ， b21，2 2椭圆方程为 y21，且焦点 F1(1,0)， F2(1,0)，x22()若直线 l 斜率不存在，则可得 l x 轴，方程为 x1，解方程组Error!可得Error! 或Error!， P ， Q ，( 1，22) ( 1， 22) ， ，故 .F2P ( 2， 22) F2Q ( 2， 22) F2P F2Q 72()若直线 l 斜率存
18、在，设直线 l 的方程为 y k(x1)，由Error! 消去 y 整理得(2k21) x24 k2x2 k220，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .4k22k2 1 2k2 22k2 1 ( x11， y1)(x21， y2)F2P F2Q 10( x11)( x21) y1y2.( k21) x1x2( k21)( x1 x2) k21.( k21) ( k21) k212k2 22k2 1 ( 4k22k2 1) .7k2 12k2 1 72 92 2k2 1 k20，可得1 ，F2P F2Q 72综上可得1 .F2P F2Q 72所以 最大值
19、是 .F2P F2Q 72方法归纳 处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点1 注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等.2 注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴 短轴 ，与双曲线的实轴 虚轴 的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等.(教师备选)(2016全国卷)设圆 x2 y22 x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明| EA| EB|为定值，并写出点 E 的
20、轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M， N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A交于 P， Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围解 (1)因为| AD| AC|， EB AC，所以 EBD ACD ADC，所以| EB| ED|，故| EA| EB| EA| ED| AD|.又圆 A 的标准方程为( x1) 2 y216，从而| AD|4，所以| EA| EB|4.由题设得 A(1,0)， B(1,0)，| AB|2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为 1( y0)x24 y23(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y k(x1)(
21、 k0)， M(x1， y1)， N(x2， y2)由Error! 得(4 k23) x28 k2x4 k2120，则 x1 x2 ， x1x2 .8k24k2 3 4k2 124k2 311所以| MN| |x1 x2| .1 k212 k2 14k2 3过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m： y (x1)，点 A 到直线 m 的距离为 ，1k 2k2 1所以| PQ|2 4 .42 ( 2k2 1)2 4k2 3k2 1故四边形 MPNQ 的面积S |MN| PQ|12 .12 1 14k2 3可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8 )3当 l
22、与 x 轴垂直时，其方程为 x1，| MN|3，| PQ|8，故四边形 MPNQ 的面积为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12,8 )3对点即时训练1(2017全国卷)若双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线被圆( x2)x2a2 y2b22 y24 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为( )A2 B. C. D.3 2233A 设双曲线的一条渐近线方程为 y x，ba圆的圆心为(2,0)，半径为 2，由弦长为 2 得出圆心到渐近线的距离为 .22 12 3根据点到直线的距离公式得 ，解得 b23 a2.|2b|a2 b2 3所以 C 的离心率 e 2.ca c2a2
23、 1 b2a2故选 A.2(2018中山七校联考)已知椭圆 1( a b0)的上、下、左、右四个顶点分x2a2 y2b2别为 A， B， C， D， x 轴正半轴上的某点 G 满足| GD|2，| GA|3，| GC|4.12图 253(1)求椭圆的方程；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为 F1、 F2，点 M 在圆 x2 y2 b2上，且 M 在第一象限，过 M 作圆 x2 y2 b2的切线交椭圆于 P， Q，求证： PF2Q 的周长是定值解 (1)设点 G 的坐标为( x0,0)(x00)，可知 2a24， a3，x04 a1， b 2 .32 x20 2因此椭圆的方程是 1.x29 y28
24、(2)法一：设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 1，x219 y218|PF2| ， x1 1 2 y21 x1 1 2 8(1 x219) (x13 3)20 x13，| PF2|3 ，x13在圆中， M 是切点，| PM| x1，|OP|2 |OM|2 x21 y21 8x21 8(1 x219) 8 13| PF2| PM|3 x1 x13，13 13同理| QF2| QM|3，| F2P| F2Q| PQ|336，因此 PF2Q 的周长是定值 6.法二：设 PQ 的方程为 y kx m(k0)，由Error! ，得(89 k2)x218 kmx9 m2720，设 P(x1
25、， y1)， Q(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ， 18km8 9k2 9m2 728 9k2| PQ| |x1 x2|1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2( 18km8 9k2)2 49m2 728 9k2 ，1 k2498 9k2 m2 8 8 9k2 213 PQ 与圆 x2 y28 相切， 2 ，m1 k2 2即 m2 ，21 k2| PQ| ，6km8 9k2| PF2| ， x1 1 2 y21 x1 1 2 8(1 x219) (x13 3)20 x13，| PF2|3 ，x13同理可得| QF2| (9 x2)3 ，13 x23| F2P|
26、F2Q| PQ|6 6 6，x1 x23 6km8 9k2 6km8 9k2 6km8 9k2因此 PQF2的周长是定值 6.1(2018全国卷)双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ，则其渐近线方程为( )x2a2 y2b2 3A y x B y x2 3C y x D y x22 32A 因为双曲线的离心率为 ，所以 ，即 c a.又 c2 a2 b2，所以( a)3ca 3 3 32 a2 b2，化简得 2a2 b2，所以 .因为双曲线的渐近线方程为 y x，所以 yba 2 bax.故选 A22(2018全国卷)已知 F1， F2是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点若PF1
27、 PF2，且 PF2F160，则 C 的离心率为( )A1 B232 3C. D. 13 12 314D 由题设知 F1PF290， PF2F160，| F1F2|2 c，所以|PF2| c，| PF1| c.由椭圆的定义得| PF1| PF2|2 a，即 c c2 a，所以( 1)3 3 3c2 a，故椭圆 C 的离心率 e 1.故选 D.ca 23 1 33(2017全国卷)已知 F 是双曲线 C： x2 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PFy23与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3)，则 APF 的面积为( )A. B.13 12C. D.23 32D 因为 F 是双曲线 C
28、： x2 1 的右焦点，所以 F(2,0)y23因为 PF x 轴，所以可设 P 的坐标为(2， yP)因为 P 是 C 上一点，所以 4 1，解得 yP3，y2P3所以 P(2，3)，| PF|3.又因为 A(1,3)，所以点 A 到直线 PF 的距离为 1，所以 S APF |PF|1 31 .12 12 32故选 D.4(2016全国卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为( )14A. B.13 12C. D.23 34B 不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点 B(0， b)和一个焦点 F(c，0)，则直线 l 的方程为 1，
29、即 bx cy bc0.由题意知 2b，解得 ，即 e .故选 B.xc yb | bc|b2 c2 14 ca 12 125(2015全国卷)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ， E 的右焦点与抛物1215线 C： y28 x 的焦点重合， A， B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则| AB|( )A3 B6 C9 D12B 根据已知条件求出椭圆的方程，| AB|2| yA|，只需求出| yA|即可抛物线 y28 x 的焦点为(2,0)，椭圆中 c2，又 ， a4， b2 a2 c212，ca 12从而椭圆方程为 1.x216 y212抛物线 y28 x 的准线为 x2， xA xB2，将 xA2 代入椭圆方程可得| yA|3，由图象可知| AB|2| yA|6.故选 B.6(2015全国卷)已知双曲线过点(4， )，且渐近线方程为 y x，则该双曲312线的标准方程为_ y21 法一：设出双曲线方程，然后利用双曲线过点(4， )求解x24 3双曲线的渐近线方程为 y x，12可设双曲线的方程为 x24 y2 ( 0)双曲线过点(4， )，3 164( )24，3双曲线的标准方程为 y21.x24法二：渐近线 y x 过点(4,2)，而 0， b0)x2a2 y2b2由已知条件可得Error!解得 Error!16双曲线的标准方程为 y21.x24
