1、1第 5 节 向心加速度核心素养关键词 知识体系1.圆周运动是变速运动，故圆周运动一定有加速度，任何做匀速圆周运动的加速度都指向圆心，这个加速度叫向心加速度2向心加速度的大小为 an r 2，向心v2r加速度方向始终沿半径指向圆心，与线速度垂直3向心加速度是由物体受到指向圆心的力产生的，反映了速度方向变化的快慢.一、速度的变化量运动物体在一段时间内末速度与初速度之差，即 v v2 v1速度的变化量是矢量，既有大小，又有方向二、向心加速度1定义任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度2方向沿半径方向指向圆心，与该点的线速度方向垂直，向心加速度的方向时刻改变3大小an
2、2r r v .v2r 4 2T24物理意义2向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，线速度方向变化的快慢决定了向心加速度的大小一、合作探究找规律考点一 对向心加速度理解某老师在做竖直面内圆周运动快慢的实验研究，并给运动小球拍了频闪照片，如图所示(小球相邻影像间的时间间隔相等)，对小球在最高点和最低点的向心加速度进行分析1在匀速圆周运动中，物体的加速度就是向心加速度吗？加速度一定指向圆心吗？2在变速圆周运动中，物体的加速度就是向心加速度吗？加速度一定指向圆心吗？答：1.在匀速圆周运动中，物体的加速度就是向心加速度，加速度一定指向圆心2在变速圆周运动中，物体的加速度不是向心加速度，加速度不指
3、向圆心，向心加速度指向圆心考点二 向心加速度的计算如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样， A、 B、 C 是它们边缘上的三个点，请思考：1哪两个点的向心加速度与半径成正比？2哪两点的向心加速度与半径成反比？答：1. B、 C 两个点的角速度相同，向心加速度与半径成正比32 A、 B 两个点的线速度相同，向心加速度与半径成反比二、理解概念做判断1做匀速圆周运动的物体，向心加速度与半径成反比()2向心加速度的方向一定指向圆心()3做圆周运动的物体的加速度一定指向圆心()4向心加速度的作用是改变物体速度的方向()5曲线运动中， v1、 v2和 v v2 v1的方向一般不在一条直
4、线上()要点 1|对向心加速度的理解1速度的变化量的计算(1)同一直线上的速度的变化量当 物 体沿 直 线运 动 时 加 速 运 动 末 速 度 v2大 于 初 速 度 v1 v如 图 1 减 速 运 动 末 速 度 v2小 于 初 速 度 v1 v如 图 2)(2)不在同一直线上的速度的变化量当 v1和 v2不在同一直线上时，如图 3 所示，物体做曲线运动作图时将初速度 v1平移到 B 点，从 v1的末端作 v 至 v2的末端，则 v 即为速度的变化量2对向心加速度的理解(1)向心加速度是矢量，方向总指向圆心，方向始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小向心加速度的
5、大小表示速度方向改变的快慢(2)an 2r，表达式中 an与两个量( 或 v、 r)有关，在讨论时要注意用控制变v2r4量法分析：若角速度 相同，则 an r；若线速度 v 大小相同，则 an .1r(3)从向心加速度的物理意义可知，所有曲线运动均有向心加速度(所有曲线均可以视为由无数段圆弧组成)，而只有匀速圆周运动的向心加速度才等于物体的实际加速度(在学习完下一节后会理解)典例 1 下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( )A向心加速度描述线速度方向变化的快慢B向心加速度表示角速度变化的快慢C向心加速度表示速率改变的快慢D向心加速度不变【思路点拨】 向心加速度为矢量，其方向总是指向
6、圆心，表示线速度变化快慢【解析】 匀速圆周运动的向心加速度指向圆心，是变化的，其只改变速度的方向，不改变速度的大小，所以是描述线速度方向改变快慢的物理量，所以 A 正确；B、C、D 错误【答案】 A(2018玉田期中)甲、乙两球做匀速圆周运动，向心加速度 a 随半径 r 变化的关系图象如图所示，由图象可知( )A甲球运动时，角速度大小为 2 rad/sB乙球运动时，线速度大小为 6 m/sC甲球运动时，线速度大小不变D乙球运动时，角速度大小不变解析：分析图象可知，甲球的向心加速度与半径成正比，即 a r 2，角速度不变，5 2 rad/s，A 选项正确，C 选项错误；乙球的向心加速度与半径成反
7、比， a ， a r v2r即 r2 m 时， a8 m/s 2， v4 m/s，B、D 选项错误答案：A名师方法总结(1)an 2r 中， an与 r 是成正比还是反比要由已知条件决定，当 v 大小一定时，v2ran ，当 一定时， an r.1r(2)匀速圆周运动是向心加速度大小不变，而方向时刻改变的变加速曲线运动名师点易错1对匀速圆周运动来讲，一段时间内的 v 不指向圆心，所以平均加速度 a 一 v t般不指向圆心，而向心加速度是瞬时加速度，时刻指向圆心2匀速圆周运动的加速度，即向心加速度是时刻指向圆心的，是变量因此，匀速圆周运动不是匀变速曲线运动，而是变加速曲线运动.要点 2|传动装置
8、中向心加速度的计算计算传动装置中向心加速度关键掌握三点：1同轴转动的各点角速度相等；2皮带不打滑时，皮带传动的两轮上边缘各点的线速度大小相等；3灵活运用向心加速度的表达式掌握这三点，结合圆周运动中各物理量之间的关系不难得出正确答案典例 2 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑6动，大轮的半径是小轮半径的 2 倍，大轮上的一点 S 离转动轴的距离是大轮半径的 .当大13轮边缘上的 P 点的向心加速度是 12 cm/s2时，大轮上的 S 点和小轮边缘上的 Q 点的向心加速度各为多少？【思路点拨】 皮带不打滑传动的轮子上边缘上两点的线速度大小相等，也就是图中P 点和 Q 点
9、的线速度大小相等，而 P、 S 在同一个轮子上，所用两点角速度相等，再根据加速度公式确定各点加速度的关系【解析】 S 点和 P 点角速度相同，即 S P，由 an 2r 可得 ，所以aSaP rSrP 13aS aP0.04 m/s2； P 点和 Q 点线速度相同，即 vP vQ，由 an 可得 2，所以13 v2r aQaP rPrQaQ2 aP0.24 m/s 2.【答案】 0.04 m/s 2 0.24 m/s 2如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮 1 的半径和轮 2 的半径相同，轮 3 的半径和轮 4 的半径相同，且为轮 1 和轮 2 半径的
10、一半，则轮 1 边缘的 a 点和轮 4 边缘的 c 点相比( )A线速度之比为 14B角速度之比为 41C周期之比为 12D向心加速度之比为 18解析：设轮 3 的半径为 r， a 的角速度为 ，线速度为 2r ，则轮 3、2 的角速度为2r r2 ，轮 2 的线速度为 2 2r4 r ，轮 4 的线速度也是 4r ，角速度为 4 ，加速度 a 2r，所以 A、B、C 错误；D 正确7答案：D名师方法总结名师点易错向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，只有在某一个物理量不变时才能分析另外两个物理量之间的关系.在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：(
11、1)先确定是线速度大小相等，还是角速度相等.(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比；在角速度相等时，向心加速度与半径成正比.对点训练一 对向心加速度的理解1.关于向心加速度，下列说法正确的是( )8A由 an 知，匀速圆周运动的向心加速度恒定v2rB匀速圆周运动不属于匀速运动C向心加速度越大，物体速率变化越快D做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心解析：由 an 知，匀速圆周运动的向心加速度大小是恒定的，但是方向不断改变，v2r选项 A 错误； 匀速圆周运动的速度方向不断改变，故不属于匀速运动，选项 B 正确； 向心加速度越大，物体速度方向改变的越快，选项 C 错误； 只有做匀速圆周运
12、动的物体，加速度才时刻指向圆心，选项 D 错误.故选 B答案：B2.(2018虹口区一模)将地球视为理想球体，且只考虑自转，不考虑其绕太阳的运动，则( )A南回归线与北回归线上各点的线速度都相同B赤道上各点的向心加速度等于重力加速度C地球表面和内部各点的向心加速度方向均指向地心D在地球的某一条半径上，各点的线速度均与它到地心的距离成正比解析：地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动，回归线上各点的线速度大小相等，方向并不相同，A 选项错误；向心加速度是指各点做圆周运动的加速度，所以赤道上各点的向心加速度不同于重力加速度，B 选项错误；地球表面各点向心加速度的方向都指向地轴的一点，只有赤道上各点向心
13、加速度的方向指向地心，C 选项错误；在地球的某一条半径上，各点属于同轴转动模型，角速度相同， v r ，在地球的某一条半径上，各点的线速度均与它到地心的距离成正比，D 选项正确.答案：D对点训练二 向心加速度的计算93.如图所示是一个皮带传动减速装置，轮 A 和轮 B 共轴固定在一起，各轮半径之比RA RB RC RD2112，求在运转过程中，轮 C 边缘上一点和轮 D 边缘上一点向心加速度之比.解析： B、 D 轮边缘线速度相等， A、 C 轮边缘线速度相等， A、 B 轮角速度相等. vCvD21， 41， 81.vA12vA C D2 A12 A aCaD vC CvD D 21 41答
14、案：81【强化基础】1.(2018普兰店市期中)下列关于向心加速度的说法中，正确的是( )A向心加速度的方向始终与速度的方向垂直B向心加速度的方向可能与速度方向不垂直C向心加速度的方向保持不变D向心加速度的方向与速度的方向平行解析：做圆周运动的物体受到向心加速度作用，向心加速度的方向始终指向圆心，而速度方向始终沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度的方向垂直，A 选项正确，B、D 选项错误；向心加速度的方向始终指向圆心，绕圆心转动，方向时刻在变化，C 选项错误.答案：A2.A、 B 两个质点分别做匀速圆周运动，在相等时间内通过的弧长之比 sA sB43，10转过的圆心角之比 A B3
15、2，则下列说法中正确的是( )A它们的线速度之比 vA vB43B它们的角速度之比 A B23C它们的周期之比 TA TB32D它们的向心加速度之比 aA aB32解析：在相等时间内通过的弧长之比 sA sB43，因为线速度 v ，所以它们的线st速度之比 vA vB43，A 正确；根据 可得它们的角速度之比 A B32，B t错误；根据公式 T 可得 TA TB23，C 错误；根据公式 a v ，可知2aA aB21，故 D 错误.答案：A3. 如图所示，质量为 m 的木块从半径为 R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )A加速度为零B加速度
16、恒定C加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D加速度大小不变，方向时刻指向圆心解析：由于摩擦力的作用使木块的速率不变，则木块做匀速圆周运动，向心加速度大小恒定，方向指向圆心，时刻改变，D 选项正确.答案：D4.(2018北京市海淀区测试)关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是( )11A由于 a ，所以线速度大的物体的向心加速度大v2rB由于 a ，所以旋转半径大的物体的向心加速度小v2rC由于 a 2r，所以角速度大的物体的向心加速度大D以上结论都不正确解析：对于多个变量存在的情况下，研究一个量与另一个量的关系时，用到控制变量法，故线速度大的物体的向心加速度不一定大，还要看半
17、径，A 选项错误；旋转半径大的物体的向心加速度不一定小，还要看线速度，B 选项错误；根据 a 2r 可知，角速度大的物体的向心加速度不一定大，还要看半径，C 选项错误，D 选项正确.答案：D5.(2018慈利期中)一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，向心加速度为 a，那么说法中不正确的是( )A小球的角速度为 aRB小球在时间 t 内通过的路程 s t aRC小球做匀速圆周运动的周期 T aRD小球在时间 t 内可能发生的最大位移为 2R解析：根据向心加速度的关系式可知， a R 2，解得小球的角速度 ，A 选项正aR确；根据线速度大小的关系式可知， v R ， t 时间
18、内小球通过的路程aRs vt t ，B 选项正确；根据周期的定义可知， T 2 ，C 选项错误；圆周运动aR2 Ra两点间的最大距离就是直径， t 时间内最大位移为 2R，D 选项正确.答案：C【巩固易错】6.(多选)12一小球质量为 m，用长为 L 的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于 O 点，在 O 点正下方处钉有一颗钉子.如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后L2的瞬间，则( )A小球的角速度突然增大B小球的线速度突然减小到零C小球的向心加速度突然增大D小球的向心加速度不变解析：由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的
19、半径变为原来的一半，由 v r 知，角速度变为原来的两倍，A 正确，B 错误；由 a 知，小球的向心加速度变为原来的两倍，C 正确，D 错误.v2r答案：AC7.如图所示，靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑，大轮半径是小轮半径的 2 倍. A、 B 分别为大、小轮边缘上的点， C 为大轮上一条半径的中点.则( )A两轮转动的角速度相等B大轮转动的角速度是小轮的 2 倍C向心加速度 aA2 aBD向心加速度 aB4 aC解析：摩擦传动的装置，边缘各点的线速度大小相等，A 选项错误；大轮半径是小轮13半径的 2 倍，根据 可知，大轮转动的角速度是小轮的 ，B 选项错误；根据 a 可vr
20、 12 v2r知， aA ，C 选项错误；根据 a 2r 可知， aA2 aC，即 aB4 aC，D 选项正确.aB2答案：D【能力提升】8.飞行员从俯冲状态往上拉时，会发生黑视，第一是因为血压降低，导致视网膜缺血；第二是因为脑缺血.飞行员要适应这种情况，必须进行严格的训练，故飞行员的选拔是非常严格的.为了使飞行员适应飞行要求，要用如图所示的仪器对飞行员进行训练，飞行员坐在一个在竖直平面内做匀速圆周运动的舱内边缘，要使飞行员的加速度 a6 g，则角速度 rad/s.( R20 m， g 取 10 m/s2)解析：根据 a 2R，可得 rad/s.aR 3答案： 39.如图所示，定滑轮的半径为 r10 cm，绕在滑轮上的细线悬挂一重物，由静止开始释放，测得重物以 a2 m/s2的加速度做匀加速运动.在重物由静止开始下落 1 m 的瞬间，求：(1)滑轮边缘上的 P 点的角速度为多少？(2)P 点的向心加速度 a 为多少？解析：(1)重物以 a2 m/s2 的加速度做匀加速运动，则由静止下落 1 m 的瞬时速度为14v 2 m/s2ax所以此时 P 点的角速度为 20 rad/s.vr(2)P 点的向心加速度为 a v 40 m/s 2.答案：(1)20 rad/s (2)40 m/s 2
