1、3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型【选题明细表】知识点、方法 题号指数函数、对数函数、幂函数模型的比较 1,2,5图象信息迁移问题 3,8应用函数模型解决问题 4,6,71.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( D )(A)y=100x (B)y=log100x(C)y=x100 (D)y=100x解析:几种函数模型中,指数函数增长速度最快,故选 D.2.在某实验中,测得变量 x 和变量 y 之间对应数据,如表.x 0.50 0.99 2.01 3.98y -1.01 0.01 0.98 2.00则 x,y 最合适的函数是( D )(A)y=2x (B
2、)y=x2-1(C)y=2x-2 (D)y=log2x解析:根据 x=0.50,y=-1.01,代入计算,可以排除 A;根据 x=2.01,y =0.98,代入计算,可以排除 B,C;将各数据代入函数 y=log2x,可知满足题意.故选 D.3.某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量的增长速度保持不变,则可以用来描述该厂前 t 年这种产品的年产量 c 与时间 t 的函数关系的是( )解析:注意以下几种情形:图表示不再增长,图表示增速恒定不变,图表示增长速度越来越快,图表示增长速度逐渐变慢.故选 A.4.某厂原来月产量为 a,一月份增产 10%,二月份
3、比一月份减产 10%,设二月份产量为 b,则( A )(A)ab (B)ab.99100【教师备用】 在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度 I 与电线半径 r 的三次方成正比,若已知电流通过半径为 4 毫米的电线时,电流强度为 320 安,则电流通过半径为 3 毫米的电线时,电流强度为( D )(A)60 安 (B)240 安 (C)75 安 (D)135 安解析:由已知,设比例常数为 k,则 I=kr3.由题意,当 r=4 时,I=320,故有 320=k43,解得 k= =5,所以 I=5r3.32064故当 r=3 时,I=53 3=135(安),故选
4、 D.【教师备用】 在某种金属材料的耐高温实验中,温度 y()随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示:现给出下列说法:前 5 min 温度增加越来越快;前 5 min 温度增加越来越慢;5 min 后温度保持匀速增加;5 min 后温度保持不变.其中说法正确的是( C )(A) (B) (C) (D)解析:前 5 min 温度 y 随 x 增加而增加,增长速度越来越慢;5 min 后,温度 y 随 x 的变化曲线是直线,即温度匀速增加.故正确.故选 C.5.以下是三个变量 y1,y2,y3随变量 x 变化的函数值表:x 1 2 3 4 5 6 7 8 y1 2 4 8
5、16 32 64 128 256 y2 1 4 9 16 25 36 49 64 y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 其中,关于 x 呈指数函数变化的函数是 . 解析:从表格可以看出三个变量 y1,y2,y3都随 x 的增大而变大,但增长速度不同,其中 y1的增长速度最快,画出它的散点图(图略)知变量 y1关于x 呈指数函数变化.答案:y 1【教师备用】 如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲,乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发
6、3 h,晚到 1 h;(2)骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;(3)骑摩托车者在出发 1.5 h 后追上了骑自行车者;(4)骑摩托车者在出发 1.5 h 后与骑自行车者速度一样.其中正确信息的序号是 . 解析:看时间轴易知(1)正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此(2)正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故(3)正确,(4)错误.答案:(1)(2)(3)【教师备用】 画出函数 f(x)= 与函数 g(x)= x2-2 的图象,并比较两者14在0,+)上的大小关系.解:函数 f(x)与
7、 g(x)的图象如下.根据图象易得:当 0xg(x);当 x=4 时,f(x)=g(x);当 x4 时,f(x)0,b1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y 与年份 x 的关系?解:建立年产量 y 与年份 x 的函数,可知函数图象必过点(1,8),(2,18),(3,30).构造二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a0),将点坐标代入,可得 +=8,4+2+=18,9+3+=30,解得 a=1,b=7,c=0,则 f(x)=x2+7x,故 f(4)=44,与计划误差为 1.构造指数函数模型 g(x)=abx+c(a0,b0,b1),将点坐标代入,可得 +=8,2+=18,3+=30,解
8、得 a= ,b= ,c=-42,1253 65则 g(x)= ( )x-42,1253 65故 g(4)= ( )4-42=44.4,1253 65与计划误差为 1.4.由可得,二次函数模型 f(x)=x2+7x 能更好地反映该公司年产量 y 与年份 x 的关系.8.据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点T(t,0)作横轴的垂线 l 交梯形 OABC 于另一点 D,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km).(1)当 t=4 时,求 s 的值
9、;(2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来;(3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.解:(1)由图象知,点 A 的坐标为(10,30),故直线 OA 的解析式为 v=3t,当t=4 时,D 点坐标为(4,12),所以 OT=4,TD=12,所以 s= 412=24(km).12(2)当 0t10 时,此时 OT=t,TD=3t,所以 s= t3t= t2,12 32当 10t20 时,此时 OT=t,AD=t-10,TD=30,所以 s= 1030
10、+30(t-10)=30t-150;12当 20t35 时,因为 B,C 的坐标分别为(20,30),(35,0),所以直线 BC 的解析式为 v=-2t+70,此时 D 点坐标为(t,-2t+70),所以 TC=35-t,TD=-2t+70,所以 s= (10+35)30- (35-t)(-2t+70)=-(35-t)2+675,12 12所以 s=322,010,30150,1020,(35)2+675,2035.(3)法一 由(2)知,当 10t20 时,30t-1503020-150=450.当 20t35 时,令-(35-t) 2+675=650 得 t=40(舍去)或 t=30.故当沙尘暴发生 30 h 后它将侵袭到 N 城.法二 因为当 t=20 时,s=3020-150=450(km),当 t=35 时,s=-(35-35) 2+675=675(km),而 450650675,所以 N 城会受到侵袭,且侵袭时间 t 应在 20 h 至 35 h 之间,由-(35-t) 2+675=650,解得 t=30 或 t=40(不合题意,舍去).所以在沙尘暴发生后 30 h 它将侵袭到 N 城.
