1、 【三年高考精选】1. 【2018 年理新课标 I 卷】2. 【2018 年全国卷理】3.【2018 年理数全国卷 II】已知向量 ， 满足 ， ，则a b |a| =1 ab=1 a(2ab)=A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【答案】B4.【2017 课标 1，理】已知向量 a，b 的夹角为 60，| a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= _ .【答案】 23【解析】 ，所以 .22|4|41cos60412ab 1235.【2017 课标 II，理】已知 是边长为 4 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小 (+)值是A. B. C. D. 232 3 6【答案】D【解
2、析】以 BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则 A（0，2 ） ，B（2，0） ，C（2，0） ，3设 P（x，y） ，则 =（x，2 y） ， =（2x，y） ， =（2x，y） ，所以 （ + ） 3 =x（2x）+（2 y）（2y）=2x 24 y+2y2=2x2+2（y ） 23 ；所以当 x=0，y= 时，3 3 3 3（ + ）取得最小值为 2（3）= 6故选：D 6【2017 课标 3，理】7 【2016 高考新课标 1 理数】设向量 a=(m,1)，b =(1,2)，且|a+b| 2=|a|2+|b|2，则 m= .【答案】 2【解析】由 ，得 ，所以 ，解得 .2|a
3、ba10mm8 【2016 高考新课标 2 理数】已知向量 ，且 ，则 m=(1,)， =(3,2) (+)A. 8 B. 6 C. 6 D. 8【答案】D9 【2016 高考新课标 3 理数】已知向量 , 则 ABC=(12, 32)=( 32,12), A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 【答案】A【解析】由题意，得 ，所以 ，故选 A=|=12 32+321211 =32 =30【三年高考刨析】试题来源 考查考点 数学素养 解题关键2018 全国理科 12018 全国理科 2 平面向量的数量积，向量的模数学运算逻辑推理准确掌握平面向量的数量积，向量的模并能灵活应用2018
4、全国理 科 32017 全国理科 1 向量的模 数学运算 准确掌握向量的模的概念并能灵活应用逻辑推理2017 全国理科 2 平面向量的数量积，向量的坐标运算数学运算逻辑推理准确掌握平面向量的数量积的概念，向量的坐标运算并能灵活应用2017 全国理科 32016 全国理科 1 平面向量的数量积，两个向量垂直数学运算逻辑推理准确掌握向量的数量积的概念，两个向量垂直问题，并能灵活应用2016 全国理科 2 平面向量的坐标运算、数量积数学运算逻辑推理准确掌握平面向量的坐标运算、数量积的概念并能灵活应用2016 全国理科 3 向量的夹角公式 数学运算逻辑推理准确掌握向量的夹角公式并能灵活应用命题规律总结
5、对平面向量数量积及其应用的考查，常常结合平面向量的加减、实数与向量积的运算，运用平面向量数量积的定义、数量积的运算法则、数量积的性质，计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影，而向量的数量积及运算律，向量垂直的充要条件是高考的热点，题型既有选择题、填空题，有时也涉及解答题，往往和解析几何结合出题，函数等结合出题，与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及，而对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到【2019 年高考命题预测】预测 2019 高考，对平面向量数量积及其应用的考查，
6、重点仍为结合平面向量的加减、实数与向量积的运算，运用平面向量数量积的定义、数量积的运算法则、数量积的性质，计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影，考查形式为选择题或填空题，分值为 5 分，试题难度为为容易题或中档题，也可为选择题或填空的压轴题，注意向量作为工具，常用向量形式给出题的条件或利用向量数量积处理其中的夹角与垂直问题.【2019 年一轮复习指引】由前三年的高考命题形式可以看出，整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容试题难度为多为容易题或中档题，少数为选择题
7、或填空的压轴题.在备战 2019 年高考中，同学们要熟记向量数量的定义、运算法则及平面向量的数量积性质，加强运用这些知识计算平面向量数量积、向量 的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影等题型的训练，善于将题中的向量形式给出的条件，转化为代数条件或几何条件,善于用平面运用平面向量数量积处理长度、夹角、垂直等问题.【2019 年高考考点定位】高考对平面向量数量积及其应用的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量数量积的概念及其几何意义、平面向量数量积的运算法则及一个向量在另一个向量方向上的投影，二是考查平面向量夹角问题与向量垂直的充要条件的应用，三是考查平面向量的
8、模及平面向量数量积的综合运用，题型为选择题、填空题、解答题的第一个大题，大多难度容易题或中档题，少数为选择题或填空题的最末一题为难题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量垂直的充要条件、向量夹角公式、或向量模公式分别处理涉及的垂直问题、夹角问题和长度问题.考点一、平面向量数量积及其几何意义典例 1【浙江省诸暨市 2018 届 5 月适应性考试】平行四边形 中， 在 上投影的数量分别为,，则 在 上的投影的取值范围是（ ）3,1 A B C D (1,+) (1,3) (0,+) (0,3)【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设 ，则： 则：（ ， 0
9、） （ 3， ）， （ 1， ），解得： 所以： 在 上的摄影3（ 1） =， =2 （ 1， ） ,（ 3， ） 当 时， ，得到： 当 时， ， |=1+2 0 1 1 + 0，故选：A+【备考知识梳理】1. 平面向量的数量积：(1)已知非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则把| | | 叫做 与 的数量积，记作 ，记作ababcosabab=| | | ，规定 =0.abcos0注意平面向量的数量积是一个实数，既可以为正，也可以为负，也可以为 0，与向量其他运算区别开来.(2)已知 =（ ， ） ， =（ ， ） ，则 = + .a1xyb2xyab1x2y2. 向量的投影：| | 叫向量
10、在向量 方向上的投影，它是一个实数，而不向量 .cos向量 在向量 方向上的投影为 .b|a3.平面向量的数量积的几何意义等于 的模与 在向量 方向上的投影的乘积.ab4.数量积的运算法则：（1） = ；（2） = ， （3） =. =a()+cabc()ab()()ab【规律方法技巧】1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2. 计算向量 在向量 方向上的投影有两种思路：思路 1，用| | 计算;思路 2，利用 计算.babcosab|3. 注意向量的数量积不满足消去率和结合律.4. 在计算向
11、量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【考点针对训练】1. 【河南省郑州市 2018 届第三次质量预测】在 中， ， ， ，则 （ =3|=1 =）A B C D 1 2 3 4【答案】D【解析】 =(+)=(+4)=(+4()=(43)=423=4，故选 D.2. 【广东省汕头市 2018 届 5 月冲刺】已知向量 满足 ， ， ，则向量 在向量, |=5 |+|=4 |=6 上的投影为_【答案】 1【解析】向 量 满足 ，可得 ，即为, |=5,|+|=4,|=6 (+)2=16,()2=36，两式相减可得 ，则向量 在向量 上的投影为2+2+
12、2=16,2+22=36 =5 ，故答案为 .| =55 =1 1【考点 2】向量垂直问题与向量夹角问题典例 2【黑龙江省 2018 届仿真模拟(三) 】已知单位向量 ， 的夹角为 ，则向量 与 的夹1 2 60 1+2 221角为_【答案】23【备考知识梳理】1. 向量夹角(1)定义：已知非零向量 、 ，作 = ， = ，则 就是 与 的夹角 ，范围为 ，当向abOAaBbAOab0,量 与 同向时， 与 的夹角为 0，当向量 与 反向时， 与 的夹角为 ，注意通过平移使两个向量ab 有共同的起点，向量所在的射线所成的角才是向量夹角.(2)若向量 与 的夹角为 ，则 = .cosab|(3)
13、若已知向量 =（ ， ） ， =（ ， ） ，向量 与 的夹角为 ，则 = .a1xy2xycos122xy2.向量垂直(1)概念：若 与 的夹角为 ，则称 与 垂直，记作 .abo90abab（2）已知非零向量 ， ，则 =0.(3)已知非零向量 ， ， =（ ， ） ， =（ ， ） ，则 + =0.1xy2xy1x2y【规律方法技巧】1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.2.在求夹角时要注意：(1)当 ， 是非坐标形式时，需要先求出 及| |、| |或它们的关系.abab(2)若已知向量 ， 的坐标，直接利用公式求解.(3)若两个向量夹角为锐角，则 0，反之，不一定
14、；若两个向量夹角为钝角，则 小于 0，反之，cos cos不一定.3.利用向量数量积研究垂直问题时注意给出的形式：可以用定义式，也可以用坐标式.【考点针对训练】1. 【黑龙江省 2018 届仿真模拟（四） 】若向量 ， 满足： ， ， ，则 （ |=1 (+) (3+) |=）A B C D 3 3 133【答案】B2. 【河北省衡水中学 2018 届三轮复习系列七 】已知 ， 为平面向量，若 与 的夹角为 ， 与 的 + 3 + 夹角为 ，则 （ ）4 |=A B C D 33 64 53 63【答案】D【解析】如图所示：在平行四边形 中， ， ，=,=,=+=3,=4在 中，由正弦定理可得
15、， ，故选 D. |=43=2232=63【考点 3】平面向量模与向量的数量积的综合运用典例 3【河南省安阳 35 中 2018 届核心押题卷】向量 ，对 ，则（ ,|=1 ,|+|）A B C D （ +） （ +） （ ） （ +）【答案】C【备考知识梳理】1. 向量的模：向量 的模就是表示向量 的有向线段的长度，记作| |，它表示向量 的大小，是非负数.aaaa2. .2|a3.若向量 =（ ， ） ，则| |= .1xy21xy4.若 A（ ， ） ，B（ ， ） ，则 = .2|AB2211()()xy【规律方法技巧】1. 对于长度问题，可以用向量的模来处理，若向量 是非坐标形式，用
16、 求模长；若给出a2|a向量 的坐标，则用| |= 来求解.aa21xy2. 对向量与其他知识结合的综合问题，有两种思路，思路 1:需要将题中以向量形式给出的条件利用相 关公式化为代数代数条件或几何条件，结合相关知识解题；思路 2：将题中平行、垂直、角、长度等问题，运用向量的相关知识，转化为向量问题去处理.【考点针对训练】1. 【河北省武邑中学 2019 届高三开学考试】已知向量 满足 ，则 的取值范围, |+|=|=5 |+|是A B C D 0,5 5,52 52,7 5,10【答案】B2. 【安徽省江南十校 2018 届冲刺联考（二模） 】向量 ， ， 满足： ， ， |=|=2 =2，
17、则 最大值为（ ）()()=12| |A B C D 2 2 1 4【答案】D【解析】因为 ， ，所以 的夹角为 ，因为 ，|=|=2 =2 , 1200()()=12|所以 的夹角为 ；作 （如图 1、图 2 所示） ，则 ，, 600 =,=,= =,=由图象，得 的最大值为 4|图 1 图 2【应试技巧点拨】1.如何利用向量的几何表示三角形的各种心向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下： 为 的重心，特别地 为 的重心；1()3PGABPCGAB0PABCPABC是 BC 边上的中线 AD 上的任意向量，过重心； 等于已知),0,
18、1,2DAD 是 中 BC 边的中线. 为 的垂心； 是PABCPABC()|cos|cosABC0,)ABC 的边 BC 的高 AD 上的任意向量，过垂心. 的内心；向量 所在直线过|0P ()(0|ABC的内心(是 的角平分线所在直线 ).ABCA )()()0OBOCAC为22O的外心.ABC2. 向量垂直的重要应用向量垂直的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断垂直；二是利用垂直的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.向量垂直的充要条件： . 0|abab120xy3.如何恰当的选择向量的数量积的公式求向量的数量积的公式有两个：一是定义式 ；二是坐标式
19、.定义式的cosab12xy特点是具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，夹角的求解方法灵活多样，一般通过具体的图形可确定，因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解.即向量问题“坐标化”，使得问题操作起来容易、方便.4求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律； (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角关系是钝角1. 【湖南省长沙市 2018 届第三次模拟】 已知非零向量 ，满足 且
20、，则, |=22|, (+)(32)=0的夹角为与 A B C D 4 2 34 【答案】A2. 【广东省广州市 2018 届七校联考 】平行四边形 中， 点 在边 上，=2,=1,=1, 则 的最大值为A 2 B C 0 D 31 21【答案】A【解析】平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=1， ，点 M 在边 CD 上，=1 =1，cosA=1，|cosA= ，A=120 ，以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的垂线为 y 轴，建立如图所示的12坐标系，A（0，0） ，B（2，0） ，D（ ， ） ，设 M（x， ） ，则 x ， =（x， ） ，12 32 32
21、 12 32 32=（2x， ） ，32 =x（ x2）+ =x22x+ =（x1） 2 ，设 f（x）=（x1） 2 ，则 f（x）在 ，1）上单34 34 14 14 12调递减，在1， 上单调递增，f（x） min=f（1）= ，f（x） max=f（ ）=2，则 的最大值是32 14 12 2，故答案为：A3. 【河南省信阳市 2018 届模拟】已知 中， , , , 为 AB 边上的中点，则=10=6=8 +=A 0 B 25 C 50 D 100【答案】C4. 【宁夏石嘴山 2018 届第四次模拟】已知向量 ,若 ，则 等于=( 3,1),=(0,1),=(,3) (2) A B
22、2 C D 123 3【答案】C【解析】因为 ， 所以 ,选 C.(2) 2=（ 3， 3） ， 3+33=0， =35 【湖北省荆州 2018 届全真模拟】向量 ， ，对 ， ，则 |=1 |+|A B C D (+) (+) ()(+)【答案】C【解析】将 平方可得： ，即对 ，该式恒成立，|+| 22210 即 ，整理可得： ，即 ，则 ，故选=(2)2+4(2+1)0 +1=0 (+)=0 (+) 6 【2018 年高考考前猜题卷之专家猜题卷】在面积为 1 的 中， ， 分别是 ， 的中点，点 在 直线 上，则 的最小值是（ ） +2A 1 B C D 22 3【答案】C【解析】以 为
23、原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，设 ， 的面积 (,0),(,2),(,) 为 ， ， ，1,=1 +2=(,)(,)+2=2+2+2=2+2+12令 ， 的最小值为 ， （当且仅当()=2+2+12 () 4(2+12)24 =32+424 14234=3取等号）,故选 C. 32=427 【河北省武邑中学 2018 届第五次模拟】非零向量 满足： ， ，则 与 夹, |=| ()=0 角的大小为 ( )A B C D 135 120 60 45【答案】A8 【河南省 2018 届最后一次模拟】在平面直角坐标系中,已知三点 , 为坐标原点若向量(,1),(3,),(4,5)与 在
24、向量 方向上的投影相等,则 的最小值为( ) 2+2A B C D 125 14425 12 144【答案】B【解析】因为向量 与 在向量 方向上的投影相同,所以 ，即： ,整 = 3+=12+5理可得 .即点 在直线 上. 的最小值为原点到直线3412=0 (,) 3412=0 2+2的距离 的平方 ,因为 ，所以 的最小值为 .本题选择 B 选项.3412=0 = 1232+42=125 2+2 144259 【安徽省江南十校 2018 届冲刺联考】在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 是 和 的等 差中项， ， ，则 周长的取值范围是（ ）0=32 A B C D (2+32
25、 ,3+32 ) ( 3,3+32 ) (1+32 ,2+32 ) (1+32 ,3+32 )【答案】B10 【江苏省南通市 2018 年高考模拟】若ABC 中，AB= ，BC =8， 45，D 为 ABC 所在平面内2 =一点且满足 ，则 AD 长度的最小值为 _()()=4【答案】 2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意， ，设 ，所以(1,1),(7,1) (,)， 所以 ，即=(1,1),=(7,1),=(,) ()()=()(7)=4，令 ，则 ，所以 ，所以(+)(7)=4 +=7= =18()=18(7+) =4=2+2=18()2+(7+)2=18502+22+12，当
26、且仅当 时， 取得最小值 .=28 252+2+2428 10+24=2 5=25 211.【湖南省长沙市长郡中学 2017 届高三临考冲刺】如图，在平行四边形 中， ，ABCD1,2A点 分别是 边上的中点，则 （ ）,EFGH,ABCDEFGHEA. B. C. D. 3234【答案】A【解析】取 HF 中点 O，则 , 22134EFGHEO，因此 ，选 A.22134GHE 2FGHE12. 【四川省师范大学附属中学 2017 届高三 5 月模拟】在 中 为边 的三ABC,4,3bcEF、 BC等分点，则 的最小值为（）AEFA. B. C. D. 93282693【答案】C13. 【
27、江西 师范大学附属中学 2017 届高三第三次模拟】已知正方形 的边长为 2， 是 的中点，ABCDEBC以点 为圆心， 长为半径作圆，点 是该圆上的任一点，则 的取值范围是（ ）CEPPA. B. C. D. 0,2626,0,2525,【答案】D【解析】以 为原点建立如图所示的坐标系，则 ，设 ， ,0,1,ADEcos,Pin， ， 1,2cos2,EAPin225Psinii，故选 D. 5,14. 【江苏省如皋市 2017 届高三联考（二） 】平面直角坐标系中，角 满足 ， ，2=45 2=35，设点 是角 终边上一动点，则 的最小值是_=(1 ， 0) |【答案】242515. 【
28、天津市耀华中学 2017 届高三第一次模拟】如图， 梯形 中， ， ， ABCDA2B， , 和 分别为 与 的中点，对于常数 ，在梯形 的四条边上4CD5BAEFCD恰好有 8 个不同的点 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）PA. B. C. D. 59,42051,41,491,204【答案】D【解析】以 DC 所在直线为 x 轴，DC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，则梯形的高为 ,A(1,2), B(1,2),C(2,0),D(2,0), .当 P 在 DC 上时,设 P(x,0)5123,1,2EF(2x2),则 .于是 ，当33,12PExPF 2514Pxx时,方程有
29、一解,当 时， 有两解；当 P 在 AB 上时,设 P(x,2)(1x1),则5454. ，当 时,方33,1,122PExPF 235124PEFx 54程有一解,当 时， 有两解；当 P 在 AD 上时，直线 AD 方程为 y=2x+4，设 P(x,2x+4)514(2x1),则 .于是33,2,2PExFx，当 或 时,方程27512 4F 920194有一解,当 时，方程有两解；当 P 在 CD 上时,由对称性可知当 或 时，9104 方程有一解，当 时，方程有两解；综上,若使梯形上有 8 个不同的点 P 满足 成2 EF立，则 的取值范围是 .本题选择 D 选项.5119120191
30、,4420494204【一年原创真预测】1. 已知 ， 是两个单位向量，而 ， ， ， ，则对于任意实数 ， |=13=12 =1 =2 1,2的最小值是_ |12|【答案】 3【解析】点睛：该题， ，得到关于 的关系式，配方求得最小值.1,2【入选理由】本题考查的是有关向量模的最小值问题等基础知识，意在考查基本的运算能力.本题应用向量的平方与向量模的平方是相等的，但有一定的综合性，故选此题.2. 已知向量 ， ， OCmAnB，若 O与的夹角为 60，且 OCAB，则实3OA2B数mn的值为（ ）A. 16 B. 4 C. 6 D. 4【答案】A【解析】 32cos603, ,OBOCmAn
31、BC220mnAmnBOmAnB ， 1394,6，故选 A. 【入选理由】本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充要条件，向量的模等基础知识，意在考查基本运算能力本题体现向量作为一个工具作用，故选此题.3. 已知平面向量 , 满足 ， 若 ，则, |=3,|=|=5,01 =0的最小值为_|+()|+|35+(1)()|【答案】 .343【解析】设 A(x,y)，B(5，0),C(0,5),则|+()|+|35+(1)()|= ，问题转化为点 到点 A(x,y)的距离和到(55)2+(5)2+（ 55)2+(52)2 (55,5)点 D（0,2）的距离之和最小，点 在曲线 x+y=5（0x
32、5）上运动，点 A(x,y)在圆 上(55,5) 2+2=9运动，所以|PD|+|PA| |PD|+|PO|-r=|PD|+|PO |-3，设点 O 关于直线 x+y=5（0x5）对称的点为 G(5，5),所以|PD|+|PO| ，所以|PD|+|PA| .故答案为:|=52+32=34 343 343【入选理由】本题主要考查坐标法的运用，考查对称的思想方法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力.考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力，是中档题本题综合性较强,有一定的难度，故选此题.4. 已知直线 xyb0 与圆 交于不同的两点 A，B若 O 是坐标原点，且 ，2+2=9|+|22
33、|则实数 b 的取值范围是_【答案】 （ 3 2， 6 6,3 2)【入选理由】本题考 查平面向量知识的运用，直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查学生的运算求解能力及运用所学知识分析问题解决问题的能力本题体现向量作为一个工具作用，故选此题.5. 如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，P 为以 A 为圆心，AB 为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则 的取值范围是_； 若向量 ，则 的 =+ +最小值为_. 【答案】 0,112【解析】如图，以 A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴，建立 平面直角坐标系，结合题意，可知，所以 (0,0),(1,0
34、),(,)(0,2) =(,)(1,)，因为 ，所以 ，所=(1)+=2+2=10,2 0,1以 ，所以 的范围是 ；根据 ，可得10,1 0,1 =+，即 ，从而可以求得 ，(1,1)=(12,1)+(,) 1=12+1=+ =22+2,= 3+2所以 ，因为 ，所以 ，所以当 取得最大值 1 时，+=22+3+2 0,2 0,1,0,1 同时 取得最小值 0，这时 取得最小值为 ，所以 的最小值是 . +02+30+2 =12 + 12【入选理由】本题考查平面向量的坐标运算、有关向量的问题等基础知识，意在考查基本的运算能力本题在解题的过程中，注意建立相应的坐标系，将向量坐标化，从而容易求解，,而向量坐标化是是解决向量问题的重点方法，故选此题.
