1、第五节 直线、平面垂直的判定及其性质,基础梳理,1. 直线与平面垂直,(1)直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面内的 一条直线都垂直,就说直线a与平面互相垂直.,(2)直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条 垂直,那么这条直线垂直于这个平面.,(3)直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线 .,任意,相交直线,平行,2. 点面、线面距离及线面角,(1)点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线, 的距离,叫做这个点到这个平面的距离.,(2)直线和平面的距离 一条直线和一个平面 ,这条直线上 到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.
2、,(3)直线与平面所成的角 平面的一条斜线与它在这个平面内的 所成的 ,叫做这条直线与这个平面所成的角. 一条直线 于平面,则称它们所成的角是直角;一条直线与平面 或 ,则称它们所成的角是0的角.,这个点和垂足间,平行,任意一点,射影,锐角,垂直,平行,在平面内,3. 二面角及其平面角,4. 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是 ,那么就说这两个平面互相垂直.,(1)二面角的定义 一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ,这条直线叫做二面角的 ,每个半平面叫做二面角的 .,(2)二面角平面角的定义 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂
3、直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的 .,二面角,棱,面,平面角,直二面角,(2)平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的 ,那么这两个平面互相垂直.,典例分析,题型一 线线垂直 【例1】如图,=CD,EA,垂足为A, EB,垂足为B,求证:CDAB.,分析 要证CDAB,只需证CD平面ABE即可.,(3)平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面.,一条垂线,交线,证明 =CD,CD,CD. 又EA,CD,EACD. 同理EBCD. EACD,EBCD,EAEB=E, CD平面EAB. AB平面EAB, ABCD.
4、,学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰三角形的性质等;若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.,举一反三 1. 如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于ABCD所在的平面,过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G. 求证:AESB,AGSD.,证明： SA平面ABCD, BC 平面ABCD, SABC.又BCAB,SAAB=A,BC平面SAB. 又AE平面SAB,BCAE. SC平面AEFG,AE平面AEFG,SCAE. BCSC=C,AE平面SBC.又SB平面SBC, AESB.同理可证
5、,AGSD.,题型二 线面垂直 【例2】如图,P为ABC所在平面外一点,PA平面ABC,ABC=90,AEPB于E,AFPC于F. 求证:(1)BC平面PAB; (2)AE平面PBC; (3)PC平面AEF.,分析 要证明线面垂直，只要证明这条直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可.,证明 (1)PA平面ABCPABCABBC BC平面PAB.PAAB=A,(2)AE平面PAB,由(1)知AEBCAEPB AE平面PBC.PBBC=B (3)PC平面PBC,由(2)知PCAEPCAF PC平面AEF.AEAF=A,学后反思 本题的证明过程是很有代表性的,即证明线面垂直,可先证线线垂直,而已知的
6、线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直.在线线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着至关重要的作用.由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各自所在平面的特征,以顺利实现证明需要的转化.,举一反三 2. 已知P为RtABC所在平面外的一点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，求证：PD平面ABC.,证明： 如图，连接CD. PA=PB，D为斜边AB的中点， PDAB. D为斜边AB的中点，CD= AB=AD. 又PA=PC， PDDC. 又ABCD=D,PD平面ABC.,题型三 面面垂直 【例3】如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.
7、 求证：（1）DE=DA; (2)平面MBD平面ECA; (3)平面DEA平面ECA.,分析 （1）要证明DE=DA,只需证明取EC中点F构造的RtDEFRtADB.(2)注意到M为EA中点，可取CA中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明BN与平面ECA垂直即可.(3)仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线.,证明 （1）方法一：如图，取EC的中点F，连接DF. EC平面ABC，ECBC. CE=2BD，BD=CF. 又BDCE,BD CF. 四边形BDFC是平行四边形. BC DF.DFEC. 在RtDEF和RtADB中， EF= EC=BD,FD=BC=AB, RtDEFRtADB.
8、DE=DA. 方法二：如图，取AC中点N，连接BN、MN. ABC是正三角形，BNAC于点N. 又EC平面ABC，EC 平面CAE，,平面ACE平面ABC，交线为AC.BN平面ACE. 又M、N分别是AE、AC中点, 在ACE中，MN CE, 又BDCE且2BD=CE,BD CE MN. 四边形BDMN是平行四边形, MD BN.DM平面ACE. 又AE平面ACE，DMAE于点M. 又M是AE中点，DA=DE. (2)取CA的中点N，连接MN、BN，则MN EC. 又BDEC且EC=2BD,MN DB. N点在平面BDM内.,学后反思 在求证面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂
9、线,使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用，这种转化方法是本节内容的显著特征.掌握转化思想方法是解决这类问题的关键.,EC平面ABC，BN平面ABC，ECBN. ABC为正三角形，BNAC. 又ACEC=C,EC平面ACE，AC 平面ACE, BN平面ACE. BN 平面MBN, 平面MBN平面ECA，即平面MBD平面ECA. （3）DMBN,BN平面ECA，DM平面ECA. 又DM 平面DEA,平面DEA平面ECA.,举一反三 3. 如图所示，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC. 求证：AB
10、BC.,证明： 如图，作AHSB于H，连接EH、AE， 平面SAB平面SBC， AH平面SBC,AHBC. 又SA平面ABC，SABC. 又SAAH=A,SA,AH平面SAB, BC平面SAB. BCAB.,题型四 二面角的求法 【例4】(14分)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中, AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动. (1)求证:D1EA1D; (2)AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为 . (3)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离.,分析 (1)线面垂直的性质;(2)二面角的逆用;(3)根据三棱锥等体积法.,解 (1)证明:AE平面AA1D1D, A
11、EA1D. .2 又AA1D1D为正方形,A1DAD1, A1D面AD1E,A1DD1E. .4,(2)过D作DHCE于H, 连接D1H、DE,则D1HCE, .5 DHD1为二面角D1ECD的平面角. .7 设AE=x,则BE=2-x. 在RtD1DH中,DHD1= ,DH=1. 在RtDAE中,DE= , 在RtDHE中,EH=x. 在RtDHC中,CH= , 在RtCBE中,CE= , , 9 当AE= 时,二面角D1-EC-D的大小为 . 10,(3)设点E到面ACD1的距离为h. 在ACD1中,AC=CD1= ,AD1= ,故SACD1= 而SACE= AEBC= , VD1ACE=
12、 SACEDD1= SACD1h,.13 1= h,h= . .14,学后反思 确定二面角的平面角的方法:(1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线. (2)垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角. (3)垂线法:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求.,4. 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,O1、O分别为上、下底面的中心,且A1在底面A
13、BCD上的射影是O. (1)求证:面O1DC面ABCD; (2)若点E、F分别在棱AA1、BC上, 且AE=2EA1,问:点F在何处时,EFAD? (3)若A1AB=60,求二面角C-AA1-B的余弦值的大小.,举一反三,解析: (1)证明:连接AC、BD、A1C1,则O为 AC、BD的交点,O1为A1C1、B1D1的交点.由平行 六面体的性质可知, A1O1OC,所以四边形 A1OCO1为平行四边形,A1OO1C.,又A1O平面ABCD, 所以O1C平面ABCD. 又O1C平面O1DC,所以平面O1DC平面ABCD. (2)当F为BC的三等分点(靠近B)时,有EFAD. (3)连接A1C,A
14、1B,作BGA1A与A1A交于点G, 连接OG,可证OGAA1, 则OGB为二面角C-AA1-B的平面角. 设AB=1,则OB= ,BG=ABsin 60= ,AG= . 又OA= ,所以OG= . 在OGB中,利用余弦定理得,易错警示,【例】设平面与平面的交线为l,直线AB在平面内,且ABl,垂足为B,直线CD垂直于平面,且CD平面. 求证:AB平面.,错解 如图1所示, CD平面,且CD平面, 而ABl,ABCD, AB平面.,错解分析 错解仅将已知条件复述一遍,就直接从CD平面,得出CDAB,这是没有根据的,犯了论据不足的错误.,正解 如图2所示,过CD及平面内任一异于AB的点P作平面,
15、设平面与平面的交线为EF. CD平面,EFCD. CD平面,EF平面,EFl. EF、AB均在平面内,且EF、AB均与l垂直, ABEF. 又EF平面,AB平面.,解析： 如图，连接CD，MC平面ABC, MD=13.,11. (2009江苏)如图，在直三棱柱 中，E、F分别是 、 的中点，点D在 上， 求证： （1）EF平面ABC; (2)平面 平面 .,证明： （1）E、F分别是 、 的中点， EFBC,EF 平面ABC，BC 平面ABC. EF平面ABC. (2)三棱柱 为直三棱柱, 平面 ， ,又 , 平面 又 平面 平面 平面,12. (2010淮安质检)如图，在三棱柱BCEADF中，四边形ABCD是正方形，DF平面ABCD,M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一点. (1)求证:GNAC; (2)若FG=GD，求证:GA平面FMC.,证明： (1)连接DN, 四边形ABCD是正方形，DNAC. DF平面ABCD,AC平面ABCD, DFAC. 又DNDF=D,AC平面DNF. GN平面DNF，GNAC. (2)取DC的中点S，连接AS、GS, G是DF的中点,GSFC,ASCM. 又GS,AS平面FMC，FC、CM平面FMC, GS平面FMC，AS平面FMC. 而ASGS=S,平面GSA平面FMC. GA 平面GSA,GA平面FMC.,
