1、2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量学习目标：1.理解向量的有关概念及向量的几何表示(重点)2.理解共线向量、相等向量的概念(难点)3.正确区分向量平行与直线平行(易混点)自 主 预 习探 新 知1向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量2向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段它包含三个要素：起点、方向、长度(2)向量可以用有向线段表示向量 的大小，也就是向量 的长度(或称AB AB 模)，记作 | |.向量也可以用字母 a，b，c ，表示，或用
2、表示向量的有向线段AB 的起点和终点字母表示，例如， ， .AB CD 思考：(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段就是向量吗？提示 (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量3向量的有关概念零向量 长度为 0 的向量，记作 0单位向量 长度等于 1 个单位的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量向量 a，b 平行，记作规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量向量 a 与 b 相等，记作 ab基础自测1思考辨析(1)零向量没有方向( )(2)向量 的长度和向量 的模相等( )AB BA (3)单位向量都平行(
3、 )(4)零向量与任意向量都平行( )解析 (1)错误零向量的方向是任意的 (2)正确(3) 错误单位向量的方向不一定相同或相反，所以不一定平行(4)正确答案 (1) (2) (3) (4)2有下列物理量：质量；温度；角度；弹力；风速其中可以看成是向量的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个B 不是向量，是向量3如图 211，四边形 ABCD 是平行四边形，则图中相等的向量是_(填序号 )图 211(1) 与 ；(2) 与 ；AD BC OB OD (3) 与 ；(4) 与 .AC BD AO OC (1)(4) 由平行四边形的性质和相等向量的定义可知： ， AD BC OB OD ，
4、.AC BD AO OC 合 作 探 究攻 重 难向量的有关概念判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量 a 与 b 同向，且|a|b|，则 ab；(2)若向量|a| |b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|b|，若 a 与 b 的方向相同，则 ab；(4)由于 0 方向不确定，故 0 不与任意向量平行；(5)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反思路探究 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素解 (1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向
5、量长度相等，不能确定它们的方向关系(3)正确因为|a|b|，且 a与 b同向，由两向量相等的条件，可得 ab.(4)不正确依据规定：0 与任意向量平行(5)不正确因为向量 a与向量 b若有一个是零向量，则其方向不定规律方法 1.理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向2共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心方向和长度跟踪训练1给出下列
6、命题：若 ab，bc ，则 a c.若单位向量的起点相同，则终点相同起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；向量 与 是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在同一直线上AB CD 其中正确命题的序号是_ 错误若 b0，则不成立；错误起点相同的单位向量，终点未必相同；正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可并不要求两个向量 ， 必须在同一直线上AB CD 向量的表示及应用(1)如图 212，B，C 是线段 AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出_个向量图 212(2)在如图 213 所示的坐标纸上 (每个小
7、方格边长为 1)，用直尺和圆规画出下列向量：图 213 ，使 | |4 ，点 A 在点 O 北偏东 45；OA OA 2 ，使| |4，点 B 在点 A 正东；AB AB ，使| |6，点 C 在点 B 北偏东 30. BC BC 【导学号：84352172】(1)12 (1) 可以写出 12 个向量，分别是： ， ， ， ， ， ，AB AC AD BC BD CD ， ， ， ， ，BA CA DA CB DB DC (2)由于点 A在点 O北偏东 45处，所以在坐标纸上点 A距点 O的横向小方格数与纵向小方格数相等又| |4 ，小方格边长为 1，所以点 A距点 OOA 2的横向小方格数与
8、纵向小方格数都为 4，于是点 A位置可以确定，画出向量如图所示OA 由于点 B在点 A正东方向处，且| |4，所以在坐标纸上点 B距点 A的AB 横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于是点 B位置可以确定，画出向量如图所示AB 由于点 C在点 B北偏东 30处，且| |6，依据勾股定理可得：在坐标BC 纸上点 C距点 B的横向小方格数为 3，纵向小方格数为 3 5.2，于是点 C位3置可以确定，画出向量 如图所示BC 规律方法 1.向量的两种表示方法：(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点(2)字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表
9、示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如 ， ，AB CD 等EF 2两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算跟踪训练2某人从 A 点出发向东走了 5 米到达 B 点，然后改变方向按东北方向走了 10 米到达 C 点，到达 C 点后又改变方向向西走了 10 米到达 D 点2(1)作出向量 ， ， ；AB BC CD (2)求 的模AD 解 (1)作出向量 ， ， ，如图所示：AB BC CD (2)由题意得， BCD是直角三角形，其中BDC90
10、，BC10 米，CD10 米，所以 BD102米ABD 是直角三角形，其中 ABD90，AB5 米，BD10 米，所以AD 5 (米 )，所以| |5 米.52 102 5 AD 5寻找相等向量和共线向量探究问题1两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？提示：不一定因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关2若 ，则从直线 AB与直线 CD的关系和 与 的方向关系两个AB CD AB CD 方面考虑有哪些情况？提示：分四种情况(1)直线 AB和直线 CD重合， 与 同向；AB CD (2)直线 AB和直线 CD重合， 与 反向；AB CD (3)直线
11、AB直线 CD， 与 同向；AB CD (4)直线 AB直线 CD， 与 反向AB CD 如图 214，四边形 ABCD 为边长为 3 的正方形，把各边三等分后，共有 16 个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与 平行且长AC 度为 2 的向量有哪些？(在图中标出相关字母，写出这些向量) 2【导学号：84352173】图 214思路探究 所求向量有以下两个特征：(1) 表示此向量的有向线段所在直线与 AC平行或重合(2) 长度是边长为 2 的正方形的对角线8 如图所示，满足与 平行且长度为 2 的向量有 ， ， ， ， ，AC 2 AF FA EC CE GH ， ， 共 8 个H
12、G IJ JI 母题探究：1.本例中，与向量 同向且长度为 2 的向量有几个？AC 2解 与向量 同向且长度为 2 的向量占与向量 平行且长度为 2 的AC 2 AC 2向量中的一半，共 4 个2本例中，如图 215，与向量 相等的向量有多少个？AO 图 215解 图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量方向相同的向量与其相等，共有 8 个AO 规律方法 相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段
13、的终点为起点，起点为终点的向量提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量当 堂 达 标固 双 基1下列结论正确的个数是( )(1)温度含零上和零下温度，所以温度是向量；(2)向量的模是一个正实数；(3)向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；(4)若| a|b|，则 ab.A0 B1 C2 D3B (1)错误温度是数量不是向量；(2)错误零向量的模为 0.(3)正确因为零向量与任意向量共线；(4)错误向量不能比较大小2设 O 是正方形 ABCD 的中心，则向量 ， ， ， 是( )AO BO OC OD A相等的向量 B平行的向量C有相同起点的向量 D模相等的向量D 由正方形
14、的性质知| | | | |.AO BO OC OD 3在下列判断中，正确的是( )长度为 0 的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；单位向量的长度都相等；单位向量都是同方向； 任意向量与零向量都共线. 【导学号：84352174】A BC DD 由定义知正确，由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确显然正确，不正确，故选 D.4在下列命题中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共线向量一定相等；相等向量一定共线；长度相等的向量是相等向量；平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量正确的命题是_ 由向量的相关概念可知正确5如图 216 所示菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于 O 点，DAB60，分别以 A，B，C，D，O 中的不同两点为始点与终点的向量中，图 216(1)写出与 平行的向量；DA (2)写出与 模相等的向量DA 解 由题图可知， (1)与 平行的向量有： ， ， ；(2) 与 模相等的DA AD BC CB DA 向量有：， ， ， ， ， ， ， ， .AD BC CB AB BA DC CD BD DB
