1、 【学习目标】1掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，并能应用其进行论证和解决有关问题2掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，并能应用其进行论证和解决有关问题【知识要点】1两个平面的位置关系(1)两个平面平行_；(2)两个平面相交_.2两个平面平行的判定定理(1)如果一个平面内有两条_直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(2)垂直于同一条_的两个平面平行(3)平行于同一个_的两个平面平行3两个平面平行的性质定理(1)两个平面平行，其中一个平面内的_必平行于另一个平面(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的_互相平行(3)一条直线_于两个平行平面中的一个平面【高考模拟】一、单
2、选题1已知底面是正方形的直四棱柱 的外接球的表面积为 ，且 ，则 与底面 所成角的正切值为（ ）A B C D 【答案】C2在四面体 中， ， ，则它的外接球的面积 （ ）A B C D 【答案】D【解析】点睛：本题主要考查球的内接多面体，球的表面积等，属于中档题。其中分析出球心 O 必位于两垂直平面 ACF 和平面 BED 的交线 EF 上是解题的关键。3如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱 中， 是棱 上的动点，记直线 与平面 所成的角为 ，与直线 所成的角为 ，则 ， 的大小关系是（ ）A B C D 不能确定【答案】C【解析】分析：首先要明确有关最小角定理，之后对其中的角加以归类，从而得
3、到两角的关系，即可得结果.详解：根据线面角是该直线与对应平面内的任意直线所成角中最小的角，所以有 故选 C.点睛：该题考查的是有关角的大小的比较问题，在思考的过程中，需要明确角的意义，从而结合最小角定理，得到结果.4已知三棱柱 的六个顶点都在球 的球面上，球 的表面积为 ， 平面 ,则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）A B C D 【答案】C则由 ，得 ， ，又 ，直线 与平面 所成角正弦值为 选 C 点睛：几何法求线面角的步骤（1 ）找：即找出直线与平面所成的角，具体为：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线，或过斜线上一点作平面的垂线，确定垂足的位置；连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影，斜
4、线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角（2 ）算：根据 可求得 的正弦值，其中 为线面角，h 为点 B 到平面 的距离，l为斜线段 AB 的长5 （ 2018 届浙江省嘉兴市 4 月模拟）已知两个平面 和三条直线 ，若，设 所成的一个二面角的大小为 ，直线 和平面 所成的角的大小为 ，直线 所成的角的大小为 ，则（ ）A B C D 【答案】D6已知 ， ， ， 四点均在以点 为球心的球面上，且 ， .若球 在球 内且与平面 相切，则球 直径的最大值为A 1 B 2 C 4 D 8【答案】D【解析】如图所示:取 CD 的中点 O,连接 AO,BO,如图，因为 BC=BD= ， ,所以因为 ，所
5、以 AOCD,且 AO=2，又因为 OD=4，BO=4 ，所以故 AOOB，又 BOCD=O,所以 AO平面 BCD,所以 在 AO 上，连接 ,设 则即 解之得 R=5，球 的直径最大时，球 与平面 BCD 相切且与球 内切，A,O, 四点共线，此时球 的直径为 R+ =8.故选 D. 点睛：本题是一个难题，只有通过计算，认清以 A,B,C,D 为顶点的三棱锥的图形特征，正确判断球心 的位置，借助方程求出球 的半径，直观判断球心 的位置，才能迎刃而解.7已知边长为 2 的等边三角形 ， 为 的中点，以 为折痕，将 折成直二面角，则过 四点的球的表面积为（ ）A B C D 【答案】C点睛：此
6、题主要考查了从平面图形到空间几何体的变化过程的空间想象能力，简单组合体中直三棱锥与外接球关系，以及球的表面积的计算等方面的知识和技能力，属于中档题型，也是常考题型.在解决简单几何体的外接球问题中，一般情况下，球的直径为简单几何体的对角线的长.8已知 ， 是两条直线， ， 是两个平面，则下列命题中正确的是（ ）A 若 ， ， ，则B 若 ， ， ，则C 若 ， ，则D 若 ， ， ，则【答案】B【解析】A. 若 ， ， ，则 ，错误； 可能平行，相交，异面；B. 若 ， ， ，则 ，正确；C. 若 ， ，则 ，错误， 可能在 内；D. 若 ， ， ，则 ，错误， 可能异面；故选 B9如图，二面角
7、 的大小为 ， ，且 ， ，则 AD 与 所成角的大小为A B C D 【答案】C10在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， AD侧面 PCD，PDC=120，若侧面 PAB，PBC，PAD 与底面 ABCD 所成的二面角分别为 ， ，则下列的结论成立的是（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：关键作出底面 ABCD 的垂线，先根据线面垂直得线面垂直，继而得到面面垂直，再根据面面垂直的性质得底面 ABCD 的垂线，最后根据二面角定义确定 ， ，并比较大小. 详解：因为 AD侧面 PCD，所以 ADCD, ADPD,因此PDC 为面 PAD 与底面 ABCD
8、所成的二面角； =120，过 P 作 PO 垂直 CD 于 O,则 ADPO,从而 PO面 ABCD，因此 PCD 为面 PBC 与底面 ABCD所成的二面角；60，过 O 作 OE 垂直 AB 于 E,则PEO 为面 PAB 与底面 ABCD 所成的二面角；,选 B.点睛：线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小,二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可.11矩形 中， ， 为 中点，将 沿 所在直线翻折，在翻折过程中，给出下列结论：存在某个位置， ； 存在某个位置， ；存在某个位置， ； 存在某个位置， .其中正确的是（ ）A B C D 【
9、答案】C【解析】根据题意画出如图所示的矩形 ：翻折后如图： .12如图，在单位正方体 中，点 P 在线段 上运动，给出以下四个命题：异面直线 与 间的距离为定值；三棱锥 的体积为定值；异面直线 与直线 所成的角为定值；二面角 的大小为定值其中真命题有( )A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个【答案】D【解析】对于，异面直线 与 间的距离即为两平行平面 和平面间的距离，即为正方体的棱长，为定值故正确对于，由于 ，而 为定值，又 PAD1，AD1平面 BDC1，所以点P 到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥 的体积为定值故正确对于，由题意得在正方体 中，B1C 平面 ABC1D1，
10、而 C1P平面ABC1D1，所以 B1CC1P ，故这两条异面直线所成的角为 故正确；对于，因为二面角 PBC1D 的大小，即为平面 ABC1D1 与平面 BDC1 所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角 的大小为定值故正确综上正确选 D13如图，在正三棱柱 中，点 M 为侧棱 上一动点，已知 面积的最大值是 ，二面角 的最大值是 ，则该三棱柱的体积等于( )A B C D 【答案】A14在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60，将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后BD1，则二面角 BACD 的余弦值为( )A B C D 【答案】A【解析】如图，在菱形 ABCD 中由题
11、意可得 15从点 P 引三条射线 PA、PB、PC,每两条的夹角都是 ,则二面角 BPAC 的余弦值是（ ）A B C D 【答案】C【解析】 如图，在射线 上分别取点 ，使 ，则在三棱锥 中，所有的棱长都等于 1取 的中点 M，连 MB,MC，则有 ，故 即为二面角 BPAC 的平面角在 中， ，由余弦定理得 ，即二面角 BPAC 的余弦值为 选 C 16已知矩形 平面 ,则以下等式中可能不成立的是（ ）A B C D 【答案】C17如图，已知边长为 2 的正方体 ，点 为线段 的中点，则直线 与平面 所成角的正切值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】连接 交 于 ,连接 ,由于 ,所
12、以 平面 ,所以角为所求线面角,其正切值为 .故选 .18如图，在长方体 中， , , ，点 是棱 的中点，点在棱 上，且满足 ， 是侧面四边形 内一动点(含边界).若 平面，则线段 长度的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A，所以线段 长度的取值范围是 ，故选 A. 点睛：本题考查了线段长的取值范围的求法，突出了运算能力、转化化归能力和空间象限能力，属于中档试题，解答时要认真审题，注意空间思维能力的培养，解答中是确定点取得最值时的位置是解答的关键.19椭圆 的长轴为 ，短轴为 ，将椭圆沿 y 轴折成一个二面角，使得 点在平面 上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为( )A 75
13、 B 60 C 45 D 30【答案】B20已知直线 ，则 是 的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由面面垂直的判定定理可得 ，反之不成立， 直线，则 是 的必要不充分条件，故选 B. 二、填空题21在四面体 中， ，二面角的余弦值是 ，则该四面体的外接球的表面积是_ 【答案】【解析】22在正方体 中，若棱长 ，则点 到平面 的距离等于_.【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如图所示，则向量 是平面的一个法向量，而 ， ，点 A 到平面 的距离等于 .故答案为： 23如图，一张 A4 纸的长宽之比为 ， 分别
14、为 , 的中点现分别将, 沿 , 折起，且 , 在平面 同侧，下列命题正确的是_ （写出所有正确命题的序号） , , , 四点共面；当平面 平面 时， 平面 ；当 , 重合于点 时，平面 平面 ；当 , 重合于点 时，设平面 平面 ，则 平面 【答案】【解析】在 中， ，在 中， ， ，同理可得则折叠后， 平面 ， 平面 ，平面 与平面 有公共点，则平面 与平面 重合，即 , , , 四点共面；由可知，平面 平面 ，平面 平面 ，当平面平面 时，得到 ， 四边形 是平行四边形， 设 ，则 ， ，则 ，又 ， ，平面 ，则平面 平面由 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，则 ， 平面
15、， 平面故命题正确的是点睛：本小题主要考查空间点、线、面之间的位置关系等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力、创新意识等；考查化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象等。24已知三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1面 ABC，ABAC，且 AA1=AB=AC，则异面直线 AB1与 BC1 所成角为_ 【答案】25在四棱锥 中， 底面 ，底面为正方形， ，.记四棱锥 的外接球与三棱锥 的外接球的表面积分别为， ，则 _【答案】 .【解析】设正方形的边长为 ，设 为 的中点，因为 平面 ，而 平面，所以 ，又 ，故 ，又 ，故平面 ， 平面 ，所以
16、 ，故 为直角三角形， 为斜边，所以同理 也为直角三角形，结合 ，所以 ，又， ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ， 为直角三角形，所以 ， 为三棱锥 外接球的球心，且半径同理设 为 的中点，则 为四棱锥 外接球的球心，且半径 ，所以 填点睛：球的半径的计算，关键在球心位置的确定，三棱锥 中 均为直角三角形，因此外接球的球心就是 的中点，因为它到四个顶点的距离是相等的同理四棱锥外接球的球心就是 的中点26在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, 若棱长 AB=3,则点 B 到平面 ACD1 的距离为_.【答案】 .点睛：立体几何中，求点到平面的距离，可以利用题设中已有的线面垂直或面面垂直或者利
17、用等积法，找出合适的底面和易求的高.27如图，一张 纸的长度之比为 分别为 的中点，现分别将沿 折起，且 在平面 同侧，下列命题正确的是_ （写出所有正确命题的序号） 四点共面；当平面 平面 时， 平面 ；当 重合于点 时，平面 平面 ；当 重合于点 时，设平面 平面 ，则 平面 .【答案】【解析】在 中， ，在 中， ， ，同理 ，则折叠后， 平面平面 ，又 ，平面 与平面 有公共点，则平面与平面 重合，即 四点共面； 由可知，平面 平面，平面 平面 ，当平面 平面 时，得到，显然 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ；设，则 ，所以 ，则 ，又 ，所以 平面 ，则平面 平面 ；由 平面 平面
18、 ，所以 平面 ，平面 平面 ，则平面 平面 ，故答案为.28如图所示，在正方体 中 ， ， 分别是棱 和 上的点，若 是直角，则 等于_【答案】【解析】因为正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点，若B 1MN 是直角，所以 MNMB 1，因为 B1C1 是棱，所以 MNB 1C1，所以 MN平面 MB1C1，所以C 1MN=90故答案为 9029正方体 的棱长为 ，点 ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，以 为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高 _【答案】【解析】30如图所示， 是一个正方形， 平面
19、，则图中互相垂直的平面共有_个【答案】7【解析】因为 平面 ，所以平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，又因为四边形 为正方形，所以 平面 ，平面 平面 ，同理可得平面 平面 平面 平面 ，又 ， ，所以平面 平面 ，故图中互相垂直的平面共有 组故答案为： 31如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，给出以下四个结论：D 1C 平面 A1ABB1；A 1D1 与平面 BCD1 相交；AD平面 D1DB；平面 BCD1平面 A1ABB1.其中正确结论的序号是_.【答案】32如图所示，已知矩形 ABCD 中，AB=3，BC=a，若 PA平面 ABCD，在 BC 边上取点 E，使 PE
20、DE，则满足条件的 E 点有两个时，a 的取值范围是 _.【答案】 【解析】PA平面 AC，PADE又PE DE，PAPE=PDE 平面 PAEDE AE即 E 点为以 AD 为直径的圆与 BC 的交点AB=3 ，BC=a，满足条件的 E 点有 2 个故答案为： 33如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，BAC90，F 是 AC 的中点，E 是 PC 上的点，且 EF BC，则 _.【答案】1【解析】在三棱锥 PABC 中，因为 PA底面 ABC，BAC 90，所以 AB平面 APC.因为 EF平面 PAC，所以 EFAB，因为 EFBC， BCABB，所以 EF底面 ABC，所以
21、PAEF，因为 F 是 AC 的中点， E 是 PC 上的点，所以 E 是 PC 的中点，所以 1.答案：1. 34如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PAa， ，则它的五个面中，互相垂直的平面有_对【答案】5【解析】由勾股定理逆定理得 PAAD，PAAB，PA 面 ABCD，PACD，PACB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论平面 PAB平面 PAD，平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 PBC，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 PCD.答案：5.35已知棱长为 的正方体 中， ， ， 分别是线段 、的中点
22、，又 、 分别在线段 、 上，且 设平面 平面 ，现有下列结论： 平面 ； ；直线 与平面 不垂直；当 变化时， 不是定直线其中成立的结论是_(写出所有成立结论的序号)【答案】【解析】连接 BD，B 1D1，A 1PA 1Qx，PQB 1D1BDEF ，易证 PQ平面 MEF，又平面 MEF平面 MPQ= ， PQ ， EF， 平面 ，故成立；又 EFAC， AC，故成立； EFBD，易知直线 与平面 BCC1B1 不垂直，故成立；当 变化时， 是过点 M 且与直线 EF 平行的定直线，故 不成立答案为：.36如图，已知 AB 为圆 O 的直径，C 为圆上一动点， 圆 O 所在平面，且PA=A
23、B=2，过点 A 作平面 ，交 PB,PC 分别于 E,F，当三棱锥 P-AEF 体积最大时， =_【答案】【点睛】涉及与圆有关的垂直问题不要忘记垂径定理和直径所对的圆周角是直角，可以提供垂直方面的依据，借助线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直反得线线垂直，这是垂直问题常用的推理模式，借助二次函数求体积的最值，进而求出所求的角的正切. 37如图所示，直平行六面体 中， 为棱 上任意一点， 为底面（除 外）上一点，已知 在底面 上的射影为 ，若再增加一个条件，就能得到，现给出以下条件： ； 在 上； 平面 ；直线 和 在平面 的射影为同一条直线其中一定能成为增加条件的是_ （把你认为正确的都填上）
24、【答案】38如图，正方体 中， ，点 分别为 、 的中点，则线段 的长度等于_ 【答案】【解析】连 DE，易得 面 ，所以 , 为直角三角形， ,由勾股定理有 。 39如图，在长方体 中， ， ，点 在棱 上，若直线与平面 所成的角为 ，则 _.【答案】【解析】过点 作 于 ，连接 ，如图所示则 为直线 与平面 所成的角直线 与平面 所成的角为 ，故答案为点睛：用普通法求二面角，讲究“一作、二证、三求”，通过辅助线把二面角的平面角作出来，再证明所作角是二面角的平面角. 40如图，正方体 中，给出以下四个结论： 平面 ； 与平面 相交； 平面 ；平面 平面，其中正确结论的序号是_.【答案】点睛：
25、在正方体中判断线面关系要充分利用好正方体的特殊性质，比如 BD平面BD ，四面体 C1BD A1 为正四面体，A 1C平面 BD A1 等.三、解答题41如图，在直三棱柱 中， 是 上的一点， ，且 .（1 ）求证： 平面 ；（2 ）若 ，求点 到平面 的距离.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1 ）连接 A1B 交 AB1 于 E，连接 DE，根据中位线定理即可得出 DEA 1C，故而 A1C平面AB1D1；（2 ）过 B 作 BFB 1D，则可证 BF平面 AB1D，于是点 A1 到平面 AB1D 的距离等于 C 到平面 AB1D 的距离，等于 B 到平面 AB1D 的距离 BF【详解】（1 ）如图，连接 ，交 于点 ，再连接 ，据直棱柱性质知，四边形 为平行四边形， 为 的中点，当 时， ， 是 的中点， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 .（2 ）如图，在平面 中，过点 作 ，垂足为 ， 是 中点，点 到平面 与点 到平面 距离相等， 平面 ，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离， 长为所求，在 中， ， ， ， ，点 到平面 的距离为 .
