1、 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 已知平面 的法向量为 (2,)(3,12)nAB，点 A不在 内，则直线 AB与平面的位置关系为A BB C 与 相交不垂直D /【答案】D【解析】 (2,4)(3,12)680nABnAB ，而点 不在 内，故 /AB2.【2018 届上海市松江、闵行区二模】如图，点 分别在空间直角坐标系 的三条坐标轴上，、 、 ，平面 的法向量为 ，设二面角 的大小为 ，则=(0 , 0 , 2) =(2 , 1 , 2) ( )=A B C D 43 53 23 23【答案】C【解析】由题意可
2、知， 平面 的一个法向量为： ， =(0 , 0 , 2)由空间向量的结论可得： .=|= 423=23本题选择 C 选项.3.二面角的棱上有 A、 B两点，直线 AC、 BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知4AB， 6， 8D， 217，则该二面角的大小为( )(A) 150 (B) 5 (C) 60 (D) 0【答案】C4.【2018 届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）一模】在 ， ，=90， 是边 上的两个动点，且 ，则 的取值范围为( )=2=4 , |=1 A B C D 114,9 5,9 154,9 114,5【答案】A 【解析】由题
3、意，可以点 为原点，分别以 为 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点 的坐标分别为 , ,，直线 的方程为 ，不妨设点 的坐标分别为 (0,23),(2,0) = 3+23 ,， ，不妨设 ，由 ，所以 (, 3+23),(, 3+23) ,0,2 |=1，整理得 ，则 ，即()2+( 3+3)2=1=12+ =46(+)+12，所以当 时， 有最小值 ，当 时， 有最大值 .故选 A.=4(54)2+114 =54 114 =0 95 【2018 届宁夏回族自治区银川一中考前适应】 a， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a， b 都垂直，斜
4、边 AB 以直线 AC 为旋转轴 旋转，若直线 AB 与 a 成角为 60 ，则 AB 与 b 成角为A B C D 60 30 90 45【答案】A【解析】与 所成夹角为 0， ，2cos= ，|=|2当 与 夹角为 60时，即 ，=3|sin|= ，2=23=22cos 2+sin 2=1，cos= |cos|= ，22 120， ，= ，此时 AB 与 b 成角为 602 3故答案为：A 6.【2018 届二轮专题 12】三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC 为等边三角形， AA1平面 ABC， AA1 AB， M， N 分别是A1B1， A1C1的中点，则 BM 与 AN 所成角的
5、余弦值为( )A 0 B 35 C 70 D 45【答案】C7 【2018 届大二轮专题复习】已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等， A1在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于 ( )A 13 B 2C D 【答案】B故直线 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值为 23选 B 8 【2018 届上海市虹口区高三上期末】已知 RtAC中， 90， 4AB， 6C在三角形所在的平面内有两个动点 M和 N，满足 2， MN，则的取值范围是（ ）A 32,4 B ,6C 5, D 312,6312 【答案】B9.【2018 届吉林省实验
6、中学一模】在正四棱柱 1ABCD中, 14,2ABC ，动点 ,PQ 分别在线段 1,CDA上，则线段 PQ 长度的最小值是A 23 B 23 C 4 D 253【答案】C【解析】10.【2017 届广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市 5 月联合模拟】如图，在三棱锥 ABCD中，平面ABC平面 D， BAC与 D均为等腰直角三角形，且 90B， 2点 P是线段 上的动点，若线段 上存在点 Q，使得异面直线 PQ与 C成 3的角 ，则线段 长的取值范围是（ ）A 20, B 60,3 C 2, D 6,23【答案】B【解析】二、填空题（本 大题共 7 小题，共 36 分.把答案填在题中的横线上
7、.）11.【甘肃省武威第十八中学】设平面 与向量 a(1,2，4)垂直，平面 与向量 b(2,3,1)垂直，则平面 与 的位置关系是_【答案】垂直【解析】由题意， (2， 3， 1) (1， 2， 4) 2+64 0,根据平面 与向量 垂直，平面 与向量 垂直， (1， 2， 4) (2， 3， 1).故答案为垂直 12.【2018 届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学第四次考试】在如图所示的三棱锥 PABC中， ， P底面 ABC， ， D是 PC的中点 AB2， C 23， 2. 则异面直线 与 D所成角的余弦值为_ 【答案】 24【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，则 2,0,30B
8、C ,0,2,31APD， 0,31,2,0ADPcos, 48DBAP，故答案为 24.13.【2018 届北京市海淀区二模】如图，棱长为 2 的正方体 中， 是棱 的中点，点 在侧面1111 1 内，若 垂直于 ，则 的面积的最小值为 _.11 1 【答案】255【解析】分析：先建立空间直角坐标系，再求|BP|的最小值，最后求 的面积的最小值.详解：以 D 点为空间直角坐标系的原点，以 DC 所在直线为 y 轴，以 DA 所在直线为 x 轴，以 D 为 z 轴，建立1空间直角坐标系.则点 P(2,y,z), ,1(0,0,2)所以 .1=(2,2)14.【2018 届山东省临沂市第一中学
9、12 月月考】 四面体 ABCD的每条棱长都等于 2，点 E， F分别为棱AB， D的中点，则 ACEF=_；CEF _；【答案】 5 3 【解析】 22 24105ACEFACEF,所以 ACEF= 5设 BD 的中点为 G，则 BBG,所以 EF 3G15.【浙江省杭州市学军中学 2017 届第三次月考】如 图在三棱锥 中， ，且=， 分别是 和 的中点则异面直线 与 所成的角的余弦值为_，直=2 、 线 与面 所成角大小为_. 【答案】 105 4【解析】16.【2018 届北京丰台二中高三上期中】正四棱锥 SABCD的八条棱长都相等， SB的中点是 E，则异面直线 AE， SD所成角的
10、余 弦为_【答案】 3 【解析】以正方形 ABCD的中心 O为原点，平行于 AB的直线为 x轴，平行于 AD的直线为 y轴，17.【2018 届山西省榆社中学诊断性模拟】如图，在矩形 ABCD中，点 ,GH分别在 ,ADC上， 285AGDHC，沿直线 GH将 翻折成 1，使二面角 1为直角，点,EF分别为线段 ,B上，沿直线 EF将四边形 向上折起，使 与 重合，则 F_. 【答案】 32【解析】可设 CFx，由题意得翻折后， B与 D重合， BF， 5AGDH， 8C， 90， 82GH， 0DC， 12H，如图所示： 三、解答题 （本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证
11、明过程或演算步骤.） 18.【2018 届江苏省盐城市东台中学监测】如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 AB AC 2， AB AC， M 是= = =棱 BC 的中点点 P 在线段 A1B 上（1）若 P 是线段 A1B 的中点，求直线 MP 与直线 AC 所成角的大小；（2）若 是 的中点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 BP 的长度1 1 77【答案】(1) .(2) . 4 =22【解析】以 为正交基建立如图所示的空间直角坐标系， ， 1由 ，得 =|=| 1|1|=| (2)(1+12)+2(1+12)2+(12)2+122|=77=14所以 ，所以 =14
12、1 =141=2219.【2017 课标 3，理 19】如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值.【答案】(1)证明略；(2) 7.【解析】20.【河南省 2018 年高考一模】如图所示，在四棱锥 中，底面 ABCD 为直角梯形， ， /， ，点 E 为 AD 的中点， ， 平面 ABCD，且 =90 =2=25 = =4.求证： ；(1) 线段 PC 上是否存在一点 F，使
13、二面角 的余弦值是 ？若存在，请找出点 F 的位置；若不存在，(2) 1515请说明理由【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】解： 由 可知 ，(2)(1) 由题意得 ， ，=5 =5，=， ， ， ，=1 =4 =2 =3、 EC、 BD 两两垂直， 线段 PC 上存在一点 F，当点 F 满足 时，二面角 的余弦值是 =32 151521.【2018 年理数天津卷】如图， 且 AD=2BC， , 且 EG=AD， 且 CD=2FG，DA =DC=DG=2.（I）若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证： ；（II）求二面角 的正弦值；（III）若点 P 在线段 D
14、G 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长.【答案】() 证明见解析；( ) ；() .（）依题意 =（0，2，0 ） ， =（2，0，2） 设 n0=(x，y，z)为平面 CDE 的法向量，则 即不妨令 z=1，可得 n0=（1，0，1） 又 =（1， ，1） ，可得 ，又因为直线 MN平面 CDE，所以 MN平面 CDE22 【2018 年理北京卷】如图，在三棱柱 ABC- 中， 平面 ABC，D，E，F，G 分别为 ，AC， ， 的中点，AB=BC= ，AC = =2（）求证：AC平面 BEF；（）求二面角 B-CD-C1 的余弦值；（）证明：直线 FG 与 平面 BCD 相交【答案】(1)证明见解析(2) B-CD-C1 的余弦值为 (3)证明过程见解析（）平面 BCD 的法向量为 ，G （ 0，2，1） ，F （0，0，2） ， ， 与 不 垂直，GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，GF 与平面 BCD 相交
