1、高二数学上学期四校联测期中试卷 2017.11.16 一、填空题(本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分请把答案填写在答题卡相应位置)1.命题“ ”的否定形式为_.1,0x2.曲线 在 处的切线方程是_.xey23.以双曲线 的右焦点为焦点的抛物线标准方程为_ .134.已知函数 ，则 .2()logfxx()f5. 的_.平 行 ”和 直 线”是 直 线 “02)1(301yaxyaa（从“充分不必要条件” ， “必要不充分条件” ， “充要条件” ， “既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空）6.过点 的直线 l 与圆 交于 A,B 两点,当 最小时,直线 l 的方程1(,)2P2
2、:()4CxyACB为_.7.设 P 是直线 上的一个动点，过 P 作圆 的两条切线 ，若0byx 42yxP,的最大值为 60，则 b = AB8.已知圆 2412的圆心是双曲线 )0(192a的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为_.9.已知命题 ，命题 ，若命题 是axp2,: 2,:2xRxq “qp且真命题，则实数 的取值范围为_ .a10.函数 的图像在点 处的切线方程是 ，则 等于)(fy58y)5(f_.11.已知 是椭圆 上的动点， 是椭圆的两个焦点，则 的取值范P142yx21,F21PF围是_ . 12.已知直线 与圆 相切，且在 轴、 轴上的截距相等，则直线 的方l 3)
3、5(:22yxCxyl程为_.13.设 ，则 的最小值为_.Rnm, 22)1()(nmn14.已知椭圆 的短轴长为 2，离心率为 ，设过右焦点的直线 与椭012bayx l圆 交于不同的两点 ，过 作直线 的垂线 ，垂足分别为 ，记CBA,2xBQAP,P,，若直线 的斜率 ，则 的取值范围为_.PQBAl32k二、解答题(本大题共 6小题，共 90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. （本小题满分 14 分）（1 ）求以椭圆 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.2185xy（2 ）已知抛物线的焦点在 轴上，点 是抛物线上的一点，M 到焦
4、点的距离为 5，(,3)m求抛物线的标准方程.16.（本小题满分 14 分）已知 为实数， 点 在圆 的内部； 都有a:p)1,(M4)()(22ayx ,:Rxq.（1 ）若 为真命题，求 的取值范围；（2）若 为假命题，求 的取值范02x a围；（3）若 为假命题，且 为真命题，求 的取值范围”且“q或 qp17.（本小题满分 15 分）已知曲线 042:2myxC（1 ） 若 ，过点 的直线 交曲线 于 两点，且 ，求直线 的方m)3,(lCNM, 32l程；（2 ） 若曲线 表示圆，且直线 与圆相交于 两点，是否存在实数 ，使得02yxBA, m以 为直径的圆过原点，若存在，求出实数
5、的值；若不存在，说明理由。ABm18.（本小题满分 15 分）(1)设 ，若 ，求 在点 处的切线方程；1ln)(xf 2)(0xf)(xf),0y(2)若存在过点 的直线 与曲线 和 都相切，求 的值.),0Ol 23ax219. （本小题满分 16 分）平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别是xoy)0(1:2bayxC21，以 为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 上.21,F1 FC（1 ） 求椭圆 的方程；（2 ） 过椭圆 上一动点 的直线 ，过 与 轴垂直的直线记为)0(,0yxP:20byaxl2Fx，右准线记为 ；1l2l
6、设直线 与直线 相交于点 ，直线 与直线 相交于点 ，证明 恒为定值，并求此1Ml2lN2M定值.若连接 并延长与直线 相交于点 ，椭圆 的右顶点 ，设直线 的斜率为 ，直线2PF12lQCAP1k的斜率为 ，求 的取值范围.QA2k20.（本小题满分 16分）如图，在平面直角坐标系 xoy中，已知 1(4,0)F， 2(,)， (0,8)A，直线(08)yt与线段 1A、 2分别交于点 P、 Q.()当 3时，求以 ,为焦点，且过 中点的椭圆的标准方程；()过点 Q作直线 交 12F于点 R，记 1F的外接圆为圆 C.R 求证:圆心 C在定直线 7480xy上； 圆 是否恒过异于点 1的一个
7、定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由. 高二数学上学期四校联测期中答案 2017.11.16 第 20 题PAROF1QxyF2一、填空题(本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分请把答案填写在答题卡相应位置)1.命题“ ”的否定形式为_.1,0x答案： x2.曲线 在 处的切线方程是_.答案：ey2 02yx3.以双曲线 的右焦点为焦点的抛物线标准方程为_ .答案：13x xy824.已知函数 ，则 .2()logfx()f答案： xln5. 的_.平 行 ”和 直 线”是 直 线 “02)1(30123 yaxyaa（从“充分不必要条件” ， “必要不充分条件” ， “充要条
8、件” ， “既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空）答案：充分不必要条件6.过点 的直线 l 与圆 交于 A,B 两点,当 最小时,直线 l 的方程1(,)2P2:(1)4CxyACB为_.答案： 430xy7. 设 P 是直线 上的一个动点，过 P 作圆 的两条切线 ，若b42yxPBA,的最大值为 60，则 b = AB答案： 248. 已知圆 0241xyx的圆心是双曲线 )0(192ayx的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为_.答案： 439. 已知命题 ，命题 ，若命题axp2,1: 02,:2axRxq是真命题，则实数 的取值范围为_ .“q且答案： a或10. 函数 的图像在点
9、 处的切线方程是 ，则 等于)(xfy5x8xy)5(f_.答案：211. 已知 是椭圆 上的动点， 是椭圆的两个焦点，则 的取值范P142yx21,F21PF围是_ . 答案： ,412. 已知直线 与圆 相切，且在 轴、 轴上的截距相等，则直线 的方l 3)5(:22yxCxyl程为_.答案： 0636y或13.设 ，则 的最小值为_.Rnm, 22)1()2(nmn答案： 5914.已知椭圆 的短轴长为 2，离心率为 ，设过右焦点的直线 与椭)0(12bayx 2l圆 交于不同的两点 ，过 作直线 的垂线 ，垂足分别为 ，记CBA,xBQAP,P,，若直线 的斜率 ，则 的取值范围为_.
10、PQBAl32k答案： 3,62二、解答题(本大题共 6小题，共 90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. （本小题满分 14 分）（1 ）求以椭圆 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.(8 分）2185xy（2 ）已知抛物线的焦点在 轴上，点 是抛物线上的一点，M 到焦点的距离为 5，(,3)m求抛物线的标准方程.（6 分）解：（1）椭圆的焦点为 ，顶点为 -4 分 0,30,2双曲线的标准方程可设为),(12bayx由题意知 2,3ca-6 分5822b则双曲线的标准方程为-8 分132yx（2 ） 由题意知，抛物线的标准方程可设为 -
11、10 分)0(2pyx5)(pMF-12 分 4抛物线的标准方程为 -14 分yx8216.（本小题满分 14 分）已知 为实数， 点 在圆 的内部； 都有a:p)1,( 4)()(22ay,:Rxq.（1 ）若 为真命题，求 的取值范围；（2）若 为假命题，求 的取值范02x a围；（3）若 为假命题，且 为真命题，求 的取值范围”且“q或 qp解：（1） 为真命题p4)1()(22a解得 -4分1a（2） 为真命题时， 恒成立q02x042解得 a为假命题时， -8分q2a或（3） 为假命题，且 为真命题”且“p或 qp一真一假 -9 分,，则 -11分假真 q121a或 ，则 -13分真
12、假p2或 21a或-14分21a或综 上17.（本小题满分 15 分）已知曲线 042:2myxC（3 ） 若 ，过点 的直线 交曲线 于 两点，且 ，求直线 的方1m)3,(lCNM, 32l程；（7 分）（4 ） 若曲线 表示圆，且直线 与圆相交于 两点，是否存在实数 ，使得02yxBA, m以 为直径的圆过原点，若存在，求出实数 的值；若不存在，说明理由。 （8 分）ABm解：(1) 圆1m4)()(:22C设圆心 到直线 的距离为ld3MN则 -2 分2422dR1若 的斜率不存在，则 符合题意； -4 分1l:xl若 的斜率存在，设为 ，则 k)2(3xky即 032kyx解得 ，可
13、得 -6 分12d0k3:yl综上，直线 的方程为 或 . -7 分lx3y（2 ）曲线 表示圆C0422m且直线与圆相交yx5)()1(212152305md-9 分设过 两点的圆的方程为BA, )0()2(422 yxmyx-11 分0)4()2(2 yxyx圆心 在 上，且过原点,2-13 分024m解得 6,3-15 分（法二） 曲线 表示圆C0422myx且直线与圆相交yx5)()1(2212152305md-9 分设 A,B 坐标，将直线与圆联立，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，得到韦达定理-11 分利用向量数量积等于 0，得到关于 m 的方程 -13 分解得 m 的值 -
14、15 分18. （本小题满分 15 分）(1)设 ，若 ，求 在点 处的切线方程；（5 分）1ln)(xf 2)(0xf)(xf),0y(2)若存在过点 的直线 与曲线 和 都相切，求 的值.),0Ol 23ax2（10 分）解：（1）因为 1ln)(xf-1 分ll)( xf20f1lnx-3 分e0解 得10y切 线 方 程 为在点 处的切线方程为 -5 分)(xf),0y012eyx（2 ）设曲线 的切点为xf3(2),(P，6)020k0230xxy的 切 线 方 程 为 ：过 点 ,(yxP-7 分)(3()3002020 又该切线过点 ,O)(26()2( 002030 xxx解得
15、 -9 分或1.当 时，切点为 ，切线0x)0,(xyl2:又 直线 与 相切lay2满足022xxy 04a-12 分1a2.当 时，切点为 ，切线230x)83,2(xyl41:又 直线 与 相切lay满足04122xaxy 0416a-15 分641综上 a或20. （本小题满分 16 分）平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别是xoy)0(1:2bayxC21，以 为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 上.21,F1 FC（3 ） 求椭圆 的方程；（4 ） 过椭圆 上一动点 的直线 ，过 与 轴垂直的直线记为C)0(,0yxP1:
16、20byaxl2Fx，右准线记为 ；1l2l设直线 与直线 相交于点 ，直线 与直线 相交于点 ，证明 恒为定值，并求此1Ml2lN2M定值.若连接 并延长与直线 相交于点 ，椭圆 的右顶点 ，设直线 的斜率为 ，直线2PF12lQCAP1k的斜率为 ，求 的取值范围.QA2k解：（1）由题意知 2a=4，则 a=2，由 e= = ，求得 c=1， -2 分b2=a2c 2=3椭圆 C 的标准方程为 ； -4 分（2 ） 证明：直线 l1：x=1，直线 l2：x=4把 x=1 代入直线 1： + =1，解得04)(3yx-6 分)(,10M把 x=4 代入直线 1： + =1 方程，解得 y=
17、 ，-8 分)3,4(0yxN-10分由 ，解得 =3（1 ） （2x 02） ，x 01直线 l1 的方程为：x=1 ；直线 l2 的方程为：x=4直线 PF1 的方程为：y0= （x+1 ） ，令 x=4，可得 yQ= 点 Q ， ，k 2= ， -12 分k 1k2= = -13 分点 P 在椭圆 C 上， ，k 1k2= = 1x 02 ， （ ，+） ，k 1k2 k 1k2 的取值范围是 k1k2（， ） -16 分20.（本小题满分 16分）如图，在平面直角坐标系 xoy中，已知 1(4,0)F， 2(,)， (0,8)A，直线(08)yt与线段 1A、 2分别交于点 P、 Q.
18、()当 3t时，求以 12,F为焦点，且过 PQ中点的椭圆的标准方程；()过点 Q作直线 交 12于点 R，记 1F的外接圆为圆 C.RA 求证:圆心 C在定直线 7480xy上； 圆 是否恒过异于点 1F的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由. 【解】:()设椭圆的方程为2(0)xyab,当 3t时,PQ的中点为(0,3),所以 b=33分 而 216ab,所以 25a，故椭圆的标准方程为 5分95yx()解法一:易得直线 12:8;:8AFyxyx,所以可得 8(,)(,)2ttPQ,再由 ,得 (40)Rt8分1AF则线段 1FR的中垂线方程为 2x, 线段 P的中垂线方程
19、为 15628tyx,由5628tyx,解得 1RF的外接圆的圆心坐标为 7(,)t10分经验证,该圆心在定直线 7480xy上 11 分解法二: 易得直线 12:;:8AFx,所以可得 8(,)(,)2ttPQ,再由 ,得 (,)Rt8分Q设 1PR的外接圆 C的方程为 20xyDEF,则22(4)()08()ttFytttE,解得 7416tFt10分第 20 题PAROF1QxyF2所以圆心坐标为 7(,2)8t,经验证,该圆心在定直线 7480xy上 11 分由可得圆 C的方程为 (4)16xytty13分该方程可整理为 2(16)0x,则由2407xy,解得 321y或 4,所以圆
20、C恒过异于点 1F的一个定点,该点坐标为 (,)316分高二数学上学期四校联测期中试卷 2017.11.16 一、填空题(本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分请把答案填写在答题卡相应位置)1.命题“ ”的否定形式为_.1,0x答案： x2.曲线 在 处的切线方程是_.答案：ey2 02yx3.以双曲线 的右焦点为焦点的抛物线标准方程为_ .答案：13x xy824.已知函数 ，则 .2()logfx()f答案： xln5. 的_.平 行 ”和 直 线”是 直 线 “02)1(30123 yaxyaa（从“充分不必要条件” ， “必要不充分条件” ， “充要条件” ， “既不充分又不必要
21、条件”选出恰当的形式填空）答案：充分不必要条件6.过点 的直线 l 与圆 交于 A,B 两点,当 最小时,直线 l 的方程1(,)2P2:(1)4CxyACB为_.答案： 430xy13. 设 P 是直线 上的一个动点，过 P 作圆 的两条切线 ，若b42yxPBA,的最大值为 60，则 b = AB答案： 2414. 已知圆 02412xyx的圆心是双曲线 )0(192ayx的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为_.答案： 4315. 已知命题 ，命题 ，若命题axp2,1: 02,:2axRxq是真命题，则实数 的取值范围为_ .“q且答案： a或16. 函数 的图像在点 处的切线方程是 ，
22、则 等于)(xfy5x8xy)5(f_.答案：217. 已知 是椭圆 上的动点， 是椭圆的两个焦点，则 的取值范P142yx21,F21PF围是_ . 答案： ,418. 已知直线 与圆 相切，且在 轴、 轴上的截距相等，则直线 的方l 3)5(:22yxCxyl程为_.答案： 0636y或13.设 ，则 的最小值为_.Rnm, 22)1()2(nmn答案： 5914.已知椭圆 的短轴长为 2，离心率为 ，设过右焦点的直线 与椭)0(12bayx 2l圆 交于不同的两点 ，过 作直线 的垂线 ，垂足分别为 ，记CBA,xBQAP,P,，若直线 的斜率 ，则 的取值范围为_.PQBAl32k答案
23、： 3,62二、解答题(本大题共 6小题，共 90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. （本小题满分 14 分）（1 ）求以椭圆 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.2185xy（2 ）已知抛物线的焦点在 轴上，点 是抛物线上的一点，M 到焦点的距离为 5，(,3)m求抛物线的标准方程.解：（1）椭圆的焦点为 ，顶点为0,30,2双曲线的标准方程可设为),(12bayx由题意知 ,3ca5822b则双曲线的标准方程为 132yx（3 ） 由题意知，抛物线的标准方程可设为 )0(2pyx5)(2pMF4抛物线的标准方程为 yx8216.（本小
24、题满分 14 分）已知 为实数， 点 在圆 的内部； 都有a:p)1,( 4)()(22ay,:Rxq.（1 ）若 为真命题，求 的取值范围；（2）若 为假命题，求 的取值范02x a围；（3）若 为假命题，且 为真命题，求 的取值范围”且“q或 qp解：（1） 为真命题p4)1()(22a解得 1a18. 为真命题时， 恒成立q02x042解得 a为假命题时，q2a或19. 为假命题，且 为真命题”且“p或 qp一真一假,，则假真 q121a或 ，则真假p2或 21a或21a或综 上17.（本小题满分 15 分）已知曲线 04:2myxC（4 ） 若 ，过点 的直线 交曲线 于 两点，且 ，
25、求直线 的方1m)3,(lCNM, 32l程；（5 ） 若曲线 表示圆，且直线 与圆相交于 两点，是否存在实数 ，使得02yxBA, m以 为直径的圆过原点，若存在，求出实数 的值；若不存在，说明理由。ABm解：(1) 圆1m4)()(:22C设圆心 到直线 的距离为ld3MN则2422dR1若 的斜率不存在，则 符合题意；1l:xl若 的斜率存在，设为 ，则 k)2(3xky即 032kyx解得 ，可得12d0k3:yl综上，直线 的方程为 或 .lx3y（2 ）曲线 表示圆C0422myx5)()1(05m设过 两点的圆的方程为BA, 0)2(422 yxmyx0)4()2(2 yxyx圆
26、心 在 上，且过原点,2024m解得 6,3（4 ） （本小题满分 15 分）(1)设 ，若 ，求 在点 处的切线方程；1ln)(xf 2)(0xf)(xf),0y(2)若存在过点 的直线 与曲线 和 都相切，求 的值.),0Ol 23ax2解：（1）因为 (xf1lnl)( xf201lnxe0解 得y在点 处的切线方程为)(xf),0y012eyx（2 ）设曲线 的切点为xf3(2),(P，6)020k0230xxy的 切 线 方 程 为 ：过 点 ,(yxP)(3()3002020 又该切线过点 ,O)(26()2( 002030 xxx解得 230x或1.当 时，切点为 ，切线)0,(
27、xyl2:又 直线 与 相切lay2满足022xxy 04a1a2.当 时，切点为 ，切线30)83,2(xyl41:又 直线 与 相切laxy满足04122axy 0416a641综上 或19. （本小题满分 16 分）平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别是xoy)0(1:2bayxC21，以 为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 上.21,F1 FC21. 求椭圆 的方程；22. 过椭圆 上一动点 的直线 ，过 与 轴垂直的直线记为 ，)0(,0yxP:20byaxl2Fx1l右准线记为 ；2l设直线 与直线 相交于点 ，直线 与直
28、线 相交于点 ，证明 恒为定值，并求此11lMl2lN2M定值.若连接 并延长与直线 相交于点 ，椭圆 的右顶点 ，设直线 的斜率为 ，直线2PF12lQCAP1k的斜率为 ，求 的取值范围.QA2k【考点】椭圆的简单性质【分析】 （1）以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点 E 在椭圆 C 上可得|EF 1|+|EF2|=3+1=2a，解得 a=2又 e= = ，a 2=b2+c2，解得 c，b 2，即可得到椭圆 C 的方程；（2 ） 直线 l1：x=1，直线 l2：x=4把 x=1 代入直线 1，解得 y，可得 M 坐标同理可得 N坐标又 = ，
29、利用两点之间的距离公式可得 = 为定值由由 ，解得 = 直线 l1 的方程为：x=1；直线 l2 的方程为：x=4直线 PF1 的方程为：y0= （x+1 ） ，由于1x 02，可得 （ ，+） ，即可得出 k1k2，利用函数的性质即可得出【解答】解：（1）由题意知 2a=4，则 a=2，由 e= = ，求得 c=1，b2=a2c 2=3椭圆 C 的标准方程为 ；（2 ） 证明：直线 l1：x=1，直线 l2：x=4把 x=1 代入直线 1： + =1，解得 y= ，M ，把 x=4 代入直线 1： + =1 方程，解得 y= ，N ，由 ，解得 =3（1 ） （2x 02） ，x 01直线
30、l1 的方程为：x=1 ；直线 l2 的方程为：x=4直线 PF1 的方程为：y0= （x+1 ） ，令 x=4，可得 yQ 点 Q ， ，k 2= ，k 1k2= = 点 P 在椭圆 C 上， ，k 1k2= = 1x 02 ， （ ，+） ，k 1k2 k 1k2 的取值范围是 k1k2（， ） 20.（本小题满分 16分）如图，在平面直角坐标系 xoy中，已知 1(4,0)F， 2(,)， (0,8)A，直线(08)yt与线段 1A、 2分别交于点 P、 Q.()当 3时，求以 ,为焦点，且过 中点的椭圆的标准方程；()过点 Q作直线 交 12F于点 R，记 1F的外接圆为圆 C.R 求
31、证:圆心 C在定直线 7480xy上； 圆 是否恒过异于点 1的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由. 第 20 题PAROF1QxyF2【解】:()设椭圆的方程为21(0)xyab,当 3t时,PQ 的中点为(0,3),所以b=33分 而 216ab,所以 25a，故椭圆的标准方程为2104xy5分()解法一:易得直线 12:8;:8AFyx,所以可得 8(,)(,)2ttPQ,再由 ,得 ()Rt8分1AF则线段 1FR的中垂线方程为 2x, 线段 P的中垂线方程为 15628tyx,由5628tyx,解得 1RF的外接圆的圆心坐标为 7(,)t10分经验证,该圆心在定直线 7480xy上 11 分解法二: 易得直线 12:;:8AFx,所以可得 8(,)(,)2ttPQ,再由 ,得 (,)Rt8分Q设 1PR的外接圆 C的方程为 20xyDEF,则22(4)()08()ttFytttE,解得 7416tFt10分所以圆心坐标为 7(,)t,经验证,该圆心在定直线 780xy上 11 分由可得圆 C的方程为 2(4)16xytty13分该方程可整理为 2(16)0x,则由2407xy,解得 321y或 4,所以圆 C恒过异于点 1F的一个定点,该点坐标为 432(,)116分
