1、1数学试卷（理工类）一 选 择 题 (每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1. 已 知 复 数 5 31 iz i ， 则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ）A z 的 虚 部 为 4i B. z 的 共 轭 复 数 为 1 4iC 5z D. z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 二 象 限2. 已 知 ,m n R ， 集 合 72,logA m ， 集 合 ,B m n ， 若 0A B ， 则 m n ( )A 1 B 2 C 4 D 83 . 8)12( xx 的 二 项 展 开
2、式 中 ， 各 项 系 数 和 为 （ ）A 82 B 82 C 1 D. 14.下 列 命 题 中 正 确 命 题 的 个 数 是 （ ）（ 1） cos 0 是 2 ( )2k k Z 的 充 分 必 要 条 件（ 2） ( ) sin cosf x x x 则 ( )f x 最 小 正 周 期 是 （ 3） 若 将 一 组 样 本 数 据 中 的 每 个 数 据 都 加 上 同 一 个 常 数 后 ， 则 样 本 的 方 差 不 变（ 4） 设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 (0,1)N ,若 ( 1)P X p ， 则 1( 1 0) 2P X p A.4 B.3 C.2
3、 D.15 . 如 果 函 数 )2sin(2 xy 的 图 像 关 于 点 43 ， 0 中 心 对 称 ， 那 么 | | 的 最 小 值 为A 6 B 4 C 3 D 26 执 行 如 图 程 序 框 图 其 输 出 结 果 是 （ ）A 29 B 31 C 33 D 357. 某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 其 中 正 (主 )视 图 是 等 腰 直 角 三 角 形 ,侧 (左 )视 图 是 等 腰三 角 形 ,俯 视 图 是 正 方 形 ,则 该 四 棱 锥 的 体 积 是 ( )A. 43 B. 83 C. 4 D. 2328 . 已 知 函 数 0,32 0,
4、log3)( 2 2 xxx xxxf ， 则 不 等 式 5)( xf 的 解 集 为 ( )A. 1,1 B. 1,01, C. 4,1 D. 4,01, 9 . 若 函 数 cos2y x 与 函 数 sin( )y x 在 0, 2 上 的 单 调 性 相 同 ， 则 的 一 个 值 为( )A 6 B 4 C 3 D 21 0 . 从 P 点 出 发 的 三 条 射 线 PA, PB, PC 两 两 所 成 角 均 为 60 ， 且 分 别 与 球 O 切 于 点 A, B, C,若球 O 的 体 积为 43 ， 则 OP 两 点 间 的 距 离 为 （ ）A. 2 B. 3 C .
5、 32 D .21 1 . 直 线 l与 抛 物 线 xyC 2: 2 交 于 BA, 两 点 ， O为 坐 标 原 点 ， 若 直 线 OBOA, 的 斜 率 1k ，2k 满 足 3221 kk ， 则 l一 定 过 点 ( )A. )0,3( B. )0,3( C. )3,1( D. )0,2(12. 已 知 函 数 ( ) lnf x x x k ， 在 区 间 1 , ee 上 任 取 三 个 数 , ,a b c均 存 在 以 ( )f a ， ( )f b ，( )f c 为 边 长 的 三 角 形 ， 则 k的 取 值 范 围 是 （ ）A ( 1 ) ， B.( , 1) C
6、. ( , 3)e D. ( 3 )e ，二 、 填 空 题 （ 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 2 0 分 ， 将 答 案 填 在 答 题 卡 相 应 的 位 置 上 ）1 3 . 如 图 ,在 边 长 为 1 的 正 方 形 中 随 机 撒 1 0 0 0 粒 豆 子 ,有 3 8 0 粒 落到 阴 影 部 分 ,据 此 估 计 阴 影 部 分 的 面 积 为 14. 若 实 数 x、 y满 足 不 等 式 组 52 3 0.3 1 0yx yx y 则 z=2y|x|的 最 大 值 是1 5 . 下 列 命 题 ： 已 知 ,m n 表 示 两 条 不 同 的 直 线 ，
7、 , 表 示 两 个 不 同 的 平 面 ， 并 且,m n ， 则 “ ”是 “m/n”的 必 要 不 充 分 条 件 ； 不 存 在 (0,1)x ， 使3不 等 式 成 立 2 3log logx x ； “若 2 2am bm ， 则 a b ”的 逆 命 题 为 真 命 题 ； R ， 函 数 ( ) sin(2 )f x x 都 不 是 偶 函 数 . 正 确 的 命 题 序 号 是 1 6 . 在 ABC 中 ， 角 A， B， C所 对 边 的 长 分 别 为 a， b， c， M 为 AB 边 上 一 点 ，( ) CM MP R 且 cos cos CA CBMP CA A
8、 CB B ， 又 已 知 2 cCM ，2 2 2 2 a b ab， 则 角 C 三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 7 0 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）1 7 .（ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）数 列 na 满 足 1 2a ， 且 1 ( 1) ( 1)n nna n a n n ( )求 数 列 na 的 通 项 公 式 ；( ) 已 知 2( 1)nb n ， 求 证 ： 1 1 2 21 1 1 512n na b a b a b 1 8 .（ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）集 成 电 路
9、 E 由 3 个 不 同 的 电 子 元 件 组 成 ， 现 由 于 元 件 老 化 ， 三 个 电 子 元 件 能 正 常 工 作 的 概率 分 别 降 为 1 1 2, ,2 2 3 ， 且 每 个 电 子 元 件 能 否 正 常 工 作 相 互 独 立 若 三 个 电 子 元 件 中 至 少 有 2个 正 常 工 作 ， 则 E 能 正 常 工 作 ， 否 则 就 需 要 维 修 ， 且 维 修 集 成 电 路 E 所 需 费 用 为 1 0 0 元 (I)求 集 成 电 路 E 需 要 维 修 的 概 率 ；(II)若 某 电 子 设 备 共 由 2 个 集 成 电 路 E 组 成 ，
10、 设 X 为 该 电 子 设 备 需 要 维 修 集 成 电 路 所 需 的费 用 ， 求 X 的 分 布 列 和 期 望 1 9 .（ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 梯 形 ， ABC=BAD=9 0 ， AP=AD=AB= 2 ,BC t , PAB=PAD=(I)当 3 2t 时 ， 试 在 棱 PA 上 确 定 一 个 点 E， 使 得 PC 平 面 BDE， 并 求 出 此 时 AEEP 的值 ； (II)当 =6 0 时 ， 若 平 面 PAB 平 面 PCD， 求 此 时 棱 BC 的 长 42 0 .（
11、 本 小 题 满 分 1 2 分 ）已 知 椭 圆 14: 22 yxE 的 左 ， 右 顶 点 分 别 为 BA, ， 圆 422 yx 上 有 一动 点 P,点 P在 x轴 的 上 方 ， 0,1C ， 直 线 PA交 椭 圆 E于 点 D， 连 接 PBDC, .(1)若 90ADC ,求 ADC的 面 积 S ;(2)设 直 线 DCPB, 的 斜 率 存 在 且 分 别 为 21,kk ,若 21 kk ,求 的 取 值 范 围 .2 1 .（ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）已 知 函 数 Raxaxxxf ,21ln)( 2 （ ） 若 0)1( f ， 求 函 数 )(xf
12、的 最 大 值 ；（ ） 令 )1()()( axxfxg ， 讨 论 函 数 )(xg 的 单 调 区 间 ；（ ） 若 2a ， 正 实 数 21,xx 满 足 0)()( 2121 xxxfxf ， 证 明 2 1521 xx请 考 生 在 第 2 2 、 2 3 、 2 4 三 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .22.（ 本 小 题 满 分 10分 ） 选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲如 图 ， E 是 圆 内 两 弦 AB 和 CD的 交 点 ， F 为 AD 延 长 线 上 一 点 ， FG 切 圆 于 G，
13、且FE=FG(I)证 明 ： FE BC；(II)若 AB CD， DEF=30 ， 求 AFFG 52 3 （ 本 小 题 满 分 1 0 分 ） 选 修 4 -4 :坐 标 系 与 参 数 方 程已 知 曲 线 1C 的 参 数 方 程 为 2cos3sinxy （ 为 参 数 ） ， 以 坐 标 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 为 =2 .(1 )分 别 写 出 1C 的 普 通 方 程 ， 2C 的 直 角 坐 标 方 程 (2 )已 知 M， N 分 别 为 曲 线 1C 的 上 、 下
14、顶 点 ， 点 P 为 曲 线 2C 上 任 意 一 点 ， 求 PM PN的 最 大 值 24（ 本 小 题 满 分 10分 ） 选 修 45： 不 等 式 选 讲设 函 数 f(x)=|x一 a|， a R(I)若 a=1， 解 不 等 式 f(x) 12 (x+l)；(II)记 函 数 g(x)= ( ) 2f x x 的 值 域 为 A， 若 A 1,3 ， 求 a的 取 值 范 围 6一选择题BACCC BACDB AD二填空题1 3 . 5019 1 4 . 1 0 1 5 . 1 6 . 4三解答题（阅卷时发现其他正确解答，请教师参阅此评分标准酌情给分）1 7 .解 ： (1 )
15、由 1 ( 1) ( 1)n nna n a n n 得 , 1 11n na an n , 2 分又 1 21a ,所 以 nan 是 以 2 位 首 项 ， 1 为 公 差 的 等 差 数 列 3 分1na nn ( 1)na n n 5 分（ ） 1 11 1 56 12a b 6 分n 2 时 ， 由 （ ） 知 ( 1)(2 1) 2( 1)n na b n n n n 9 分故 1 1 2 21 1 1 1 1 1 1 16 2 2 3 3 4 ( 1)n na b a b a b n n 1 1 1 1 1 1 1 16 2 2 3 3 4 1n n 1 1 1 1 1 1 56
16、 2 2 1 6 4 12n 综 上 ， 原 不 等 式 成 立 1 2 分1 8 解 ： （ ） 三 个 电 子 元 件 能 正 常 工 作 分 别 记 为 事 件 , ,A B C ， 则1 1 2( ) , ( ) , ( )2 2 3p A p B p C .依 题 意 ， 集 成 电 路 E 需 要 维 修 有 两 种 情 形 ： 3 个 元 件 都 不 能 正 常 工 作 ， 概 率 为1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 12p p ABC p A p B p C ； 2 分7 3 个 元 件 中 的 2 个 不 能 正 常 工 作 ， 概 率 为2 (
17、) ( ) ( ) ( )p p ABC ABC ABC p ABC p ABC p ABC 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 12 2 3 2 2 3 2 2 3 12 3 5分所 以 ,集 成 电 路 E 需 要 维 修 的 概 率 为 1 2 1 1 512 3 12p p 6分（ ） 设 Y 为 维 修 集 成 电 路 的 个 数 ， 则 5(2, )12Y B ， 而 100X Y ，22 5 7( 100 ) ( ) ( ) ( ) , 0,1,2.12 12k k kP X k P Y k C k 9分 X 的 分 布 列 为 ： 10分49 35 25 2500 100
18、200144 72 144 3EX 或 5 250100 100 2 12 3EX EY . 12分1 9 解 ： (1 )（ 方 法 一 ）连 接 ,AC BD交 于 点 F ,在 平 面 PCA中 作 /EF BC交 PA于 E,因 为 PC 平 面 BDE， EF 平 面 BDEPC 平 面 BDE， -2 分AD因 为 ,BC 1,3AF ADFC BC 所 以因 为 E F PC , 1= .3AE AFEP FC所 以 -4分（ 方 法 二 ）在 棱 PA上 取 点 E， 使 得 13AEEP ,-2 分连 接 ,AC BD交 于 点 F ,AD因 为 ,BC 1,3,AF ADF
19、C BCAE AFEP FC 所 以所 以所 以 ， E F PC8因 为 PC 平 面 BDE， EF 平 面 BDE所 以 PC 平 面 BDE -4 分(2 )取 BC上 一 点 G使 得 2,BG 连 结 DG,则 ABGD为 正 方 形 .过 P作 PO 平 面 ABCD,垂 足 为 O.连 结 , , ,OA OB OD OG . 0, 60AP AD AB PAB PAD ，所 以 PAB 和 PAD 都 是 等 边 三 角 形 ， 因 此 PA PB PD ,所 以 OA OB OD ,即 点 O为 正 方 形 ABGD对 角 线 的 交 点 ,-7 分因 为 , ,OG OB
20、 OP 两 两 垂 直以 O坐 标 原 点 ， 分 别 以 , ,OG OB OP 的 方 向 为 x轴 ， y 轴 ,z 轴 的 正 方 向 建 立 如 图 所 示 的空 间 直 角 坐 标 系 O xyz .0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0O P A B D G 则 （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） （ ， ， ）设 棱 BC的 长 为 t ， 则 2 2( ,1 ,0)2 2C t t ,2 2( 1,0, 1), (0,1, 1), ( ,1 , 1), (0, 1, 1)2 2t tP
21、A PB PC PD -9分, 1 1 1( , , ),0 0, 001, ( 1,1,1)PAB x y zPA x zy zPBx PAB 设 平 面 的 法 向 量则 即不 妨 令 可 得 为 平 面 的 一 个 法 向 量 .mmm m -1 0 分2 2 2( , , ),2 20 (1 ) 0, 2 20 02 21, (1 ,1, 1)PCD x y zPC tx t y zPD y zy PCDt 设 平 面 的 法 向 量则 即不 妨 令 可 得 为 平 面 的 一 个 法 向 量 .nnn n-1 1 分0, m n 解 得 t=2 2 2 2.BC即 棱 的 长 为 -
22、1 2 分920.解 （ 1） 依 题 意 ， )0,2(A .设 ),( 11 yxD ， 则 14 2121 yx .由 90ADC 得 1 CDAD kk ,112 1 11 1 xyx y , 124112 121 2111 21 xx xxx y , 解 得 舍 去 ）(2,32 11 xx3221 y , 2332221 S . -5 分(2)设 22,yxD , 动 点 P在 圆 422 yx 上 , 1 PAPB kk .又 21 kk , 121 2 22 2 xyx y , 即 22 22 12y xx = 41 12 2222 xxx = 2222 441 12 xxx
23、= 214 22 xx = 2114 2x . 又 由 题 意 可 知 2,22 x , 且12 x ,-1 0 分则 问 题 可 转 化 为 求 函 数 1,2,22114 xxxxf 且 的 值 域 .函 数 xf 在 其 定 义 域 内 为 减 函 数 , 函 数 xf 的 值 域 为 3,00, 从 而 的 取 值 范 围 为 3,00, -1 2 分2 1 . 解 :（ ） 因 为 (1) 1 02af ， 所 以 2a ， 此 时 2( ) ln , 0f x x x x x ，21 2 1( ) 2 1 ( 0)x xf x x xx x ,由 ( ) 0f x ， 得 1x ，
24、 所 以 ( )f x 在 (0,1)上 单 调 递 增 ， 在 (1, ) 上 单 调 递 减 ，故 当 1x 时 函 数 有 极 大 值 ， 也 是 最 大 值 ， 所 以 ( )f x 的 最 大 值 为(1) 0f 4 分（ ） 21( ) ( ) 1) ln (1 ) 12g x f x ax x ax a x -( ，1 0所 以 21 (1 ) 1( ) (1 ) ax a xg x ax ax x 当 0a 时 ， 因 为 0x ， 所 以 ( ) 0g x 所 以 ( )g x 在 (0, ) 上 是 递 增 函 数 ，当 0a 时 ， 2 1( )( 1)(1 ) 1( )
25、 a x xax a x ag x x x ，令 ( ) 0g x ， 得 1x a 所 以 当 1(0, )x a 时 ， ( ) 0g x ； 当 1( , )x a 时 ，( ) 0g x ，因 此 函 数 ( )g x 在 1(0, )x a 是 增 函 数 ， 在 1( , )x a 是 减 函 数 综 上 ， 当 0a 时 ， 函 数 ( )g x 的 递 增 区 间 是 (0, ) ， 无 递 减 区 间 ；当 0a 时 ， 函 数 ( )g x 的 递 增 区 间 是 1(0, )a ， 递 减 区 间 是1( , )a 8 分（ ） 当 2a 时 ， 2( ) ln , 0f
26、 x x x x x 由 1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x ， 即 2 21 1 1 2 2 2 1 2ln ln 0x x x x x x x x 从 而 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ln( )x x x x x x x x 令 1 2t x x ， 则 由 ( ) lnt t t 得 ， 1( ) tt t 可 知 ， ( )t 在 区 间 (0,1) 上 单 调 递 减 ， 在 区 间 (1, ) 上 单 调 递 增 所 以( ) (1) 1t ，所 以 21 2 1 2( ) ( ) 1x x x x ， 因 为 1 20, 0x x ,因 此
27、 1 2 5 12x x 成 立 1 2 分1 1.1 0 分2 3 .解 ： （ 1 ） 曲 线 1C 的 普 通 方 程 为 2 2 14 3x y ， 2分曲 线 2C 的 普 通 方 程 为 2 2 4x y . 4分（ 2 ） 法 一 ： 由 曲 线 2C ： 2 2 4x y ， 可 得 其 参 数 方 程 为 2cos2sinxy ， 所 以 P 点坐 标 为 (2cos ,2sin ) ， 由 题 意 可 知 (0, 3), (0, 3)M N .因 此 2 2 2 2(2cos ) (2sin 3) (2cos ) (2sin 3)PM + PN 7 4 3sin 7 4 3
28、sin 6分2 2( ) 14 2 49 48sinPM + PN .所 以 当 sin 0 时 ， 2( )PM + PN 有 最 大 值 2 8 ， 8 分因 此 PM + PN 的 最 大 值 为 2 7 . 10分法 二 ： 设 P点 坐 标 为 ( , )x y ， 则 2 2 4x y ， 由 题 意 可 知 (0, 3), (0, 3)M N .因 此 2 2 2 2( 3) ( 3)PM + PN x y x y 7 2 3 7 2 3y y 6分2 2( ) 14 2 49 12PM + PN y .1 2所 以 当 0y 时 ， 2( )PM + PN 有 最 大 值 2 8 ， 8 分因 此 PM + PN 的 最 大 值 为 2 7 . 10分学 生 用 几 何 法 求 最 大 值 ， 只 要 论 证 严 密 ， 酌 情 给 分
