1、3.2古典概型3.2.1古典概型,【自主预习】主题1:基本事件1.抛掷两枚硬币,有哪几种可能结果?每种结果出现的概率是否相等?,提示:抛掷两枚硬币有4种可能结果,是“正正”“正反”“反正”“反反”,它们都是随机事件,出现的概率是相等的,都是 .,2.若甲乙两同学玩“剪子、包袱、锤头”的游戏,试写出他们的所有结果?提示:第一个同学有三种结果,第二个同学也有三种结果,因此,所有结果有:剪子剪子、剪子包袱、剪子锤头、包袱剪子、包袱包袱、包袱锤头、锤头剪子、锤头包袱、锤头锤头.,结合以上探究过程,总结基本事件的定义与特点:定义:一次试验中,所有出现的基本结果中不能再分的 最简单的_称为该试验的基本事件
2、.,随机事件,特点:任何两个基本事件是_的; 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本 事件的和.,互斥,主题2:古典概型的判断某同学从红、黄、蓝、白4个小球中,任取3个,试写出这个试验的结果,这个试验有哪些特点.提示:该试验的基本事件只有4个,如:红黄蓝、红黄白、红蓝白,黄蓝白,而且每个基本事件发生的概率都是 ,是等可能的.,通过以上探究过程,总结古典概型的定义:对于一个试验:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有_.(2)每个基本事件出现的可能性_.将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.,有限个,相等,主题3:古典概型的概率公式在抛掷硬币试验中,如何求正面朝上及反面朝上
3、的概率?提示:出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”).由概率的加法公式,得P(“正面朝上”)+P(“反面朝上”)=P(必然事件)=1,因此P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)= ,即P(出现正面朝上)=,通过以上探究,写出古典概型的概率公式:P(A)= .m表示_,n表示_.,A包含的基本事件的个数,基本,事件的总数,【深度思考】结合教材P127例2你认为求解古典概型的解题步骤有哪些?第一步:_.第二步:_.,用字母A表示所求事件,计算基本事件的个数n及事件A中包含的基本,事件的个数m,第三步:_.,代入公式P(A)= ，求P(A),【预习小测】1.
4、抛掷一枚骰子,下列不是基本事件的是()A.向上的点数是奇数B.向上的点数是3C.向上的点数是4D.向上的点数是6,【解析】选A.向上的点数是奇数包含三个基本事件:向上的点数是1,向上的点数是3,向上的点数是5,则A项不是基本事件,B,C,D三项均是基本事件.,2.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某学生只选报其中的2个,则基本事件共有 ()A.1个B.2个C.3个D.4个,【解析】选C.该生选报的所有可能情况:数学和计算机、数学和航空模型、计算机和航空模型,所以基本事件有3个.,3.下列对古典概型的说法中正确的是()试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;每个事件出现的可能
5、性相等;每个基本事件出现的可能性相等;,基本事件总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则P(A)= .A.B.C.D.,【解析】选B.中所说的事件不一定是基本事件,所以不正确;根据古典概型的特点及计算公式可知正确.,4.下列试验中是古典概型的为()A.种下一粒花生,观察它是否发芽B.向正方形ABCD内,任意投掷一点P,观察点P是否与正方形的中心O重合,C.从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率D.在区间0,5内任取一点,求此点小于2的概率,【解析】选C.对于A,发芽与不发芽的概率一般不相等,不满足等可能性;对于B,正方形内点的个数有无限多个,不满足有限性;对于C,满足
6、有限性和等可能性,是古典概型;对于D,区间内的点有无限多个,不满足有限性.,5.在200瓶饮料中,有4瓶已过保质期,从中任取一瓶,则取到的是已过保质期的概率是_.【解析】所求概率为 =0.02.答案:0.02,【补偿训练】甲、乙、丙三名同学站成一排,求甲站在中间的概率.(仿照教材P127例2的解析过程),【解析】基本事件有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个,甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个,所以甲站在中间的概率P=,【互动探究】1.向一圆面内随机投一个点,若该点落在圆内任意一点都是等可能的,是古典概型吗?为什么?提示:不是.因为试验的所有可能结果是圆内所有点,试验的
7、所有可能结果数是无限的.,2.射击运动员向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环、命中1环和命中0环(即不命中),你认为这是古典概率模型吗?为什么?提示:不是.因为所有可能的结果不是等可能的.,3.从集合的观点分析,如果在一次试验中,等可能出现的所有n个基本事件组成全集U,事件A包含的m个基本事件组成子集A,那么事件A发生的概率P(A)等于什么?特别地,当A=U,A=时,P(A)等于什么?提示:P(A)= ;当A=U时,P(A)=1;当A=时,P(A)=0.,n次试验中,随机事件A发生m次,随机事件A发生的频率为 ;如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的
8、可能性都相等,若事件A包含的基本事件数有m个,古典概型的概率公式P(A)= .二者有什么区别?,提示:如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,若事件A包含的基本事件数有m个,由于m,n都是定值,所以事件A的概率P(A)= 是个定值.而频率中的m,n均随试验次数的变化而变化,但一般来说频率 随着试验次数的增加总是趋近于P(A).,【探究总结】知识归纳:,方法总结:列基本事件的三种方法(1)列举法:一一列出所有基本事件的结果,一般适用于较简单的问题.(2)列表法:一般适用于较简单的试验方法.(3)树状图法:一般适用于较复杂问题中基本事件个数的探求.,【题型探究】类型一:
9、求基本事件及基本事件数【典例1】连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币是出现正面还是反面.,(1)写出这个试验的所有基本事件.(2)求这个试验的基本事件的总数.(3)“恰有两枚正面朝上”这一事件包含哪几个基本事件?,【解题指南】可按一定顺序将所有基本事件一一列举出来,即可得出所有基本事件,基本事件的个数即为基本事件总数.,【解析】(1)用(正,反,正)来表示“连续掷3次硬币,第一次出现正面,第二次出现反面,第三次出现正面”.这个试验的所有基本事件有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).,(2)基本事件的总数
10、是8.(3)“恰有两枚正面朝上”包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).,【规律总结】1.对基本事件的三个关注点(1)不可分性.基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他的事件可以包含基本事件.(2)有限性.所有的基本事件都是有限的.(3)等可能性.每一个基本事件的发生都是等可能的.,2.列举基本事件的注意点列举时,要注意分清“有序”还是“无序”,按一定次序进行列举,防止重复和遗漏.采用列表、树状图等直观手段是防止重复与遗漏的有效方法.,【巩固训练】做投掷2颗骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示第一颗骰子出现的点数,y表示第2颗骰子出现的点数.写出:
11、,(1)试验的基本事件.(2)事件“出现点数之和大于8”.(3)事件“出现点数相等”.(4)事件“出现点数之和等于7”.,【解析】(1)这个试验的基本事件共有36个,列举如下: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(
12、6,6).,(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件: (3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).,(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1).,类型二:古典概型的判断【典例2】(1)下列概率模型中,是古典概型的为.从区间1,10内任取一个数,求取到1的概率.从1,2,3,10中任取一个整数,求取到1的概率.向一个正
13、方形ABCD内任意投一点P,求点P刚好与点A重合的概率.,(2)袋中有形状、大小相同的4个白球,2个黑球,3个红球,每球都有一个区别于其他球的编号,从中摸一个球.如果把每个球的编号看作一个基本事件,建立概率模型,问该模型是否为古典概型?若以球的颜色为基本事件,以这些基本事件建立概率模型,该模型是否为古典概型?,【解题指南】(1)从有限性和等可能性两个角度考虑.(2)根据古典概型的定义进行判断.,【解析】(1)基本事件有无限个.基本事件有10个,等可能发生.基本事件有无限个.答案:,(2)由于共有9个球,且每个球的编号各不相同,所以做一次试验共有9种不同的结果;又由于所有球的大小、形状一样,因此
14、每个球被摸到的可能性相等.故属于古典概型.,由于9个球共三种颜色,因此共有三个基本事件,又由于所有球的大小、形状一样,因此每个球被摸到的可能性相等,而白球4个,故一次摸球摸到白球的可能性为 ,同理摸到黑球的可能性为 ,摸到红球的可能性为 显然三个基本事件出现的可能性不等,故不是古典概型.,【规律总结】判断古典概型的方法(1)一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.,(2)并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型:基本事件个数有限,但非等可能.基本事件个数无限,但等可能.基本事件个数无限,也不等可能.,【巩固训练】袋中有大小相同的5个白球,3个黑球和3个红
15、球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球,有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件,是否为古典概型?,【解析】由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法,又因为所有球大小相同,因此每个球被摸到的可能性相等,故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.,类型三:古典概型的概率计算【典例3】从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.,【解题指南】每次取出一个,取后不放回,其一切可能的结果组成的基本事件是等可能发生的,因此可用古典概型解决.,【解析】每次取出一个,取后
16、不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有6个,即(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品,用A表示“取出的两件产品中恰好有一件次品”这一事件,则A=(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),事件A由4个基本事件组成,因而,P(A)=,【延伸探究】1.(改变问法)其他条件不变,求第一次取到的是正品的概率.,【解析】每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有6个,即(a1,a2), (a1,b1),(a2,a
17、1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品,用A表示“第一次取到的是正品”这,一事件,则A=(a1,b1),(a2,b1),(a1,a2),(a2,a1),事件A由4个基本事件组成,因而P(A)=,2.(变换条件)在上例中,把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余条件不变,求取出的两件中恰好有一件次品的概率.,【解析】有放回地连续取出两件,其一切可能的结果为:(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a2),(b1,b1),(b1
18、,a1),由9个基本事件组成,由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件,则B=(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1), (b1,a2),事件B包含4个基本事件,因而P(B)= .,【规律总结】求解古典概型概率的步骤(1)判断是否为古典概型.(2)算出基本事件的总数n.(3)算出事件A中包含的基本事件个数m.,(4)算出事件A的概率,即P(A)= .在运用公式计算时,关键在于求出m,n.在求n时,应注意这n种结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错.,【巩固训练】现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张
19、同学从中任取2道题解答.试求:(1)所取的2道题都是甲类题的概率.(2)所取的2道题不是同一类题的概率.,【解题指南】利用列举法,弄清楚基本事件总数和所求的事件包含的基本事件数,利用古典概型的公式计算概率.,【解析】(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4,2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共有15个;并且这些基本事件的出现是等可能的,记事件A表示,“张同学所取的2道题都是甲类题”,则A包含的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6个,所以P(A)=,(2)基本事件同(1).记事件B表示“张同学所取的2道题不是同一类题”,则B包含的基本事件有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8个,所以P(B)=,
