1、3.1.3概率的基本性质,【知识提炼】1.事件的关系(1)包含关系.一般地，对于事件A与事件B，如果事件A_，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作_(或AB).不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件.,发生,BA,(2)相等关系.如果事件A发生，那么事件B一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等，记作_.一般地，若BA，且AB，那么称事件A与事件B相等，记作A=B.,A=B,2.事件的运算(1)并事件.若某事件C发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的_(或和事件)，记作C=_(或C=A+B).(2)交事件.若某事件C发生当且
2、仅当事件A发生_事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作C=_(或C=AB).,并事件,AB,且,AB,(3)互斥事件、对立事件.若AB为不可能事件(_)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中_发生.若AB为_事件，AB为_事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中_一个发生.,AB=,不会同时,不可能,必然,有且仅有,3.概率的几个性质(1)范围：任何事件的概率P(A)_.(2)必然事件的概率：必然事件的概率P(A)=_.(3)不可能事件的概率：不可能事件的概率P(A)=_.(4)概率加法公式如果事件
3、A与事件B互斥，则有P(AB)=_.(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，那么AB为必然事件，则有P(AB)=_=1.,0，1,1,0,P(A)+P(B),P(A)+P(B),【即时小测】1.思考下列问题：(1)在掷骰子的试验中，事件A=出现的点数为1，事件B=出现点数为奇数，A与B应有怎样的关系?提示：因为1为奇数，所以AB.(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么?提示：看是否是互斥事件，看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是.,2.同时抛掷两枚硬币，向上都是正面为事件M，向上至少有一枚是正面为事件N，则有()A.MN B.MN C.M=N D.M
4、N【解析】选A.事件N包含两种结果：向上都是正面或向上是一正一反.则当M发生时，事件N一定发生.则有MN.,3.事件A与B是对立事件，且P(A)=0.6，则P(B)等于()A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.1【解析】选A.P(B)=1-P(A)=0.4.,4.抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则事件A的互斥事件为()A.至多抽到2件次品 B.至多抽到2件正品C.至少抽到2件正品 D.至多抽到1件次品【解析】选D.“至少抽到2件次品”与“至多抽到1件次品”不能同时发生，但必有一个发生.,5.已知P(A)=0.1，P(B)=0.2，且A与B是互斥事件，则P(AB)=.【解析】P
5、(AB)=P(A)+P(B)=0.1+0.2=0.3.答案：0.3,【知识探究】知识点 互斥事件与对立事件根据下列活动，回答问题：在五一小长假中，某商场举办抽奖促销活动，根据顾客购物金额多少共设10个奖项，规定每人仅限抽奖一次.,问题1：某位顾客抽奖一次能否同时抽到一等奖和二等奖?问题2：抽到的各奖次之间是互斥事件还是对立事件?,【总结提升】1.互斥事件与对立事件的区别与联系(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：若事件A发生，则事件B就不发生；若事件B发生，则事件A不发生；事件A，B都不发生.,而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则AB是必然
6、事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，亦即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个.(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.,2.从集合的角度理解互斥事件与对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A的对立事件 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.,3.对互斥事件的概率加法公式的三点认识(1)前提条件：当事件A与B是互斥事件，如果没有这一条件，加法公式将不成立.(2)特殊情况：当事件A与B是对立事件时，P(B)=1
7、-P(A).(3)应用方法：在求某些较复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较容易求的彼此互斥的事件，或与其对立的事件，化整为零，化难为易.,【知识拓展】概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果时且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).,【题型探究】类型一 事件间关系的判断【典例】1.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两事件是()A.“至少有1个黑球”和“都是黑球”B.“至少有1个黑球”和“至少有1个红球”C.“恰有1个黑球”和“恰有2个红球”D.“至少有1个黑球”和“都是红球”,2.从一堆产品(其
8、中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每个事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品.(2)至少有1件次品和全是次品.(3)至少有1件正品和至少有1件次品.,【解题探究】解答此类问题的关键是什么?提示：抓住互斥与对立两个概念的联系与区别，正确理解“至少”“恰有”“都是”的语意是关键.,【解析】1.选C.C中两事件不能同时发生，但可以同时不发生.2.依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，
9、所以它们不是对立事件，同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件.(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件.,【方法技巧】1.判断事件是否互斥的两步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的.2.判断事件对立的两步骤第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立.,【变式训练】从1，2，9中任取两个数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个是奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和两个数都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数.是对立事件的是
10、.,【解析】从1，2，9中任取两个数字包括一奇一偶、两奇、两偶共三种互斥事件，所以只有中的两个事件才是对立的.答案：,类型二 事件的运算【典例】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A=3个球中有1个红球2个白球，事件B=3个球中有2个红球1个白球，事件C=3个球中至少有1个红球，事件D=3个球中既有红球又有白球.求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?,【解题探究】典例中任取的3个球中按颜色组成有哪些情况?提示：有3红、2红1白、1红2白、3白共4种组成情况.,【解析】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D
11、=AB.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故CA=A.,【延伸探究】在本例中，设事件E=3个红球，事件F=3个球中至少有一个白球，那么事件C与B，E是什么运算关系?C与F的交事件是什么?【解析】由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故BC，EC，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以CF=1个红球2个白球，2个红球1个白球=D.,【方法技巧】事件间运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Ven
12、n图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.,【变式训练】抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A=出现的点数是1，2，事件B=出现的点数是2，3，4，则事件出现的点数是2可以记为()A.AB B.AB C.AB D.A=B【解析】选B.AB=出现的点数是1，2，3，4，AB=出现的点数是2.,类型三 用互斥、对立事件求概率【典例】1.抛一枚骰子，出现的点数大于4的概率为.2.(2015青岛高一检测)某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：(1)
13、射中10环或9环的概率.(2)至少射中7环的概率.,【解题探究】1.典例1中基本事件与和事件分别是什么?提示：基本事件有6个，和事件有2个基本事件.2.典例2中的互斥事件是什么?对立事件是什么?提示：(1)射中10环或9环是互斥事件.(2)“至少射中7环”与“射中7环以下”是对立事件，可以利用对立事件概率公式计算.,【解析】1.抛一枚骰子，基本事件空间=1，2，3，4，5，6，设A1=1，A2=2，A3=3，A4=4，A5=5，A6=6，A=出现点数大于4，则由互斥事件的概率加法公式，得P(A)=P(A5A6)=P(A5)+P(A6)=答案：,2.设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、
14、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.2=0.3.所以射中10环或9环的概率为0.3.(2)方法一：P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.1+0.2+0.3+0.3=0.9.方法二：因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式，得至少射中7环的概率为1-0.1=0.9.,【延伸探究】1.(改变问法)若典例2条件不变，求射中环数不足8环的概率.【解析】P(D+E)=P(D)+P(E)=0.3+0.1=0.4.所以射中环数不足8环的概率为0.4.,2.(变换条件)某射击运动员在一次
15、射击中，射中10环的概率是射中9环的概率的2倍，运动员射中9环以下的概率为0.1，求运动员在一次射击中，射中10环的概率.,【解析】设事件A，B，C分别表示“射中10环”、“射中9环”、“射中9环以下”，则 =AB，因为P(A)=2P(B)，所以P( )=P(AB)=P(A)+P(B)=1-0.1=0.9，得3P(B)=0.9，所以P(B)=0.3，P(A)=0.6.,【方法技巧】互斥事件、对立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式P(AB)=P(A)+P(B).(2)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(
16、3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题.,【补偿训练】(2015洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：求：(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?,【解析】设“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G=ABC，所以P(G)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0
17、.1+0.16+0.3=0.56.,(2)方法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H=DEF，所以P(H)=P(DEF)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.方法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)=1-P(G)=0.44.,易错案例 互斥对立事件的理解【典例】一个口袋内有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出不是红球的概率为_.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗?提示：错误的根本原因是忽视了互斥事件和对立事件的概念从而求概率出
18、错.,【自我矫正】设A=“摸出红球”，B=“摸出白球”，C=“摸出黑球”则A，B，C两两互斥，A与 为对立事件，因为P(A+B)=P(A)+P(B)=0.58，P(A+C)=P(A)+P(C)=0.62，P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=1，所以P(C)=0.42，P(B)=0.38，P(A)=0.20，所以P( )=1-P(A)=1-0.20=0.80.答案：0.80,【防范措施】防止忽视互斥事件的概率和运算出错(1)首先要明确一次试验的所有基本结果，以及运算结果，本题属于摸球试验，基本结果为摸出红球、白球、黑球，运算结果为红球或白球、红球或黑球、白球或黑球(不是红球).(2)再次要将随机事件字母化，概率运算要公式化，尤其在解答题中更为重要，这样不仅保证计算正确，而且条理规范.如本题若忽视以上注意事项，就会因为审题不准导致错误.,
