1、2.1.3分层抽样,【知识提炼】分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成_的层，然后按照一定的_，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体_作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.(2)适用范围：当总体是由_的几个部分组成时，往往采用分层抽样.,互不交叉,比例,合在,一起,差异明显,【即时小测】1.思考下列问题：(1)分层抽样的总体具有什么特性?提示：分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样.,(2)系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样
2、，故系统抽样就是一种特殊的分层抽样，这种说法对吗?提示：不对.因为分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上抽取是按事先确定好的规则进行的，各层编号有联系，不是独立的，故系统抽样不同于分层抽样.,2.一批灯泡400只，其中20W、40W、60W的数目之比是431，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为()A.20，15，5B.4，3，1C.16，12，4D.8，6，2【解析】选A.三种灯泡依次抽取的个数为40 =20，40 =15，40 =5.,3.一个班共有54人，其中男女比例为54，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性与每个女同学被抽取的
3、可能性分别为(),【解析】选B.男女每人被抽取的可能性是相同的，因为男同学共有54 =30(人)，女同学共有54 =24(人).所以每个男同学被抽取的可能性为 每个女同学被抽取的可能性为,4.为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取5名，抽样方法是，如果男生的身高和女生的身高有显著不同(男生30人，女生20人)，抽样方法是.【解析】根据总体特点选择恰当的抽样方法.答案：简单随机抽样分层抽样,5.一个工厂有若干车间，今采用分层抽样的方法从全厂某天生产的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查.若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为.【解析】设应抽取x件，则
4、所以x=16.答案：16,【知识探究】知识点 分层抽样观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：选择分层抽样的依据是什么?问题2：分层抽样有何特点?,【总结提升】1.对分层抽样概念的三点说明(1)相似的个体归入一类，即为一层，分层时要求每层的各个个体之间互不交叉，遵循不重复、不遗漏的原则.(2)分层要求为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样或系统抽样，每层样本数量与每层个体数量的比和样本容量与总体容量的比相等.,(3)各部分之间有明显的差异是选择分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是灵活的，可以采用系统抽样、简单随机抽样，分层中无论哪一层的个体，被抽到的机会均等，体现了抽样
5、的公平性.,2.分层抽样的特点(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况.(2)更充分地反映了总体的情况，使样本具有较强的代表性.(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是.,【题型探究】类型一 分层抽样概念的理解【典例】1.(2015平凉高一检测)下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()A.从10名同学中抽取3人参加座谈会B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C.从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量,2.分层
6、抽样又称为类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每层各抽若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行()A.每层内等可能抽样B.每层内不等可能抽样C.所有层用同一抽样比D.所有层抽同样多样本容量,【解题探究】1.典例1中适合分层抽样的依据是什么?提示：各部分有明显的差异是选择分层抽样的依据.2.典例2中对于分层抽样每个个体被抽到的机会是等可能的吗?提示：分层抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的机会均等.,【解析】1.选B.A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样.2
7、.选C.由分层抽样的定义和特点可知，所有层用同一个抽样比，等可能抽样.,【方法技巧】分层抽样的前提和遵循的两条原则(1)前提：分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取.,(2)遵循的两条原则：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.,【变式训练】某初级中学有学生270人，其中七年级108人，八、九年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参
8、加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案.使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按七、八、九年级依次统一编号为1，2，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：,7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；11，38，60，90，119，146，173，200，227，254；30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.其中可能是分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的一组号码
9、为()A.B.C.D.,【解析】选B.先考虑哪种情况为分层抽样，分层抽样需按年级分三层，七年级抽取4人，八、九年级各抽3人，也即1到108号抽4人，109到189号抽3人，190到270号抽3人.可判断可能是分层抽样.再判断中哪几个是系统抽样，系统抽样需把1到270号分成均匀的10部分.每部分按事先约定好的方法抽取1个，则为系统抽样.故选B.,类型二 分层抽样的设计【典例】1.(2015榆林高一检测)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为532.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取个个体.2.一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为32523，从3万人中抽取一个3
10、00人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法?并写出具体过程.,【解题探究】1.典例1中从A，B，C三层抽取的个体比应为多少?提示：抽取的个体比应为532.2.典例2中应根据哪些条件选取抽样方法?提示：由于这种疾病与不同的地理位置及水土有关，不同乡镇的发病情况差异明显，因此采用分层抽样的方法.,【延伸探究】1.(改变问法)典例1中的条件不变，问应从A中抽取多少个个体?【解析】因为A，B，C三层个体数之比为532，又有总体中每个个体被抽到的机会相等，所以分层抽样应从A中抽取100 =50(个).答案：50,2.(变换条件)若把典例1中个体数之比
11、改为234，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，其中A层中的个体数为16，那么求此时的样本容量.【解析】由于A层中的样本数为16，A层中的个体所占的比例为 故样本容量,【方法技巧】分层抽样的操作步骤第一步，计算样本容量与总体的个体数之比.第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数.第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体.第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本.,【补偿训练】某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解他们对政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方
12、法抽取，并写出具体实施抽取的步骤.【解题指南】根据副处级干部，一般干部和工人对政府机构改革的意见有明显差异，这是三类不同的人群，因此应采用分层抽样，按照 的比例进行分层抽取.,【解析】用分层抽样方法抽取.具体实施抽取步骤如下：因为20100=15，所以 =2(人)， =14(人)， =4(人)，所以从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人.因副处级以上干部与工人的人数较少，将他们分别按110和120编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用先对其按00，01，02，69编号，然后用随机数表法抽取14人.将抽取的2人，4人，14人汇合在一起就得到了容
13、量为20的样本.,【延伸探究】(变换条件)本题若改为抽取一个容量为10的样本，则副处级以上干部、一般干部、工人各应抽取多少人?【解析】因为10100=110，所以10 =1(人)，70 =7(人)，20 =2(人)，所以从副处级以上干部中抽取1人，从一般干部中抽取7人，从工人中抽取2人.,类型三 抽样方法的综合应用【典例】1.(2015浏阳高一检测)学校为了了解高一学生的情况，从每班抽2人进行座谈；一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，10人的成绩在100110分，30人的成绩在90100分，12人的成绩低于90分，现在从中抽取12人了解有关情况；运动会服务人员为参加400m决赛的
14、6名同学安排跑道.就这三件事，合适的抽样方法为(),A.分层抽样，分层抽样，简单随机抽样B.系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C.分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D.系统抽样，分层抽样，简单随机抽样,2.为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行考察，为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的考试成绩；每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；,把学生按成绩分成优秀、
15、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人).根据上面的叙述，回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么?每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少?(2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽样方法?(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.,【解题探究】1.典例1中哪项总体中个体数量比较大?哪项各个层有较大差异?哪项个体数比较少?提示：总体中个体数量比较大；各个层有较大差异；个体数比较少.2.典例2中应如何分析其选择的抽样方法?提示：当总体中个体数量比较大时采用系
16、统抽样；当各个层有较大差异时选用分层抽样；当个体数比较少时采用简单随机抽样.,【解析】1.选D.系统抽样适合总体中个体数量比较大的情况.分层抽样适合总体由差异明显的几部分组成的.总体中个体数比较少的时候，选用简单随机抽样.,2.(1)三种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩.第一种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.,(2)三种抽取方式中，第一种方式
17、采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法.(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步：在这20个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步：从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩.,第二种方式抽样的步骤如下：各个班的学生按1，2，3，编号；第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其编号为a；第二步：在其余的19个班中，选取编号为a的学生，共计20人.,第三种方式抽样的步骤如下：第一步：分层.若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，总体由差异明显的三部分组成，所
18、以在抽取样本时，应把全体学生分成三个层次.第二步：确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体个体数的比为1001000=110，,所以在每个层次抽取的个体数依次为 即15，60，25.第三步：按层次分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人.,【方法技巧】抽样方法的选取(1)若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样.(2)若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样.当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样.(3)采用
19、系统抽样时，当总体容量N能被样本容量n整除时，抽样间隔为k= ，当总体容量不能被样本容量整除时，抽样间隔为k= .,【拓展延伸】简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的联系和区别,【变式训练】某批零件共160个，其中一级品有48个，二级品有64个，三级品有32个，等外品有16个.从中抽取一个容量为20的样本.试简要叙述用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样法进行抽样都是等可能抽样.【解析】(1)简单随机抽样法：可采用抽签法，将160个零件按1160编号，相应地制作1160号的160个号签，从中随机抽20个即可.每个个体被抽到的概率为 每个个体被抽到的可能性相同.,(2)系统抽样法：将160个零件按116
20、0编号，按编号顺序分成20组，每组8个.先在第一组用抽签法抽得k号(1k8)，则在其余组中分别抽得第k+8n(n=1，2，3，19)号，每个个体被抽到的概率为 ，每个个体被抽到的可能性相同.,(3)分层抽样法：按比例 分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取48 =6(个)，64 =8(个)，32 =4(个)，16 =2(个)，每个个体被抽到的概率分别为 即都是 ，每个个体被抽到的可能性相同.综上所述，无论采取哪种抽样方法，总体中每个个体被抽到的概率都是 .,【补偿训练】1.某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人.为了研究血型与色弱的关系，
21、需从中抽取一个容量为20的样本.按照分层抽样方法抽取样本，各种血型的人所抽的数目分别为.【解析】因为 ，所以200 =8，125 =5，50 =2，故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人.答案：8，5，5，2,2.某中学高中学生有900名，学校要从中选出9名同学作为国庆60周年庆祝活动的志愿者.已知高一有400名学生，高二有300名学生，高三有200名学生.为了保证每名同学都有参与的资格，学校采用分层抽样的方法抽取，求高一、高二、高三分别抽取学生的人数.【解析】样本容量与总体容量的比为： 所以在高一年级应抽取400 =4(人)，在高二年级应抽取300 =3(人)，在高三年级
22、应抽取200 =2(人)，即高一、高二、高三分别抽取学生的人数为4人、3人、2人.,规范解答 分层抽样在实际生活中的应用【典例】(12分)某单位组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组，在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动的总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%，为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，试确定：,(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人所占的比例.(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人
23、分别应抽取的人数.【审题指导】(1)要求游泳组中，青年人、中年人、老年人所占的比例，应根据参加活动的职工中青年人、中年人和老年人所占的比例建立等式求解.(2)要求游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数，应利用青年人、中年人、老年人所占的比例建立等式求解.,【规范解答】(1)设登山组人数为x，游泳组中， 青年人、中年人、老年人各占 比例分别为a，b，c，2分,则有4分解得 所以a=100%-50%-10%=40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%，50%，10%.8分,(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200 40%=60(人)，抽取的中年人人数为200 50%=75(人)，抽取的老年人人数为200 10%=15(人).12分,【题后悟道】1.方程思想涉及求未知量问题时，一般要设出所求量的值，利用条件建立方程组，如本例中的假设，虽然登山组的人数不让求，根据需要也要设出.2.隐含或限制条件的挖掘认真分析题目中的条件，找出隐含或限制的条件，如本例中，登山组占总人数的 ，则意味着游泳组占总人数的 .,
