1、9.3 圆的方程,-2-,知识梳理,考点自测,1.圆的定义及方程,定点,定长,(a,b),r,-3-,知识梳理,考点自测,2.点与圆的位置关系 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0), (1)(x0-a)2+(y0-b)2 r2点在圆上; (2)(x0-a)2+(y0-b)2 r2点在圆外; (3)(x0-a)2+(y0-b)2 r2点在圆内.,=,-4-,知识梳理,考点自测,1.圆心在过切点且垂直于切线的直线上. 2.圆心在任一弦的垂直平分线上. 3.两圆相切时,切点与两圆心三点共线. 4.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x1)(
2、x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(公式推导:设圆上任一点P(x,y),则有kPAkPB=-1,由斜率公式代入整理即可),-5-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.( ) (2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.( )(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.( ) (5)方程x2+Bxy+y2+Dx+Ey+F=
3、0表示圆的充要条件是B=0,D2+E2-4F0.( ),答案,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为 ( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1,答案,解析,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.圆心在y轴上,且过点(-1,2)并与x轴相切的圆的标准方程为( ),答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为( ) A.(
4、-,-2) B.(-,-1) C.(1,+) D.(2,+),答案,解析,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.(2017湖南邵阳一模)已知A(-1,4),B(3,-2),以AB为直径的圆的标准方程为 .,答案,解析,-10-,考点1,考点2,考点3,例1(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 (2)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN
5、|=( ),答案: (1)B (2)C,-11-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)(方法一)设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可.设圆心坐标为(a,-a),故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. (方法二)题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离 ;圆心是直线x+y=0被这两条平行线所截线段的中点,直线x+y=0与直线x-y=0的交点坐标是(0,0),直线x+y=0与直线x-y-4=0的交点坐标是(2,-2),故所求圆的圆心坐标是(1,-1),所求圆C的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.,-12-,考点1,考点2,考点3,(方法三)作为
6、选择题也可以验证解答.圆心在x+y=0上,排除选项C,D,再验证选项A,B中圆心到两直线的距离是否等于半径 即可. (2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)代入,则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0. 令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根, 由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,-13-,考点1,考点2,考点3,思考求圆的方程有哪些常见方法? 解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,
7、通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的垂直平分线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.,-14-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 . (2)(2017河南百校联盟)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为 .,答案: (1)(x-3)2+y2=2 (2)(x-2)2+(y-1)2=10,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,
8、考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,例2已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程; (2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.,答案,-18-,考点1,考点2,考点3,思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法? 解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 2.求与圆有关的轨迹问题时,
9、题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.,-19-,考点1,考点2,考点3,对点训练2已知点A(-1,0),点B(2,0),动点C满足|AC|=|AB|,则点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程为 .,答案,解析,-20-,考点1,考点2,考点3,考向1 斜率型最值问题 例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求 的最大值和最小值. 思考如何求解形如 的最值问题?,答案,-21-,考点1,考点2,考点3,考向2 截距型最值问题 例4在例3的条件下求y-x的最大值和最小值. 思考如何求解形如
10、ax+by的最值问题?,答案,-22-,考点1,考点2,考点3,考向3 距离型最值问题 例5在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值. 思考如何求解形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题?,答案,-23-,考点1,考点2,考点3,考向4 建立目标函数求最值问题 例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为 . 思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值?,答案,解析,-24-,考点1,考点2,考点3,解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律: (1)借助几何性质求最值 形如 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,
11、y)的斜率的最值问题; 形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题; 形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解,其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法.,-25-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)已知实数x,y满足方程x2+y2-2 的最大值和最小值分别是 和 . (2)已知实数x,y满足x2+y2=4(y0),则m= x+y的取值范围是 . (3)已知P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上移动,则x2+y2的最小值为 . (4)设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为 .,-26-,考点1,考点2,考点3,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,
