1、3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数,主题1函数的单调性与导数的关系1.如图1表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t) =-4.9t2+6.5t+10的图象,图2表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)= h(t)=-9.8t+6.5的图象.,(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即t(0,a)时,h(t)是单调_.此时,v(t)=h(t)=-9.8t+6.50.(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即t(a,b)时,h(t)是单调_.相应地,v(t)=h(t)=-9.8t+6.50,0时,函数增长的快慢与各函数
2、的导数值的大小作对比,你发现了什么?提示:增长速度快的,导函数值大,增长速度慢的,导函数值小.,结论:函数变化的快慢与导数间的关系一般地,如果一个函数在某一范围内导数的_,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”.,绝对值较,大,大,小,大,小,【微思考】1.回忆函数单调性的常规定义,分析用导数研究函数的单调性与常规定义的联系?,提示:增函数时有 0也即 0,对式子 求极限,若极限值大于0,则导数大于0,从而为增函数.减函数时有 0也即 0,则f(x)在该区间上单调递增,但反过来也成立吗?提示:不一定成立.例如,f(x)=x3在R上
3、为增函数,但f(0)=0,即f(x)0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件.,3.如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么如何表示这些区间?函数的单调区间与其定义域满足什么关系?提示:不能用“”连接,只能用“,”或“和”字隔开,函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的,故单调区间是定义域的子集.,【预习自测】1.函数f(x)=x+lnx在(0,6)上是()A.单调增函数B.单调减函数C.在 上是减函数,在 上是增函数D.在 上是增函数,在 上是减函数,【解析】选A.因为x(0,6),所以f(x)=1+ 0,故函数在(0,6)上单调递增.,2.f(x)在(a,b)内可导,
4、若f(x)0,则f(x)在(a,b)内是()A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数【解析】选B.易知导函数f(x)0;当x(0,1)时,y0,所以原函数在区间(-1,1)上先增后减.,4.已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下列四个图象中为y=f(x)的大致图象的是(),【解析】选C.由题图知:当x0,函数y=f(x)单调递增;当-10,所以f(x)0,函数y=f(x)单调递减;当0x1时,xf(x)0,所以f(x)1时,xf(x)0,所以f(x)0,函数y=f(x)单调递增.,5.函数y=x-lnx的单调递减区间是_.【解析】定义域是(0,+),由y
5、=1- 0及定义域得0x0;当x(-1,0)时,f(x)0.故f(x)在(-,-1),(0,+)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.,(2)函数的定义域为(0,+),f(x)=1-2x+ 令f(x)0,解得01,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.,类型一函数单调区间的判断及求解【典例1】(1)(2015陕西高考)设f(x)=x-sinx,则f(x)()A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数,(2)求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间.,【解题指南】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sinx的奇偶性,利用
6、导数判断其单调性.(2)先求导,令导函数值大于0,得到增区间,令导函数值小于0,得到减区间.,【解析】(1)选B.因为f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sinx)=-f(x),所以f(x)为奇函数.又f(x)=1-cosx0,所以f(x)单调递增,选B.(2)f(x)=3x2-2lnx的定义域为(0,+),则f(x)=6x- 由f(x)0得6x2-20,即x2 ,则x 或x0,所以0x0或f(x)0,解得- .因此,函数f(x)的单调减区间为,(2)函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=2x- 因为x0,所以 x+10,由f(x)0,解得x ,所以函数f(x)的单调递增区间为 由
7、f(x)0,解得x0,解得x1;由f(x)0,解得-1x0,得x-1;令y0,得x-1.因此,y=xex的单调递增区间为(-1,+),单调递减区间为(-,-1).,类型二原函数与导函数图象间的关系【典例2】(1)函数y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f(x)的图象的大致形状是(),(2)函数y=f(x)在定义域 内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数为y=f(x),则不等式f(x)0的解集为_.,【解题指南】(1)利用函数的单调性判断导数的符号,利用导数的符号判断导函数图象的位置(在x轴上方还是下方).(2)当函数单调递减时f(x)0,所以只要找出函数的单调递减区间即可.,【解析】(
8、1)选D.根据图象可知,函数f(x)先单调递减,后单调递增,后为常数,因此f(x)对应的变化规律为先负,后正,后为零.,(2)函数y=f(x)在区间 和区间(2,3)上单调递减,所以在区间 和区间(2,3)上,y=f(x)0,所以f(x)0的解集.【解析】根据题目中的图象,函数y=f(x)在区间 和区间(1,2)上函数为增函数,所以在区间 和区间(1,2)上,y=f(x)0,所以f(x)0的解集为 (1,2).,2.若本例(2)中的条件不变,试求不等式xf(x)0的解集.【解析】由典例(2)及延伸探究1以及已知条件可知,当x 时,函数为减函数,则f(x)0.综上可知:xf(x)0的解集为 (1
9、,2).,【方法总结】判断函数与导数图象间对应关系的两个关键第一:要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.第二:注意以下两个方面:,(1)函数的单调性与其导函数的正、负的关系:在某个区间(a,b)内,若f(x)0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;如果f(x)0且越来越大. f(x)0且越来越小.,函数值减小得越来越快,函数值减小得越来越慢,f(x)0且越来越小, f(x)0且越来越大,绝对值越来越大.绝对值越来越小.,【补偿训练】函数f(x)的图象如图所示,则导函数y=f(x)的图象可能是(),【解析】选D.从原函数y=f(x)的图象可以看出,其在区间(-,0)上是减函数,f(x)
10、0;在区间(x1,x2)上是减函数,f(x)0.结合选项可知,只有D项满足.,类型三利用函数的单调性求参数的范围【典例3】(1)若f(x)=ax3+x在区间-1,1上单调递增,求a的取值范围.(2)(2017广州高二检测)设函数f(x)=x2+ax-lnx,a R,若f(x)在区间(0,1上是减函数,求实数a的取值范围.,【解题指南】(1)由f(x)=ax3+x在区间-1,1上单调递增,可得出利用不等式f(x)0在-1,1上恒成立,确定a的取值范围.(2)把f(x)在区间(0,1上是减函数,转化为f(x)0对任意x(0,1恒成立.,【解析】(1)f(x)=3ax2+1,因为f(x)在区间-1,
11、1上单调递增,所以f(x)=3ax2+10在-1,1上恒成立.当x=0时,显然成立,当x0时,a- .因为- 在x-1,0)(0,1的最大值为- ,所以a- .故a的取值范围是,(2)f(x)=2x+a- .因为f(x)在区间(0,1上是减函数,所以f(x)0对任意x(0,1恒成立,即2x+a- 0对任意x(0,1恒成立,所以a -2x对任意x(0,1恒成立.,令g(x)= -2x,所以ag(x)min,易知g(x)在(0,1上单调递减,所以g(x)min=g(1)=-1,所以a-1.,【延伸探究】在本例(1)中f(x)=ax3+x在区间-1,1上能否单调递减?,【解析】假设能单调递减,f(x
12、)=3ax2+1,因为f(x)在区间-1,1上单调递减,所以f(x)=3ax2+10在-1, 1上恒成立.当x=0时,显然不成立,当x0时,a- .因为- 在x-1,0)(0,1上不存在最小值,所以满足条件的a值不存在.所以f(x)=ax3+x在区间-1,1上不能单调递减.,【方法总结】已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f(x)0(或f(x)0),x(a,b)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围.,【巩固训练】已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在0,1上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0,求a的取值范围.,【解析】由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,则f(x)=ax2-(a+1)x+1ex,f(x)=ax2+(a-1)x-aex.依题意需对于任意x(0,1),有f(x)0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而f(0)=-a0,所以需f(1)=(a-1)e0,即00,不符合条件.故a的取值范围为0,1.,【课堂小结】1.知识总结,2.方法总结(1)单调性的判断或证明方法:求导判断导数正负结论.(2)求单调区间的方法:求导解导数不等式单调区间.,
