1、第二章 正投影法基础,2.1投影的形成及常用的投影方法,2.2点的投影,2.3直线的投影,2.4平面的投影,基本体与几何要素,棱线,顶点,棱面,底面,母线,轴线,21 投影的形成及常用的投影方法,投影方法,中心投影法,平行投影法,斜投影法,正投影法,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,中心投影法,物体,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。,P,P,投射线,投影,投影中心,投影大小随物体位置改变,平行投影法,正投影,斜投影,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好,工程图样多数采用正投影法绘制。,P,P,教学楼（透视图）,机械零件箱体（轴测）,齿轮（轴测）,机械零
2、件图轴（工程图）,阀体（轴测）,b,A,一、点在一个投影面上的投影,a,22 点的投影,二、点的三面投影,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,o,X,Z,Y,三面体投影体系,投影面及展开图,空间点A在三投影面体系上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,空间点在三投影面上的展开, aaOX轴, aax= aaz=y=A到V面的距离,aax= aay=z=A到H面的距离,aaOZ轴,aay= aaz=x=A到W面的距离,点的投影规律,例1：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,解法二:,用圆规直接量取
3、aaz=aax,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：,B点在A点之前、之右、之下。,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,A、B为V面的重影点,重影点,被挡住的投影加( ),例2：已知各点的两个投影，求其第三投影。,(2),b,a,b,c,(1),a(c),两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。, 直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线平行于投影面 投影反映线段实长ab=AB,直线垂直于投影面 投影重合为一点 ab=0 积聚性,2.4 直线的投影, 空间直线在三投影
4、面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,一般位置直线,统称特殊位置直线,投影面平行线, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角: 与V面的角:与W面的夹角: ,实长,实长,实长,投影面平行线,投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线, 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。,投影特性:, 另外两个投影，反映线段实长；且垂直于相应的投影轴。,投影面垂直线,一般位置直线,投影特性：,三个投影都缩短了。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹 角，且与三根投影轴都倾斜。,例
5、3：判断下列直线的位置,例4：已知立体上直线 AB、CD 的空间位置，在投影图中标注其投影位置，并填空。,铅垂,一般位置,例5： 已知直线AB、AC的两投影，求两直线的第三投影,并指出其空间位置和反映实长的投影。,二、直线上的点,判别方法：,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,例6：判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上,点C不在直线AB上,例7：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上，故点K不在AB上。,还可应用定比定理来解答此题,a,b,k,a,b,k,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置可分为：,两直线平行,两直线相交,两直线交叉（异面）, 两
6、直线平行,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,投影特性：,a,b,c,d,c,a,b,d,例8：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于投影面平行线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,例9：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影后可知 AB与CD不平行,要用两个投影判断空间两直线是否平行时，其中应包括反映实长的投影。,a,b,c,d,b,a,c,d,k,k, 两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必须符合点的
7、投影规律。,交点K是两直线的共有点,1(2 ),3(4 ),投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,两直线相交吗？为什么？,H,V,思考：,3. 两直线交叉（异面）,二、平面的投影特性, 平面对一个投影面的投影特性, 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,投影面垂直面,a,b,c,a,c,b,c,b,a,积聚性,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两 投影面夹角的大小。
8、,另外两个投影面上的投影具相似性。,铅垂面,相似性,实形性,投影面平行面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个面上的投影分别积聚成与相应投影轴平行的直线。,积聚性,一般位置平面,三个投影都相似。,投影特性：,三、平面上的直线和点, 平面上取任意直线,判断直线在平面内的依据,定理一:,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内.,定理二:,若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内.,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例10：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一：,解法二：,根据定 理一,根据定 理二,例11：在平面A
9、BC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,试想直线mn是否唯一呢?,是唯一的！, 平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,k,b,例12：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,例13:已知立体上平面P、Q、R的空间位置，在投影图中标注其投影位置,并填空。,水平,铅垂,侧垂,（,1,）,（,2,）,是,面,是,面,例14:已知平面的两个投影,求作其第三投影,并填空。
10、,铅垂,侧垂,2.5 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行, 直线与平面平行,a,c,b,m,a,b,c,m,例15：过M点作直线MN平行于平面ABC。,Abc为平面内的任一直线,试想:可作多少条这样的直线MN?,无数条!,正平线,例16：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,试想:可作多少条这样的直线MN?,唯一的一条!, 两平面平行, 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。, 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,二、相
11、交问题, 直线与平面相交,其交点是直线与平面的公共点。,要讨论的问题：, 求直线与平面的交点;, 判别可见性,即判别两者之间的相互遮挡关系。,P,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m, 平面为特殊位置,例17：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚
12、成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,X,H,V,Z,a,b,c,A,a,B,b,c,a“,c“,b“,C,Y,（3）直线和平面都在一般位置,直线和平面的交点的投影必为平面和直线的投影的共有点,且满足投影规律., 两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：, 求两平面的交线,方法：,确定两平面的两个共有点。,确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,判别两平面之间的相互遮挡关
13、系，即判别可见性。,还可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，其正面投影都积聚成直线。交线为正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。, 求交线, 判别可见性,作 图,例18：求两平面的交线并求MN并判别可见性。,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m 、 b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。, 求交线, 判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作 图,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不在DEF这个图形内。 故ABC和DEF的交线应为MK。,互交,
