1、第2课时双曲线方程及性质的应用,类型一直线与双曲线的位置关系【典例1】(2017孝感高二检测)已知双曲线x2-y2=4,讨论直线l:y=k(x-1)与这条双曲线的交点的个数.【解题指南】联立直线与双曲线的方程,讨论该方程组的解的情况,确定直线与双曲线的交点个数.,【解析】由方程组: 消去y,可得:(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)(1)当1-k2=0,即k=1时,方程(*)为:2x=5.此时直线与双曲线仅有一个交点.,(2)当1-k20,即k1时,=(2k2)2+4(1-k2)(k2+4)=4(4-3k2).若 即 且k1时,直线与双曲线有两个交点.,若 即 时,直线与双曲线只有
2、一个交点.若 即 时,直线与双曲线没有交点.,由以上讨论可知,当 且k1时,直线与双曲线有两个交点;当k=1或 时,直线与双曲线只有一个交点;当 时,直线与双曲线没有交点.,【延伸探究】本例中若直线与双曲线的交点分别在两支上,求k的取值范围.,【解析】联立方程组消去y所得的方程为(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0,由题意,若方程的两根为x1,x2,则 解得,【延伸探究】本例中若直线与双曲线的右支有两个交点,求k的取值范围.,【解析】联立方程组消去y所得的方程为(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0,由题意,若方程的两根为x1,x2,则,解得,【方法总结】直线与双曲线的位置关系及其判定方
3、法(1)直线与双曲线的位置关系有三种:直线与双曲线相交(包括有两个不同的公共点和当直线与双曲线的渐近线平行时有一个公共点两种情况);直线与双曲线相切(直线与双曲线有两个重合的公共点);直线与双曲线相离(没有公共点).,(2)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点,因此对直线与双曲线的位置关系的讨论,常常转化为对由它们的方程构成的方程组解的情况的讨论.,(3)直线与椭圆的位置关系是由它们公共点的个数决定的,而直线与双曲线的位置关系不能由其公共点的个数决定.提醒:特别注意直线与双曲线的位置关系中:一解不一定相切,相交不一定两解,两解不一定同支.,【巩固训练
4、】y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同交点,则k的取值范围为_.【解析】联立方程消去y得(1-k2)x2-4kx-10=0有两正根x1,x2,则,解得- k-1.答案: (- , -1 ),【补偿训练】1.已知双曲线 ,过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点,则这样的直线l有_条.【解析】(1)当直线l的斜率不存在时, l:x=1与双曲线相切,符合题意.,(2)当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,当4-k2=0,即k=2时, l与双曲线的渐近线平行, l与双曲线只有一个公共点;,
5、当4-k20时,令=0,所以k= .综上所述,当k= 或k=2或斜率不存在时满足题意,所以这样的直线一共有4条.答案:4,2.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4.(1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点,求k的取值范围.(2)若直线与双曲线没有公共点,求k的取值范围.,【解析】(1)联立方程组 消去y得方程(1-k2)x2+2kx-5=0,由题意得,此方程有两个不等的正根.所以 即 解得1k 或k 或k0,b0),由题意知c=3,a2+b2=9,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 两式作差得,又AB的斜率是所以4b2=5a2,代入a2+b2=9得a2=4,b2=5,所以双曲
6、线的标准方程是,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得 , 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0.因为M为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-(y1-y2)=0,kl= =4,所以l的方程为y-2=4(x-2),即y=4x-6.,将y=4x-6代入 中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,x1x2= ,所以,【方法总结】直线和双曲线相交所得弦长的两种求法(1)利用距离公式:求出直线和双曲线的两个交点坐标,利用两点间距离公式求弦长.,(2)利用弦长公式:设斜率为k(k0)的直线l与双曲线相交于A
7、(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=,【巩固训练】(2017济南高二检测)已知双曲线C: (a0,b0)的离心率为 ,且 (1)求双曲线C的方程.(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.,【解析】(1)由题意得 解得 所以b2=c2-a2=2.所以双曲线C的方程为 .,(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),由 得x2-2mx-m2-2=0(判别式0).所以x0= =m,y0=x0+m=2m.因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5.
8、故m=1.,类型三与双曲线有关的综合问题【典例3】已知双曲线中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为 ,且过点(4, ).(1)求双曲线的方程.(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证: =0.,【解题指南】(1)由e= 得双曲线的方程为x2-y2=,把点代入求出参数的值,从而得到双曲线方程.(2)先求出 的解析式,把M代入双曲线,可得 =0.,【解析】(1)因为e= ,所以设双曲线方程为x2-y2=(0).因为过点(4, ),所以16-10=,=6.所以双曲线的方程为x2-y2=6.,(2)不妨设F1为左焦点,则 =(-2 -3,-m), =(2 -3,-m),所以 =(-2 -3)(2
9、 -3)+m2=-3+m2.又因为M在双曲线上,所以9-m2=6,即m2-3=0,所以 =0.,【方法总结】设而不求技巧的应用(1)直线与圆锥曲线相交后,设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2).(2)利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到关于x的一元二次方程.,(3)结合根与系数的关系可求x1+x2,x1x2,从而弦长问题、参数取值范围问题等都可以转化为x1+x2,x1x2应满足的条件解决.,【巩固训练】(2017吉林高二检测)已知动点P与双曲线 的两个焦点F1,F2的距离之和为定值,且cosF1PF2的最小值为- .(1)求动点P的轨迹方程.(2)若已知点D(0,3),点M,N在动点P
10、的轨迹上,且 ,求实数的取值范围.,【解析】(1)c2=5,设|PF1|+|PF2|=2a(a ),由余弦定理得cosF1PF2= 当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号,令 -1=- ,得a2=9,所以b2=4,因此点P的轨迹方程为 .,(2)设N(s,t),M(x,y),由 ,得(x,y-3)=(s,t-3),故x=s,y=3+(t-3).又M,N在动点P的轨迹上,所以 且 ,消s得t= ,又|t|2,可求得 5.,【课堂小结】1.知识总结,2.方法总结双曲线中应注意的几个问题(1)双曲线是两支曲线,而椭圆是一条封闭的曲线.(2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的.,(3)双曲线只有两个顶点,离心率e1.(4)注意双曲线中a,b,c,e的等量关系与椭圆中a,b,c,e的不同.,
