1、高中物理解题方法之极值法高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。一、二次函数求极值二次函数 ，当 时，y 有极值acbxacbaxy4)2(22 abx2，若 a0，为极小值，若 a2）【解法 2】用动能定理解：在物块 M 下落过程中，设 M 落地时的速度大小为 ，根据动能定理 ，将 代入，解得200 )(13sin23sinvmLmggLk.在物块 M 落地后，小物块 m 上滑到顶端的过程中，vkk)1(21设 m 射出管口时速度大小为 ，根据动能定理： ，解得 。220013sin2mvLg（3）平抛运动 ， 。解得因为 ，所以 ，得
2、证。【注意】第（2）问中要分 M 落地前和落地后两段计算，因为两段的加速度不相等。 在用动能定理时，也要分两个阶段，有的同学企图毕其功于一役，写出动能定理 ，解得 是错误的，错201sinsigmvLgLk)1(0误的原因在于认为 M 落地后速度为 0，这个速度为 0，是 M 与地面碰撞以后的结果，并不是 M 下落和 m 上滑的结果。【点评】本题考查牛顿第二定律，匀加速运动的公式及平抛运动规律。难度：中等偏难。例 4.水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为 =37斜滑道 AB 和水平滑道BC 平滑连接（设经过 B 点前后速度大小不变） ，起点 A 距水面的高度H=7.0m，BC 长 d=2.0
3、m，端点 C 距水面的高度 h=1.0m一质量 m=50kg 的运动员从滑道起点 A 无初速地自由滑下，运动员与 AB、BC 间的动摩擦因数均为=0.1 （取重力加速度 g=10m/s2，sin37=0.6，cos37=0.8，运动员在运动过程中可视为质点）（1）求运动员沿 AB 下滑时加速度的大小 a；（2）求运动员从 A 滑到 C 的过程中克服摩擦力所做的功 W 和到达 C 点时速度的大小 ；v（3）保持水平滑道端点在同一竖直线上，调节水平滑道高度 h 和长度 d 到图中BC位置时，运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大，求此时滑道 BC距水面的高度 h【解析】运动员沿 AB 下滑时，受力情
4、况如图所示Ff=F N=mgcos根据牛顿第二定律：mgsin -mgcos=ma 得运动员沿 AB 下滑时加速度的大小为：a=gsin-gcos=5.2 m/s 2 （ 2） 运动员从 A 滑到 C 的过程中，克服摩擦力做功为：Wf=mgcos +mgd=mg d+（H-h）cotsinhH= 10=500J105.由动能定理得：mg（H-h）-W f= mv2 1解得运动员滑到 C 点时速度的大小 v=10m/s （3）在从 C点滑出至落到水面的过程中，运动员做平抛运动的时间为t，h= gt2，t=1gh下滑过程中克服摩擦做功保持不变 Wf=500J根据动能定理得：mg（H-h）-W f=
5、 mv2，解得 v=1)1(2hHg运动员在水平方向的位移：x=vt =hHg)-(-4【解法 1】配方法：令 )1()2()h-1( 2y当 h= 3m 时，水平位移最大为 。21Hmx6【解法 2】求导法：令 ，求导 ,hHy)1()h-1(212)(Hhy当 h= 3m 时，水平位移最大为 。 。x答：（1）运动员沿 AB 下滑时加速度的大小 a 为 5.2m/s2；（2）运动员从 A 滑到 C 的过程中克服摩擦力所做的功 W 为 500J，到达 C点时速度的大小为 10m/s；（3）滑道 BC距水面的高度 h为 3m【注意】为什么说下滑过程中克服摩擦做功保持不变呢？因为克服摩擦做功 W
6、f=mgcos mgd=mgLcos +d,其大小只与水平方向的总长度L有关，而与水平滑道高度 h 无关。归纳总结：平抛运动中的极值问题，一般解法如下：首先根据平抛运动分解的原理列出平抛运动的方程： ， ，tvx021gty然后根据其它条件结合以上两个公式，把物理问题转化为求极值的数学问题。之后，用数学方法求极值。方法 1：配方法。对形如 的二次函数，配方为cbxay2，则当 时， 有最小值 。cabxy4)2(2 yabcy42min方法 2:求导法。对形如 的二次函数，求其导数cbxay2，令其等于 0，得当 时，代入得 的最小值bxy)( y。ac42min最后探究极值的物理意义，把数学
7、问题回归到物理问题。六、小船渡河问题位移最小问题。设河宽为 d，小船在静水中的速度为 V 船 ，水流速度为 V 水 ，小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？分两种情况研究：（1）当 时水船 v【解析】求位移最小问题。在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如图 2。当小船沿平行河岸方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即 V1=V 水 ，小船的合速度（V 2）就沿垂直河岸方向， 这时渡河到达对岸的位移最小，S min=d。而渡河时间 t= = 。2vdsin图 2河宽 60m,小船在静水中的速度为 5m/s,水流速度为 3m/s。求小船渡河的最小位移是
8、多少，小船实际渡河的时间为多大？【解析】如图 2，当小船沿平行河岸方向的分速度 V1=V 水 ，小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，S min=d=60(m)。而 V 船 与河岸的夹角 =arccos(V 水 /V 船 )=530。这时小船实际渡河的时间 t=d/V2=d/（V 船 sin）=60/4=15(s).（2）当 时，设河宽 60m,小船在静水中的速度 3m/s,水流速度 5m/s。求小船水船 v渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？【解析】因为不论船的航向如何，船速在平行河岸方向上的分速度不能把水速平衡掉，所以船总是被水冲向下游，那么怎样才能使漂下的距离最
9、短呢？ 如图 3 所示，设船头 v 船 与河岸成 角。合速度 v 与河岸成 角。可以看出： 角越大，船漂下的距离 x 越短，那么，在什么条件下 角最大呢？以船的出发点 A 为起点沿河岸做 v 水 的速度矢量，以 v 水 的矢端 O 为圆心，v 船 为半径画圆，当 v 合 与圆相切（切点为 C）时， 角最大，设船头方向（与 OC 平行）与河岸的夹角为 ，则 。 水船cos图 3 设船沿河漂下的最短距离为 ，渡河的最短位移为 ，根据相似三角形对应边成比例，xs有 。 水船水船 v-2svd所以， 船沿河漂下的最短距离为 ，代入数据得 ，船 船水vdx2- mx80346此时渡河的最短位移： ，代入数据得 。船 水vss10356（1） 求极值法根据 = ，令 ，)sin3/()co5(60x sin)co35(20ysinco35y求导数， ，令其分母为 0，得222 iicsin3 y。即 时， 取最小值。当然 （ ）也取最小值。5cos水船vcosxs2xd
