1、高一（上）期末考试考点及重难点讲义（必修 1、4）第一讲 必修一一、集合的概念及运算：考点一 集合的三大特性与集合相等的综合应用例 1：若 a，bR ，集合1 ， ab，a0 ， ，b，求 ba 的值ba解题思路：首先要明白集合相等的概念，其次根据集合的无序性对两个集合的元素进行分类讨论，列出方程组加以求解，最后需注意：充分利用集合中各元素的特点，比如本题中的 0 是一个特殊的元素，是解题的关键；在集合含参问题的讨论中，如遇列举法表示集合时，所得结果需加以检验，看是否满足集合的互异性。解：由1 ， a b， a0， ， b可知 a0，则只能 a b0 ，则有以下对应关系：baError! 或E
2、rror!由得Error!符合题意；无解 b a2.变式迁移 1 设集合 Aa，a+b，a+2b， B a， ac，ac 2，若 A B，求 c 的值.【答案】 .2c考点二 集合间的基本关系例 2：设集合 Mx|x5 4aa 2，aR，Ny|y 4b 24b2，bR ，则下列关系中正确的是( )AMN BM NCM N D MN解题思路：首先要明确区分集合表示方法之间的关系，其次判断两个及两个以上集合之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数、点还是其他，明确元素的属性，最后将所给集合化简整理，弄清每个集合中元素个数或范围，在判断他们之间的关系。解：集合 M x|x5 4 a a2， aR x
3、|x( a2) 21 ， aR x|x1= ， N y|y4 b24 b2 ， bR y|y(2 b1) 21， bR y|y11,= ， M N，故 A.变式迁移 2 满足 1 A1,2,3的集合 A 的个数是( )A2 B3 C4 D8【答案】B考点三 集合的基本运算及性质例 3：设全集是实数集 R， A x|2x27 x30 ， B x|x2a312当( RA) B B 时， B RA，即 A B.当 B，即 a0 时，满足B RA；当 B，即 a4，Nx| ，则右图中阴影部分13x所表示的集合是( )Ax|2x2 m1，即 m”或“”两种情况变式迁移 4 已知 A x| a41 B k
4、1C k1 时满足题意，故 A变式迁移 5 设集合 M x|0 x2 ， N y|0 y2，给出下列 4 个图形，其中能表示集合 M 到 N 的函数关系的有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】B考点六 求函数的定义域例 6：(1) 求函数 y 的定义域.x 1 0lg2x(2) 已知函数 f(x)的定义域为（0,1） ，求 f(x)的定义域；已知函数 f(2x+1)的定义域为（0,1） ，求 f(x)的定义域；已知函数 f(x+1)的定义域为 -2,3，求 f(2x-2)的定义域.解题思路：函数的定义域，即使得函数有意义的自变量取值范围。1、求具体函数定义域要牢记四句话：偶次根
5、式下非负；分式中的分母不为零；对数中的真数要大于零；0的 0 次方无意义。若同时出现上述几种情况，则先分别找出各自的定义域，然后求交集。2、求抽象函数定义域需牢记两句话：定义域永远指的是自变量(x) 的取值范围；括号里面的取值范围是一样的。解：（1）要使函数有意义，应有Error! 即Error! 解得Error!故函数的定义域是 x|1 xf(2x)的 x 的范围是_三、函数的基本性质：考点十 函数单调性的判定及证明例 10： 设函数 f(x) (ab0)，求 f(x)的单调区间，并说明 f(x)在其单调区间上的单调x ax b性解题思路：对于具体函数单调性的判断及证明，可结合函数的定义进行
6、证明，其基本步骤为：取值作差（商）变形定号判断。其中有几点需要说明：证明函数单调性首先要求出函数的定义域；在取值的时候，一定要结合定义域取值，对于本题函数的定义域为 ，在证明函数单调性时，需分成两部分完成，须知函数单调性要,xb用区间去描述，且在这个区间上函数是连续的；变形对部分学生来说是一个难点，但仔细观察分析后，不外乎化简、通分、合并同类项、提取公因式、因式分解等初中早已接触过的内容；在描述函数单调性时，区间与区间之间要用“， ”或用“和”连接，一定不要用“ ”.解：由题可知， ，,xb则 x2 x10，121,任 取 且f(x2) f(x1) =x2 ax2 b x1 ax1 b x2
7、a x1 b x2 b x1 a x1 b x2 b . b a x2 x1 x1 b x2 b ab0， b a0 时， f(x)0 时， f(x)0， f(x1 x2)1 时，x1x2f(x)9 或 x2 时，由图可知， f(x)min f(2)3 4 a， f(x)max f(0)1.综上，(1)当 a2 时， f(x)min34 a， f(x)max1.变式迁移 12 已知 f(x) x2 ax3 a，若 x 2,2时， f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围【答案】 a 的取值范围为7 a2.考点十三 函数奇偶性的判定例 13: 判断函数 f(x)Error! 的奇偶性，并加以证明.
8、解题思路：判断函数奇偶性的方法：定义法：先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与 f( x)的关系；图象法： f(x)的图象关于原点对称，则 f(x)为奇函数； f(x)的图象关于y 轴对称，则 f(x)为偶函数。 此处列举的是学生感觉比较难的分段函数奇偶性判断一例。解：函数的定义域为(， 0)(0，) 设 x0，则 f( x)( x)2 x( x2 x) f(x)；设 x0 时， x0)的结果是 ( )3421)(bA. B ab C. D a2bba ab解题思路：1.指数幂的化简原则：化负数指数为正指数；化根式为分数指数幂；化小数为分数。【答案】 C.此题比较基础，结合书上的分数指数
9、幂及指数运算公式进行化简即可，过程略.考点十六 指数函数的性质及应用例 16：如果函数 y a2x2 ax 1(a0 且 a1)在区间1,1上的最大值是 14，求 a 的值解题思路：指数函数 y ax(a0 且 a1) 的图象与性质与 a 的取值有关，要特别注意区分a1 与 01 时， t a1 ， a， ymax a22 a1 14，解得 a3 ，满足 a1；(2)当 00 且 a1)是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是_【答案】 ，1)13五、对数与对数函数：考点十七 对数运算与换底公式的应用例 18：（1） 计算：(1)log 2 log 212 log2421；(2)(lg 2)2
10、lg 2lg 50 lg 25；748 12(3) 设 2a5 b m，且 2，则 m 的值为 ( )1a 1bA. B10 C20 D10010【答案】 （1） ；（2）2；（3）A. 该题型属于基础题，结合对数定义、运算法则、换底32公式可求解.考点十八 对数函数的图像及性质综合应用例 18: 定义在 R 上的偶函数 f(x)在0，) 上递增， f( )0 ，则满足 0 的 x 的13 )(log81f取值范围是 ( )A(0，) B(0， )(2，) C(0， )( ，2) D(0， )12 18 12 12解题思路：本题涉及函数恒成立问题，即对于 x ，2时，| f(x)|max 恒小
11、于等于 1.恒成立13问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题.但本题还需要注意：由于本题底数 a 为参数，需对 a 分类讨论；通过本题求解，需记住的图像，掌握并可以熟练应用。()logafx解: f(x)log ax，则 y| f(x)|的图象如右图由图示，可使 x ，2时恒有| f(x)|1 ，13只需| f( )|1 ，即1log a 1 ，即 logaa1 log a log aa，13 13 13亦当 a1 时，得 a1 a，即 a3；当 0013 )(log81xf的 x 的取值范围是 ( )A(0，) B(0， )(2，) C(0， )( ，2
12、) D(0， )12 18 12 12【答案】 B六、幂函数：考点十九 幂函数的概念例 19： 已知幂函数 f(x)的图象过点( ，2)，幂函数 g(x)的图象过点(2 ， )，求 f(x)， g(x)的214解析式.【答案】 f(x) x2， g(x) x2 .此题根据幂函数的定义，用待定系数法即可求解，属基础题.变式迁移 19 若幂函数 y 的图象不经过原点，则实数 m 的值22(3)mmx为_【答案】 1 或 2考点二十 幂函数性质与图像的综合应用例 20： 下图是函数 y (m， nN *， m、 n 互质) 的图象，则 ( )xA m， n 是奇数，且 1mn mnC m 是偶数，n
13、 是奇数，且 1mn mn解题思路：首先要记得书上 77 页右下角的图，从而记住幂函数的相关性质：1 时，幂函数在（0 ，+）上单调递增，且图像呈下凸趋势。解：由幂函数的单调性及图像的趋势可排除 B、D，又因为函数图像关于 y 轴对称，所以为偶函数，故 C.变式迁移 20 已知函数 f(x) (mN *)的图象关于 y 轴对称，且在(0 ，) 上是减32函数，求满足 cb Babc Ccab Dbca解题思路：利用基本初等函数的性质比较大小是一个常见的考点，遇到指数相同的可根据幂函数的性质比较大小，若幂的底相同则可根据指数函数的性质比较大小，若幂的底与指数都不相同，则可以找中间变量进行递进比较
14、，常用的中间变量比如-1、0、1.解： y 在 x(0 ，)递增， ，即 ac， y( )x 在 x(，)52 52)(325递减， ，即 cb， acb. 故 A.53)(变式迁移 21 设 a，b，c 均为正数，且 2a ，( )b ，( )clog 2c，则( )21log12 21log12Aa0 且 f(x)在1，1仅有一个零点时，则 f(1) f(1)( a1)( a5)0 且 f(x)在1，1上有两个零点时，则Error!，或 Error!，解得 a5 或 a1 或 a . 3 72变式迁移 22 若函数 f(x)4 x a2x a1 在 R 上存在零点，求实数 a 的取值范围【
15、答案】 a22 .(提示：该题中的 f(x)是复合函数，所以先令内层函数为 t，从而转化成2我们熟悉的二次函数，再结合根的分布去求解，具体过程可以仔细参考题例 22.)第二讲 必修四一、任意角的三角函数及公式：考点一 角的概念例 1：(1)写出终边落在直线 y x 上的角的集合；3(2)若 168k 360 (kZ) ，求在0，360)内终边与 角的终边相同的角3解题思路：表示一条线上的角的集合或某个区间范围的角的集合，可以根据终边相同角的公式 S| 2k ，k Z，先写出0，360) 范围内的最小正角，再在原有的基础上加上周期的整数倍即可；利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为
16、先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数 k赋值来求得所需角解：(1) ;(2) 56，176，296.该题比较基础，故此处过程不再详述.| 3 k，kZ考点二 扇形的弧长及面积公式的应用例 2: 已知扇形的周长为 10，面积为 4，求扇形中心角的弧度数.解题思路：首先根据扇形的弧长公式将 用 R 表示出来，其次根据扇形的面积公式将 S 用 表示出来，根据条件求得 .最后需要注意：扇形的周长即扇形的轮廓=扇形的弧长+2R；在有些求解最值的题目中，一定要集合角和半径的实际意义写出其取值范围.解：依题意，得Error!2 217 80. 8 或 . 1282，舍去， .12变式迁
17、移 2 已知一个扇形的圆心角是 ，00，则 r5a， 角在第二象限，sin ，cos ，tan ；35 45 34若 a0，联立 得Error!，2 22sinco15x则 tan x ， 即 .34 tan x2sin x cos x 34 65 45 158变式迁移 4 已知 sin(3 )2sin ，求下列各式的值：(32 )(1) ；(2)sin 2sin 2.sin 4cos 5sin 2cos 【答案】(1) ； (2) .16 85考点五 六组诱导公式的综合应用例 5 : 已知 sin ，(0，)求 的值( 2) 55 sin(2) cos(32 )sin cos3 解题思路：本
18、题主要考查六组要到公式的应用，学生在熟练掌握公式的前提下，先将条件变形，等到 sin 的值，再将所求的式子化简带入求值即可 .该种题型比较基础，有些学生前期确实共识记不清的，可以根据“奇变偶不变，符号看象限”来写. 三角诱导公式记忆规律：六组诱导公式中的角都可以化成 的形式：奇变偶不变 (对 k而言，指 k取奇数(k2 )或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把 看成是锐角 )【答案】 .13变式迁移 5 设 f() (12sin 0) ，则2sin cos cos 1 sin2 cos(32 ) sin2(2 )f _.( 236)【答案】 .二、三角函数的图像及性质考点六 求三角函数的定义
19、域例 6：求函数 y 的定义域12logxtanx解析思路：结合前面的内容可以比较快的列出不等式（组） ，但在涉及三角函数求定义域时，需要借助三角函数的图像与周期，也可以利用单位圆，先求出一个周期内的交集再加周期的整数倍即可此处需要特别提醒，对于正切函数本身，其自变量是有定义范围的.解：要使函数有意义，则Error! ，得Error!所以函数的定义域为 .x|00，0，| |0)的最小正周期为 .将 yf(x) 的图象向左平移(x 4)|个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则 的一个值是( )A. B. C. D.2 38 4 8解题思路：首先根据周期求出 ，再结合三角函数的平移变换写出新的
20、解析式，最后根据函数图像的特点知是偶函数，即有三角函数正弦、余弦函数的特点 可以求解.(0)fA解：,2,()()sin2()sin2,44()()Rg01,sin1,2(),44TfxgxxgxykZ设 平 移 后 的 函 数 为又 图 像 关 于 轴 对 称 ， 为 上 的 偶 函 数 ， 即 有再结合答案选 D.变式迁移 11 若函数 yA sin(x )m (A0，0)的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为 ，直线 x 是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )2 3Ay4sin By 2sin 2 Cy2sin 2 Dy2sin 2(4x 6) (2x 3) (4x 3) (4x
21、 6)【答案】D四、 两角和与差的公式及应用考点十二 给角求值问题（三角函数式的化简、求值）例 12：求值 (1)2sin 50sin 10(1 tan 10) .3 2sin280解题思路：在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用解：(1)原式 sin 802sin 50 sin 10(1 3sin 10cos
22、10) 2 sin 80(2sin 50 sin 10cos 10 3sin 10cos 10 ) 2 cos 10(2sin 50 2sin 1012cos 10 32sin 10cos 10 ) 2 cos 10 cos 10(2sin 50 2sin 10sin 40cos 10 ) 2 2sin 60cos 10 22 sin 602 .2 232 6变式迁移 12 求值： 2cos 10 sin 20sin 70【答案】 .（提示：化一般角为特殊角是解该类题型的关键.）3考点十三 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例 13 :已知 01 且 X2 15. 4 16. 0317.（ 1） ； （2 ） .318. (1) ；（2）当 时， 反向共线 .581k19. （1）A= ,= ,y= sin( x+ ) ；（2）函数的单增区间是214（ ）34,2kkZ20. （1） 为 上的奇函数 ； (2) 在 上单调递增；()fx1, ()fx1,(3 ) g(x)的值域为(-，0 .21. （1） ；（2） m-5 .()xf22. (1) -10； （2） .sin1,()212minf当 ， 即 时
