1、构造函数与方程思想解决问题函数与方程是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直为高考热点、重点内容，函数思想使常量数学进入变量数学，使得静态问题动态化，高中数学中的初等函数、数列、不等式、解析几何等问题都可以转化为函数与方程思想解决。一、 函数与方程思想剖析1、函数的思想：就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系来建立函数关系，利用函数的概念、图象、性质对其研究，使问题得以解决，这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路。函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇
2、偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特征。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。2、方程思想：由于新课标增加了函数的零点，函数零点就是方程的根，所以与函数有必然联系的是方程，方程思想是研究问题中的等量关系，动中求静，通过建立等量关系，用方程的观点和方法解决问题。二者是紧密联系、相辅相成的关系，在一定条件下，它们可以互相转化。运用方程解决问题主要有两个方面：一是从分析问题的结构入手，找主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变量的方程，然后具体研
3、究这个方程；二是将函数、三角、不等式、解析几何等问题转化为方程问题解决，从而达到优化解题过程的目的。3、函数与方程是两个有着密切联系的概念，它们之间相互渗透，很多方程问题需要用函数的知识和方法来解决，很多函数的问题也需要用方程的方法来支援，函数与方程之间的辨证关系，形成了函数方程思想。二、 函数方程思想的具体应用1、构造函数利用图象求解例 1、设 a、b、c 均为正数，且 2 （ ） （ ） 则（ ,log21aa,log21bb,log2cc）A. B. C. D.bccab分析：由于所给的式子是非常规等式，如果利用常见的比较大小的方法难以解决，但是可以根据函数思想，构造出恰当的函数，利用函
4、数的图象求解即可。解析：解决本题可以利用数形结合法求解，如图分别画出函数 、 、 、 的图象，xy)21(xxy2logxy21l图象之间的交点分别是 a、b、c，由图象易知 ，所cba以选择 A。点评：解决本题需要函数的思想，把 a、b、c 对应的值看成相应函数的交点的值，而函数的图象容易画出，由交点的情况容易知道 a、b、c 的大小关系。函数的图象确实是解决函数问题的有力的工具。在其它方法不奏效的情况下，首先想到利用函数的图象解决。2、构造函数利用零点分布例 2、关于 x 的方程 有两个实数解，求实数 a 的取值范围。043)(9xxa解：令 t ，则问题等价于方程 在 上有两个实根。3)
5、(2tt ),0(令 f（t） ，则有 解得 a0，所以在 。(12)，点评：由于函数 yf（x）的零点就是方程 f（x）0 的根，所以在研究方程的有关问题，如：比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等时，都可以将方程问题转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图象加以解决3、构造函数利用性质例 4、已知 ， ，求 的值。015320532分析：两方程常数项不同，因此，不能将 看作一个方程的根而直接用韦达定理求,解。解： ；153202)1()(3而 ，32将 变形，得 ，构造函数0)(2)1( )()(3，则 f（ x）在 R 上单调增， ，3xf )1(ff所以 ，所以 2.
6、点评：解决本题通过构造适当的函数，利用单调性找等量关系，有时利用奇偶性找等量关系。4、构造函数模型解决实际问题例 5、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）成正比；药物释放完毕后，yt与 的函数关系式为 （ 为常数） ，如图所示据图中提供的信息，回答下yt 16ta列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）之间的函数yt关系式为 ；（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，0.25学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室解析：（I）
7、由图象易知函数应该是分段函数，当 1.t时，设解析式为 ykx，由于图象经过（0.1，1）代入函数的解析式得：y10x；当 时，函数为类指数型，且图象也经过（0.1，1）代t.0入 中，得 a0.16ta所以函数的关系式为： 1.0)6(txy1.0t（II）由题意得：当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时应该满足第二个函数25的解析式，即 ，解得 ，所以至少需要经过 0.6 小时学生才能够进入25.)16(.0t .t教室。点评：新课标加大了对应用问题的考查，通过近几年考题观察，函数的应用问题也正悄然变化，即情景文字与图形的结合考查，本题涉及一次函数、指数函数等知识，理解题意、看懂图表、
8、图象是求解本题的关键。图象信息题是由图象给出数据信息，探求多个变量之间的关系，再综合应用有关函数知识加以分析，以达到解决实际问题的题型。采用分段函数进行函数建模，解决关键是对自变量 x 的取值进行合理分段。不同分段上的函数式选择不同的函数模型进行合理表达，渗透了分类讨论数学思想方法。5、变函数为方程，求解值域例 6、已知函数 的值域为1，4 ，求常数 a，b.)0,(12aRxbay且解：因为函数 的值域为1，4 ，所以对于任意且必有 使 成立，所以关于 x 的方程 有实根，4,1x2xy bxy)1(2即方程 ，若 y0，则 ；)(2baxy Rab若 ，则 ，即 ，而0420422y.4y
9、O0.11（毫克）y（小时）t所以方程 的两根为1，4，由根与系数关系，得 b3， ，0422aby 162a故 .3,a点评：本例在于构造出关于 x 的一元二次方程后，借助判别式解决问题，它是方程思想的一个体现。用判别式解题，关键在于构造一个适当的一元二次方程，让需要研究的量处于方程系数位置上。例 7、对于函数 yf（x） （ ，若同时满足下列条件：f （x）在 D 内为单调函)D数；存在区间 使 f（x）在 上的值域为 ，那么 yf （x）叫闭函数，,ba,ba,ba若 yk 是闭函数，求实数 k 的取值范围。2x解：由题意知存在 ，使的 yk 在 上的值域为 ，),2,2x,ba因为 y
10、k 在 上是增函数，所以 ，所以 a、b 是方程2x, bayk 的两个相异的实根，由 xk2kx，即方程xk0)12()(22在 上有两个相异的实根。设 g（x）0)1(22),k，则有 ，解得)(22kxx02)12()()(4)(2kkg。49点评：上面的例题用方程的观点把函数与方程紧密联系起来，应用方程的知识使得问题得以解决。本例题意新颖解决这类问题的关键是：一是熟读题目，搞清告诉的新概念、新运算、新函数；二是把掩盖在新概念下的知识挖掘出来，转化为已有的知识来解决。6、变直线与曲线的相交为方程直线与圆锥曲线位置关系是高考中反复考查的热点内容，主要考查直线与圆锥曲线公共点个数问题，相交时
11、的弦长问题、弦中点或相关点轨迹问题，直线的倾角斜率问题，三角形面积问题，对称问题，存在性问题。在这类题目中常常涉及到方程的思想。例 8、如图，直线 与椭圆 交于 两点，记ykxb214xyAB，的面积为 AOB S（I）求在 ， 的条件下， 的最大值；01S（II）当 ， 时，求直线 的方程2AB1SAB解（）：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，()xb， 2()xb，由 ，解得 ，所以214xb212， 1| 2221 bS当且仅当 时， 取到最大值 bS（）解：由 ，得 ， ，214ykxb， ， 222104kxkb 241kb41|1| 22212 kxkAB设 到 的距离为 ，则 ，
12、又因为 ，所以 ，代入Od|SAB2|1bdk21k式并整理，得 ，解得 ， ，代入式检验， ，4210k2k230故直线 的方程是AB或 或 ，或26yx62yx62yx26yx点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力由于直线与曲线的交点问题是由它们组成的方程组的解的问题，从而使几何问题代数化，再从方程组的解分析中去认识交点问题，进而解决诸如交点坐标、弦长、中点等有关问题。三、 两种思想的总结构造函数或方程并不是一眼就能看出来的，需要敏锐的洞察力，深层挖掘其内在联系，构造函数与方程可以归纳为：（1）观察题目类型和结构，构造出所求问题的函数或方程模型；（2）利用有关函数或方程的定理、性质等，得出相应的结论；（3）将函数或方程模型中的结论返回原理，得出正确的结论。函数和方程许多方面是可以互相转化，不等式和曲线也都与方程有关，因此构造函数或方程模型有很广泛的应用。用这种方法解题时要注意到恒等变形和不等证明的技巧，多方面联想和思考，才能得出精巧的解法。
