1、1待定系数法在高考递推数列题中的应用弋阳二中 超龙各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题是一类高考重点考查题型，也往往是解决数列难题的瓶颈。高考题中越来越重视对递推数列的考查。对一些常见的递推数列进行归纳和研究是必要的且大有益处的。高考递推数列题型较多，并且大都可以总结出求解数列通项公式的方法。本文给出一种用待定系数法的方法解递推数列，希望能对大家有所帮助。模型 1：a n1 =panq （其中 p、q 均为常数， （pq （p 1）0 ） ）解法 （待定系数法）：把原递推公式转化为：a n1 =p(a n)其中 = ，
2、 再 用 换 元 法 令 bn=an ， 则 有 bn 1=pbn， 从 而 数p1列 bn为 等 比 数 列 ， 于 是 由 an=bn 可求出数列 an 的通项公式。例 1：已知数列a n中，a 1=1，a n1 =2an1。求 an。解：令 an 1=2(a n )即 an1 =2an =1从而 an1 1=2 (an1)，令 bn= an1则 b1=a11=2 且 =21nb故数列b n是以 b1=2 为首项，以 2 为公比的等数列。2则 bn=22n1 =2n an=2n1练习 1、 （06 重庆文）在数列a n中，若 a1=1，a n1 =2an3(n1)，则该数列的通项 an=
3、练习 2、一牧羊人赶着一群羊通过 36 个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩 2 只羊，牧羊人原来有 只羊。模型 2：a n1 = panrq n（其中 p、q、r 均为常数，（pqr (p1)(q1)0） ）解法 一般来说，要先在原递推公式两边同除以 qn1 ，得，再令 bn=qra qnn1 qa从而化为 bn1 = ，此即为模型 1，可用模型 1 待定系rpn数法解之。例 2：已知数列a n中，a 1= ，a n1 = an( )n1 ，求 an。6532解：在 an 1= an( )n1 两边乘以 2 n1 ，得322 n 1an 1
4、= (2nan)1令 bn=2nan，则 bn1 = bn13又令 bn1 = (bn )即 bn1 = bn =322故 bn1 3= (bn3)数列b n3是以 b13=2 1 3= 为首项，以 为 公 比653432的 等 比 数 列 。3从而 bn3= ( )n1 即 bn=32( )n3423a n= =3( )n2( )n2练习 3、已知数列a n满足 a n1 =3a n23 n1 且 a1=3。求a n的通项公式。练习 4、已知数列a n满足 a0=1，a n=3 n1 2a n1 （n N*） ，求 an。模型 3：a n1 =pananb（p 1，0，a 0）解法 用待定系
5、数法构造等比数列，令 a n1 x(n1)y=p(a nxn y)与已知递推式比较，解出 x、y，从而转化为a nxny 是公比为 p 的等比数列。例 3：设数列a n满足，a 1=4，a n=3a n1 2 n 1（n2） ，求 an。解：设 bn=anAnB，则 an=bnAnB ，将 an，a n1 代入递推式，得 bnAnB=3b n1 A(n1)B2n1=3bn1 (3A2)n(3B3A1) 32BABA b n=ann 1(1)则 bn=3bn1 ，又 b1=6 b n=63n1 =23n代入（1）得：a n=23nn1练习 5、已知数列a n满足 a1= ，2a n1 =ann
6、，求 an。24模型 4：a n1 =p （p 0，a n0）rn解法 这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an1 =panq，再利用待定系数法求解。例 4：已知数列a n中，a 1=1，a n1 = an2(a0) ，求数列a n的通项公式。解：由 an 1= an2 两边取对数得 lgan1 =2lganlg a1令 bn=lgan，则 bn1 =2bnlg a再利用待定系数法解得：a n=a( )2n1练习 6、 （05 年江西理）已知数列a n的各项都是正数，且满足a0=1，an 1= an(4a n)，n N，求数列a n的通项公式 an。2由以上各例可知，待定系数法在高考递推数列中有着很重要的应用，它源于课本，但高于课本，我们只有熟悉了这些常见模型，才能快速准确地做出解答。
