1、第二节 点、线、面的位置关系一、选择题1 如图，正方体 1ABCD的棱线长为 1，线段 1BD有两个动点 E，F，且 2，则下列结论中错误的是 （A） （B） /ABCD平 面（C ）三棱锥 的体积为定值（D）异面直线 ,EF所成的角为定值2. 给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和【解析】选 D.3在三棱柱 1ABC中，各棱长
2、相等，侧掕垂直于底面，点 D是侧面 1BC的中心，则 D与平面 所成角的大小是 ( )A 0 B 45 C 60 D 90 答案：C 【解析】取 BC 的中点 E，则 A面 1B， AE，因此 AD与平面 1BC所成角即为 D，设 a，则 32a， ，即有 0tan3,6A4设 ,是两个不同的平面， l是一条直线，以下命题正确的是（ ）A若 ,l，则 B若 /,/l，则 l C若 ,/l，则 l D若 /,l，则 l 5 C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系【解析】对于 A、B 、D 均可能出现 /l，而对于 C
3、 是正确的 6.设 m，n 是平面 内的两条不同直线， 1， 2l是平面 内的两条相交直线，则 / 的一个充分而不必要条件是 A.m / 且 l / B. m / l 且 n / l 2C. m / 且 n / D. m / 且 n / l【答案】：B解析 若 1212/,.,.l，则可得 /.若 /则存在12/nl7. 已知正四棱柱 1ABCD中， 1AB， E为 1A中点，则异面直线 BE与 1CD所成的角的余弦值为A. 10 B. 5 C. 30 D. 35解：令 AB则 12,连 1ABCD 1 异面直线 BE与 1CD所成的角即 1AB与 E所成的角。在 1E中由余弦定理易得 130
4、cosA。故选 C8若正四棱柱 1的底面边长为 1， 与底面 成 60角，则 1到底面 ABCD的距离为 （ ）A 3 B1 C 2 D 3【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第 4 题解答图）属于基础知识、基本运算的考查.依题意， 160BA，如图，1tan603B，故选 D.9已知二面角 l的大小为 05， P为空间中任意一点，则过点 P且与平面 和平面 所成的角都是 02的直线的条数为（ ） A2 B3 C4 D5 答案 B10在正四棱柱 1DA中，顶点 1B到对角线 1和到平面 1ABCD的距离分别为 h和 d，则下列命题中正
5、确的是A若侧棱的长小于底面的边长，则 hd的取值范围为（0，1）B若侧棱的长小于底面的边长，则 的取值范围为 23(,)C若侧棱的长大于底面的边长，则 hd的取值范围为 (,) D若侧棱的长大于底面的边长，则 的取值范围为 23(,)C11.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，ACB=90 0,ACC 1=600,BCC 1=450,侧棱 CC1的长为 1，则该三棱柱的高等于A. 21 B. 2 C. 3 D. 3 A12正方体 ABCD 1BC1D的棱上到异面直线 AB，C 1的距离相等的点的个数为（C）A2 B3 C. 4 D. 5 13平面六面体 - 1A 1中，既与 AB共面也与
6、1共面的棱的条数为【 C 】A3 B. 4 C.5 D. 6 14如图，正四面体 BCD的顶点 ， ， C分别在两两垂直的三条射线 Ox， y， z上，则在下列命题中，错误的为 A 是正三棱锥yxzOABCDB直线 O平面 ACDC直线 与 B所成的角是 45D二面角 为 答案 B15.如图，已知六棱锥 PACDEF的底面是正六边形， ,2PABCPA平 面 ，则下列结论正确的是. B .平面 B平 面 C. 直线 C平面 PAE . PAC直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 45答案 D二、填空题16如图，在长方形 B中， 2， 1B， E为 D的中点， F为线段 EC（端点除外）上一动
7、点现将 F沿 折起，使平面 平面 B在平面 AD内过点 作 KA， 为垂足设 AKt，则 的取值范围是 答案： 1,2 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时， 1t，随着 F点到 C 点时，因 ,BACDKB平面 A，即有 CBD，对于2,1,3D，又 12，因此有 ，则有 2t，因此t的取值范围是 17.对于四面体 ABCD，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号） 。 相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面； 1由顶点 A 作四面体的高，其垂足是 BCD 的三条高线的交点； 2若分别作 ABC 和 ABD 的边 AB 上的高，则这两条高所在直线异面；
8、 3分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点; 4yxzOABCD最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。 5解析18.已知三棱柱 1ABC的侧棱与底面边长都相等， 1A在底面 BC上的射影为 的中点，则异面直线 与 1所成的角的余弦值为（ D ）（A） 34 （B ） 54 （C） 74 (D) 34 解：设 C的中点为 D，连结 1AD，AD，易知 1AB即为异面直线 AB与 1C所 成的角, 由三角余弦定理，易知 113cocs4os D.故选 D 19.已知二面角 -l- 为 60 ，动点 P、Q 分别在面 、 内，P 到 的距离为 ，Q 到 的距离为
9、23，则 P、Q 两点之间距离的最小值为（ C ）(A) (B)2 (C) 23 (D)4 解: 如图分别作 ,AClPB于 于 于 PDl于，连 60QBD则23,， 2又 213APA当且仅当 0，即 点 与 点 重合时取最小值。故答案选 C。 20.如图，已知正三棱柱 1BC的各条棱长都相等， M是侧 棱 1C的中点，则异面直线 1A和 所成的角的大小 是 。答案 9021如图，若正四棱柱 1ABCD的底面连长为 2，高 为4，则异面直线 1BD与 AD 所成角的大小是_（结果 用反三角函数表示）.答案 630arcsincos5arctnre三、解答题22 （本小题满分 14 分） 如
10、图，在直三棱柱 1ABC中， E、 F分别是 1AB、 C的中 点，点 D在 1上， 。 求证：（1）EF 平面 ABC； （2 ）平面 1F平面 1.【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分 14 分。23 （本小题满分 14 分）如图 6，已知正方体 1ABCD的棱长为 2，点 E是正方形 1BC的中心，点F、 G分别是棱 1,的中点设点 1,G分别是点 ， 在平面 D内的正投影（1 ）求以 E为顶点，以四边形 FAE在平面 1CD内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2 ）证明：直线 1G平面 1；（3 ）求异面直线 EA与 所成角的正
11、弦值.解：（1）依题作点 、 在平面 1DC内的正投影 1E、 G，则 1、 分别为 1C、D的中点，连结 1、 G、 、 ，则所求为四棱锥 FD的体积，其底面 1FGDE面积为22，又 1面 1， E， 323111 ESVFGDFGDE.（2 ）以 D为坐标原点， A、 C、 所在直线分别作 x轴， y轴， z轴，得),0(1E、 ),0(1G，又 ),2(， )2,0(， ),(，则 )1,0(1，F， 1E， )(1 ， )1(1FEG，即 FEG1，又 FE1， 1平面 1.（3 ） )0,2(G， ),2(A，则 62,cos11EAGE，设异面直线 1E与 所成角为 ，则 3si
12、n.24.（本小题满分 12 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE= 2AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD 平面 CDE；（III）求二面角 A-CD-E 的余弦值。 方法一：（）解：由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角） 为异面直线 BF 与 DE 所成的角。设 P 为 AD 的中点，连结 EP， PC。因为 FE /AP，所以 FA /EP，同理 AB /PC。又 FA平面 ABCD，所以 EP 平面 ABCD。而 PC，AD都在平面
13、ABCD 内, 故 EPPC，EPAD。由 ABAD，可得 PCAD 设 FA=a，则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= a2，故CED=60。所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 （II）证明：因为 .CEMP.CEDCEM ， 则连 结的 中 点 ， 所 以为且D .CDEADAP 平 面， 所 以 平 面平 面而平 面， 故又 （III） 因 为， 所 以因 为，的 中 点 ， 连 结为解 ： 设 .CDEQC.EQPCDQ.DAPP 的 平 面 角为 二 面 角， 故， 所 以 由（I）可得， .226Eaa， ，中 ，于 是 在 3cosPQRtQP25. （
14、本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 ABCD中， 平面 ABCD， ， B平分 ADC， E为的 PC中点， 1,2（1 ）证明： /平面 E （2 ）证明： A平面 PB（3 ）求直线 C与平面 D所成角的正切值26 （本题满分 15 分）如图，平面 AC平面 B，B是以 A为斜边的等腰直角三角形， ,EFO分别为 PA，P， C的中点， 16， 10PAC（I）设 G是 O的中点，证明： /G平面 B；（II）证明：在 AB内存在一点 M，使 F平面E，并求点 到 ， O的距离证明：（I）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x轴， y轴，z轴，建立
15、空间直角坐标系 O xyz， 则 0,(,80)(,)(0,8)OC(,6)(0,43)PE,0F，由题意得，4G因 43BE，因此平面 BOE 的法向量为 (,3)n， (,FG得 nFG，又直线 不在平面 E内，因此有 /平面 BO（II）设点 M 的坐标为 0,xy，则 0(4,3)Mxy，因为F平面 BOE，所以有 /Fn，因此有 9,，即点xy z M 的坐标为 94,0，在平面直角坐标系 xoy中， AOB的内部区域满足不等式组08xy，经检验，点 M 的坐标满足上述不等式组，所以在 内存在一点 M，使F平面 BOE，由点 M 的坐标得点 到 OA， B的距离为 94, 27 （本
16、题满分 14 分）如图， DC平面 ，/DC， 2A， 120， ,PQ分别为 ,AEB的中点 （I）证明： /PQ平面 ；（II）求 与平面 所成角的正弦值28 （ ）证明：连接 ,， 在 ABE中， ,分别是 ,的中点，所以BE21/， 又 BE21/，所以 DCPQ/，又 平面 ACD ，DC 平面 ACD， 所以 P平面 ACD（）在 AC中， A,，所以 AB而 DC平面 ABC， EB/，所以 EB平面 ABC而 EB平面 ABE， 所以平面 ABE平面 ABC， 所以 CQ平面 ABE由（）知四边形 DCQP 是平行四边形，所以 DP/所以 DP平面 ABE， 所以直线 AD 在
17、平面 ABE 内的射影是 AP，所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 A在 ARt中， 5122C ， 1sin2CAQ所以 51sinP29.（本小题满分 12 分）如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内， M，N 分别为 AB，DF 的中点 。（I）若平面 ABCD 平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。 （I）解法一：取 CD 的中点 G，连接 MG，NG。设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2， 则 MG CD，MG=2 ，NG= .因为平面 ABCD平面 DCED，所以
18、 MG平面 DCEF，可得MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。因为 MN= 6，所以 sinMNG= 36为 MN 与平面DCEF 所成角的正弦值 6 分30（本小题满分 13 分）如图，ABCD 的边长为 2 的正方形，直线 l 与平面 ABCD 平行，g 和 F 式 l 上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和 是平面 ABCD 内的两点， 和都与平面 ABCD 垂直，（）证明：直线 垂直且平分线段 AD： （）若EAD=EAB=60，EF=2，求多面体 ABCDEF 的体积。【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想。
19、【解析】(1)由于 EA=ED 且 EDABCED面点 E 在线段 AD 的垂直平分线上,同理点 F 在线段 BC 的垂直平分线上 .又 ABCD 是四方形线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线即点 E F 都居线段 AD 的垂直平分线上. 所以, 直线 E F 垂直平分线段 AD.(2)连接 EB、EC 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 EABCD 和正四面体 EBCF 两部分.设 AD 中点为 M,在 RtMEE 中, 由于 ME =1, 32M.EVABCD 211433SABCDE四 方 形又 EBCF=VCBEF=V CBEA=V EABC 2133ABCS
20、E多面体 ABCDEF 的体积为 VEABCDV EBCF= 231 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥 SABC中，底面 AB为矩形， SD底面 ABC， 2AD2，点 M 在侧棱 C上， M=60（I）证明：M 在侧棱 的中点（II）求二面角 SAMB的大小。（I）解法一：作 N D交 C于 N，作 EAB交 于 E，连 ME、NB ，则 面 ， , 2D设 x，则 Ex,在 RTB中， 603Ex。在 MN中由 22MN2解得 1x，从而 1SD M 为侧棱 SC的中点 M. 解法二:过 作 C的平行线.解法三:利用向量处理. 详细可见 09 年高考参考答
21、案. （II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过 M作 J CD交 S于 J,作 HAJ交 于 ,作HKA交 于 K,则 , M面 SD,面S面 B, 面 AB即为所求二面角的补角.分析二：利用二面角的定义。在等边三角形 AB中过点 作 FAM交 于点F，则点 为 AM 的中点，取 SA 的中点 G，连 GF，易证 ，则 GB即为所求二面角.分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线 AM 垂直的两个向量的夹角即可。另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。总之在目前，立体几何
22、中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。32.（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 1ABC中， ,ABCD、 E分别为 1A、 BC的中点，DE平面 1 （I）证明： （II）设二面角 ABDC为 60，求 1B与平面 CD所成的角的大小。（I）分析一：连结 BE， A为直三棱柱， 190,BE为 1的中点， E。又 平面 ，BC（射影相等的两条斜线段相等）而 A平面 C，A（相等的斜线段的射影相等） 。分析二：取 的中点 F，证四边形 D为平行四边形，进而证 AF DE，得 ABC也可。分析三：利用空间向量的方法。具体解法略
23、。（II）分析一：求 1与平面 所成的线面角，只需求点 1B到面 的距离即可。作 AGD于 ，连 ，则 G， AC为二面角 C的平面角，60C.不妨设 23A，则 2,4.在 RTD中，由B，易得 6.设点 1到面 的距离为 h， 1B与平面CD所成的角为 。利用133BBCDSES，可求得 23，又可求得 4 1sin0.h即 1与平面 所成的角为 3.分析二：作出 BC与平面 D所成的角再行求解。如图可证得 BCAFED面 ，所以面 AFED面 。由分析一易知：四边形 AFED为正方形，连 、 ，并设交点为 O，则 面 ， OC为 在面 内的射影。C即 为 所 求。以下略。分析三：利用空间
24、向量的方法求出面 BD的法向量 n，则 1BC与平面 D所成的角即为 1B与法向量 n的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。34 （本小题共 14 分）如图，在三棱锥 PABC中， 底面 ,60,9ABCPABCA，点 D， E分别在棱 ,上，且 /DE （）求证： 平面 ；（）当 为 的中点时，求 与平面 所成的角的大小；（）是否存在点 使得二面角 AP为直二面角？并说明理由.【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想
25、象能力、运算能力和推理论证能力（）PA底面 ABC，PA BC .又 90BC，AC BC.BC 平面 PAC.（）D 为 PB 的中点，DE/BC， 12E，又由（）知，BC平面 PAC，DE 平面 PAC，垂足为点 E.DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角，PA底面 ABC，PAAB，又 PA=AB，ABP 为等腰直角三角形， 12AD，在 RtABC 中， 60C， .在 RtADE 中， sin24EBA， AD与平面 PC所成的角的大小 arcsin.（）AE/BC，又由（）知，BC平面 PAC，DE 平面 PAC，又AE 平面 PAC，PE 平面 PAC，DE AE ，DE
26、PE，AEP 为二面角 E的平面角，PA底面 ABC，PAAC， 90PAC. 在棱 PC 上存在一点 E，使得 AEPC，这时 E，故存在点 E 使得二面角 D是直二面角.【解法 2】如图，以 A 为原煤点建立空间直角坐标系 xyz，设 Pa，由已知可得 1330,0,0,22ABaCaP.（） 1,P， 0BCA，BCAP.又 9，BCAC，BC 平面 PAC.（）D 为 PB 的中点，DE/BC，E 为 PC 的中点， 1331,0,4242aa，又由（）知，BC平面 PAC，DE 平面 PAC，垂足为点 E.DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角， 1331,0,4242ADaAE
27、a， cosE. AD与平面 PC所成的角的大小 14arcos.（）同解法 1.36 （本小题共 14 分）如图，四棱锥 B的底面是正方形， DABC底 面 ，点 E 在棱 PB 上.（）求证：平面 AECP平 面 ； （）当 2PD且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）四边形 ABCD 是正方形，ACBD， PDABC底 面 ，PD AC，AC 平面 PDB，平面 EP平 面 .（）设 ACBD=O，连接 OE，由（）知 AC平面
28、 PDB 于 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，O，E 分别为 DB、PB 的中点，OE/PD ， 12PD，又 ABCD底 面 ，OE 底面 ABCD，OEAO，在 RtAOE 中， 2EO， 45AO，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.37 （本小题满分 12 分， （）问 5 分， （）问 7 分）如题（19）图，在四棱锥 SBCD中， ADBC且 DC；平面 CSD平面 AB， ,2CSDA； E为 BS的中点，2,3E求：（）点 到平面 的距离；（）二面角 的大小 39 （本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分）如题（18）图，在五面
29、体 ABCDEF 中，AB/DC，BAD= 2 ，CD=AD=2. ，四边形 ABFE 为平行四边形， FA平面ABCD，FC=3，ED= 7，求：（）直线 AB 到平面 EFCD 的距离： （）二面角 F-AD-E 的平面角的正切值，40.（本小题满分 12 分）如图 4，在正三棱柱 1ABC中， 2ABD 是 1AB的中点，点 E 在 上，且 DE。（I） 证明平面 平面 1（II） 求直线 AD和平面 BC所成角的正弦值。 解 （I） 如图所示，由正三棱柱 1ABC的性质知 1A平面 1BC又 DE平面 A 1B C ，所以 DEAA .而 DEAE。AA AE=A 所以 DE 平面 A
30、C C 1A ，又 DE平面 ADE，故平面 ADE平面AC C 1A 。（2 ） 解法 1 如图所示，设 F 使 AB 的中点，连接 DF、DC、CF，由正三棱柱 ABC- A 1B C1的性质及 D 是 A 1B 的中点知 A 1BC D， A 1B DF 又 C DDF=D，所以 A B 平面 C DF，而 AB A 1B，所以AB平面 C DF，又 AB平面 ABC，故平面 AB C 1平面 C 1DF。过点 D 做 DH 垂直 C F 于点 H，则 DH平面 AB C 1。 连接 AH，则 HAD 是 AD 和平面 ABC 1所成的角。由已知 AB= 2A A 1，不妨设 A A =
31、 2，则 AB=2，DF= 2，D C 1= 3，C 1F= 5，AD= 21AD= 3，DH= FCD1= 532 0，所以 sinHAD= H= 50。即直线 AD 和平面 AB C 1所成角的正弦值为 510。41.（本小题满分 12 分）如图 3，在正三棱柱 ABC- 1ABC中，AB=4 , A 1= 7,点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AC 上，且 DE1AE（）证明：平面 1D平面 1; （）求直线 AD 和平面 E所成角的正弦值。解 （）如图所示，由正三棱柱 ABC- 1ABC的性质知 1A平面 BC又 DE平面 ABC，所以 DEA 1.而 DEA 1， 1E,所以 D
32、E平面 1又 DE 平面 D，故平面 1平面 CA（）解法 1 过点 A 作 AF 垂直 于点 F连接 DF.由（）知，平面 1ADE平面 1CA，所以 AF平面 1,故 F直线 AD 和平面 1ADE所成的角。 因为 DE 1C所以 DEAC 而ABC 是边长为 4 的正三角形，于是 AD=2 3 AE=4-CE=4- 12CD=3又因为 A1= 7 所以 1AE= 21= (7)= 4134F , 1sin8AFD即直线 AD 和平面 1AE所成的角的正弦值为 2 42 （本小题满分 12 分）在四棱锥 PBCD中，底面 AB是矩形， PA平面 BCD， 4PA，2AB. 以 的中点 O为
33、球心、 为直径的球面交 于点 M，交 于点 N.（1 ）求证：平面 AM平面 P； （2 ）求直线 与平面 所成的角的大小；（3 ）求点 N到平面 C的距离.20解：方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则 AMMC。又因为 P A平面 ABCD，则 PACD ，又 CDAD，所以 CD平面，则 CDAM ，所以 A M平面 PCD，所以平面 ABM平面 PCD。（2 ）由（1 ）知， MPD，又 ，则 是 PD的中点可得， 23C则 6ACMS设 D 到平面 ACM 的距离为 h，由 DACMADV即 268h，可求得 23h，设所求角为 ，则 6sin3， arcsin3。NOD
34、MCBPA（1 ） 可求得 PC=6。因为 ANNC ，由 PNAC，得 PN 83。所以 :5:9NCP。故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 59。又因为 M 是 PD 的中点，则 P、D 到平面 ACM 的距离相等，由（2）可知所求距离为5106927h。43（本小题满分 12 分）如图，正方形 ABC所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相垂直， E是等腰直角三角形， ,45（I）求证： F平 面 ；（II）设线段 CD的中点为 P，在直线 AE上是否存在一点 M，使得 PBCEA平 面 ？若存在，请指出点 M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由
35、；（III）求二面角 FB的大小。（19 ）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（）因为平面 ABEF平面 CD,BC平面 ，平面 平面 AB，所以 平面所以 .因为 AE为等腰直角三角形， B，所以 45又因为 F，所以 90EB，即 ,所以 平面 C。 4 分（）存在点 M,当 为线段 AE 的中点时，P M平面 BCE取 BE 的中点 N，连接 AN,MN，则 MN 12APC所以 PMNC 为平行四边形，所以 PMCN因为 CN 在平面 BCE 内，PM
36、 不在平面 BCE 内，所以 PM平面 BCE 8 分（）由 EAAB,平面 ABEF平面 ABCD，易知，EA平面 ABCD作 FGAB, 交 BA 的延长线于 G，则 FGEA。从而，FG平面 ABCD作 GHBD 于 G，连结 FH，则由三垂线定理知，BDFH因此，AEF 为二面角 F-BD-A 的平面角因为 FA=FE, AEF=45,所以AFE=90，FAG=45.设 AB=1,则 AE=1,AF= 2.FG=AFsinFAG= 1在 RtFGH 中， GBH=45,BG=AB+AG=1+ 12= 3,GH=BGsinGBH= 32 = 4在 RtFGH 中， tanFHG= FGH
37、= 23故二面角 F-BD-A 的大小为 arctan . 12 分第一部分 五年高考荟萃2011 年高考题20052008 年高考题一、选择题1.（2008 上海 13） 给定空间中的直线 L 及平面 ，条件“直线 L 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线 L 与平面 垂直”的（ ）条件A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分又非必要答案 C2.（2008 天津 5）设 ba,是两条直线， ,是两个平面，则 ba的一个充分条件是( )A ,/ B /,ba C /ba D 答案 C3.（2008 安徽 4）已知 ,mn是两条不同直线， ,是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ,m
38、n若 则 B ,若 则 C ,若 则 D mnn若 则 答案 D4.（2008 湖南 5）设有直线 m、 n 和平面 、 .下列四个命题中，正确的是( )A.若 m ,n ,则 mnB.若 m,n ,m ,n ,则 C.若 ， m ,则 mD.若 ， m ， m,则 m答案 D5.（2008 全国11）已知三棱柱 1ABC的侧棱与底面边长都相等， 1A在底面ABC内的射影为 的中心，则 与底面 ABC所成角的正弦值等于 （ ）A 13 B 23 C 3 D 23答案 C6.（2008 全国10）已知正四棱锥 SAB的侧棱长与底面边长都相等， E是 SB 的中点，则 AESD， 所成的角的余弦值
39、为（ ）A 13 B 23 C 3 D 23答案 C7.（2008 四川）设直线 l平面 ，过平面 外一点 A与 ,l都成 0角的直线有且只有 ( )A条 B.条 C条 D条答案 B 8.（2008 湖南 9）长方体 ABCD A1B1C1D1的 8 个顶点在同一球面上，且AB=2,AD= 3,AA1=1,则顶点 A、 B 间的球面距离是( C )A.2 2 B. 2 C. 2 D. 24答案 C9.（2008 陕西 9）如图， lAB， ， ， ， ， 到 l的距离分别是 a 和 b， AB与 ， 所成的角分别是 和 ， 在 ， 内的射影分别是 m和 n，若 a，则（ ）A mn， B mn
40、，C ， D ，答案 D11. (2007 北京理3）平面 平面 的一个充分条件是（ ）A存在一条直线 a， ， B存在一条直线 ， ， C存在两条平行直线 bab， ， ， ， ， D存在两条异面直线 a， ， ， ， 答案 D12. ( 2007 安徽理2）设 l， m， n均为直线，其中 m， n在平面 内， “l”是lm且“ ln”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案13.（2007 福建理8）已知 ， n为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. ,/,/mn B /,/mnnC D 答案 D14.（20
41、07 湖北理4）平面 外有两条直线 和 n，如果 和 n在平面 内的射影分别是1m和 n，给出下列四个命题： ； m 1 ； 1与 相交 与 n相交或重合； 1与 n平行 与 n平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4A Babl答案 D15.（2007 江苏理4）已知两条直线 ,mn，两个平面 ,，给出下面四个命题： /,mn /,/nmn / /其中正确命题的序号是（ ）A B C D答案 C16.（2007 全国理7）如图，正四棱柱 1CBA中，21，则异面直线 11ADB与 所成角的余弦值为（ ）A 5 B 52 C 53 D4答案 D17.（2007 福
42、建理10）顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AB1， AA1 ，则 A、 C 两点间的球面距离为 （ ）A 4 B 2 C 24 D 2答案 B 18.（2007 四川理4）如图， ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）A BD平面 CB1D1 B AC1 BDC AC1平面 CB1D1 D异面直线 AD 与 CB1角为 60 答案 D19. (2006 福建）对于平面 和共面的直线 m、 n，下列命题中真命题是( )A. 若 m ，mn ，则 n B. 若 m ，n ，则 mnC. 若 m， n ，则 mn D. 若 m、n 与 所成的角相等，则
43、 nm答案 C20. （2006 广东）给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是 ( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案 B21. （2006 湖南卷）过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( )A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条答案 D22.（2006 全国 II）如图，平面 平面 ，A，B，AB 与两平面、 所成的角分别为 和 ，过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足4 6为 A、B ，则 AB AB（ ）A. 21 B.3
