1、2018 年上海市静安区高考数学模拟试卷一、填空题（50 分）本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 5 分，否则一律得零分1 （5 分）若复数 （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a= 2 （5 分）若 f（x ）为 R 上的奇函数，当 x0 时，f （x）=log 2（2x） ，则f（0）+f（2）= 3 （5 分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 4 （5 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=1，DAB=60，E 为 CD 的中点，则的值是 5 （5 分）用半径 1 米的半
2、圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 立方米6 （5 分）已知 为锐角，且 ，则 sin= 7 （5 分）设函数 f（x ） = sin（x） ，若存在 x0（1，1）同时满足以下条件：对任意的 xR，都有 f（ x）f（x 0）成立；x 02+f（x 0） 2m 2，则 m 的取值范围是 8 （5 分）若不等式 x2|x1|+a 的解集是区间（3，3）的子集，则实数 a 的取值范围为 9 （5 分）已知 f（x ）=a xb（a0 且 a1，bR） ，g（x）=x+1，若对任意实数x 均有 f（x）g（x）0，则 的最小值为 10 （5 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为 A
3、D 的中点，射线 OP 从 OA出发，绕着点 O 顺时针方向旋转至 OD，在旋转的过程中，记AOP 为x（x 0，） ，OP 所经过正方形 ABCD 内的区域（阴影部分）的面积 S=f（x） ，那么对于函数 f（x）有以下三个结论：f（ ）= ；任意 x0， ，都有 f（ x）+f（ +x）=4；任意 x1，x 2（ ， ） ，且 x1x 2，都有 0其中所有正确结论的序号是 二、选择题（25 分）本大题共有 5 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.11 （5 分） “抛物线 y=ax2 的准线方程为
4、y=2”是“抛物线 y=ax2 的焦点与双曲线的焦点重合” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件12 （5 分）已知等比数列a n前 n 项和为 Sn，则下列一定成立的是（ ）A若 a30，则 a20150 B若 a40，则 a20140C若 a30，则 S20150 D若 a40，则 S2014013 （5 分）某班班会准备从含甲、乙的 6 名学生中选取 4 人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（ ）A336 种 B320 种 C192 种 D144 种14 （5 分）已知椭圆 C1，抛物线 C2 焦点均在 x 轴上，C 1 的中
5、心和 C2 顶点均为原点 O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则 C1 的左焦点到 C2的准线之间的距离为（ ） x324y04A B C1 D215 （5 分）对于集合 A，定义了一种运算“ ”，使得集合 A 中的元素间满足条件：如果存在元素 eA，使得对任意 aA，都有 ea=ae=a，则称元素 e 是集合 A 对运算“ ”的单位元素例如：A=R，运算“ ”为普通乘法；存在 1R，使得对任意 aR，都有 1a=a1=a，所以元素 1 是集合 R 对普通乘法的单位元素下面给出三个集合及相应的运算“” ：A=R，运算 “”为普通减法；A=A mn|Amn 表示 mn 阶矩阵，mN
6、*，n N*，运算“”为矩阵加法；A=X |XM（其中 M 是任意非空集合） ，运算“”为求两个集合的交集其中对运算“ ” 有单位元素的集合序号为（ ）A B C D三、解答题（本题满分 84 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤16 （12 分）将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ， 长为 ，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧（1）求三棱锥 CO1A1B1 的体积；（2）求异面直线 B1C 与 AA1 所成的角的大小17 （14 分）设双曲线 C： ，F 1，F 2 为其
7、左右两个焦点（1）设 O 为坐标原点， M 为双曲线 C 右支上任意一点，求 的取值范围；（2）若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F1，F 2 的距离之和为定值，且 cosF 1PF2的最小值为 ，求动点 P 的轨迹方程18 （20 分）如图，在海岸线 EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 FGBC，该曲线段是函数 y=Asin（x +） （A0，0， （0，） ） ，x4，0的图象，图象的最高点为 B（ 1，2 ） 边界的中间部分为长 1 千米的直线段 CD，且 CDEF游乐场的后一部分边界是以 O 为圆心的一段圆弧 （1）求曲线段 FGBC 的函数表达式；（2）曲线段
8、 FGBC 上的入口 G 距海岸线 EF 最近距离为 1 千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到 O，求景观路 GO 长；（3）如图，在扇形 ODE 区域内建一个平行四边形休闲区 OMPQ，平行四边形的一边在海岸线 EF 上，一边在半径 OD 上，另外一个顶点 P 在圆弧 上，且POE=，求平行四边形休闲区 OMPQ 面积的最大值及此时 的值19 （18 分）设集合 Ma=f（x ）|存在正实数 a，使得定义域内任意 x 都有f（x+a）f （x ）（1）若 f（x）=2 xx2，试判断 f（x ）是否为 M1 中的元素，并说明理由；（2）若 ，且 g（x）M a，求 a 的取值范围；（3
9、）若 （kR） ，且 h（x ）M 2，求 h（x）的最小值20 （20 分）设数列a n满足： a 1=1；所有项anN*；1=a 1a 2a na n+1设集合 Am=n|anm，m N*，将集合 Am中的元素的最大值记为 bm换句话说，b m 是数列a n中满足不等式 anm 的所有项的项数的最大值我们称数列b n为数列a n的伴随数列例如，数列1，3 ，5 的伴随数列为 1，1，2，2，3（1）若数列a n的伴随数列为 1，1，1，2 ，2，2，3，请写出数列a n；（2）设 an=3n1，求数列a n的伴随数列b n的前 100 之和；（3）若数列a n的前 n 项和 Sn= n+c
10、（其中 c 常数） ，试求数列a n的伴随数列b n前 m 项和 Tm2018 年上海市静安区高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（50 分）本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 5 分，否则一律得零分1 （5 分）若复数 （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a= 4 【解答】解： = = 为纯虚数， ，解得 a=4故答案为：42 （5 分）若 f（x ）为 R 上的奇函数，当 x0 时，f （x）=log 2（2x） ，则f（0）+f（2）= 2 【解答】解：f（x）为 R 上的奇函数，则 f（x ）= f（x） ，即有 f（ 0）=0，f
11、（2）= f（2） ，当 x0 时，f（x）=log 2（2 x） ，f（2）=log 2（ 2+2）=2，则 f（0）+f（2）=02= 2故答案为：23 （5 分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为 1，所以底面三角形的边长为 a，a=该正三棱锥的体积：故答案为：4 （5 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=1，DAB=60，E 为 CD 的中点，则的值是 1 【解答】解：在菱形 A
12、BCD 中，AB=1，BAD=60，= + ， = =11cos60+ 12=1故答案为：15 （5 分）用半径 1 米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 立方米【解答】解：半径为 1 米的半圆的周长为 =，则制作成圆锥的底面周长为 ，母线长为 1，设圆锥的底面半径为 r，则 2r=，即 r= 圆锥的高为 h= V= = （立方米） 故答案为： 6 （5 分）已知 为锐角，且 ，则 sin= 【解答】解： 为锐角， + （ ， ） ，cos（+ ）= ，sin （ + ）= = ，则 sin=sin（+ ） =sin（ + ）cos cos（ + ）sin = = 故答案为：7 （5
13、分）设函数 f（x ） = sin（x） ，若存在 x0（1，1）同时满足以下条件：对任意的 xR，都有 f（ x）f（x 0）成立；x 02+f（x 0） 2m 2，则 m 的取值范围是 （，2）（2，+） 【解答】解：根据题意：对任意的 xR，都有 f（x ）f（x 0）成立由于：x 0（ 1，1）所以：对 f（x）f（x 0）成立，只需满足 f（x） f（x 0） min 即可由于 f（ x）= sin（x） ，所以：由于x 02+f（x 0） 2m所以当 ，且求出：m 24进一步求出：m2 或 m 2故答案为：（，2）（2，+） 8 （5 分）若不等式 x2|x1|+a 的解集是区间（
14、3，3）的子集，则实数 a 的取值范围为 （，5 【解答】解：不等式 x2|x1|+a 等价于 x2|x1|a0，设 f（x）=x 2|x1|a，若不等式 x2|x1|+a 的解集是区间（3，3）的子集，则 ，求得 a5，故答案为：（，59 （5 分）已知 f（x ）=a xb（a0 且 a1，bR） ，g（x）=x+1，若对任意实数x 均有 f（x）g（x）0，则 的最小值为 4 【解答】解：f（x）=a xb，g （x ）=x+1，那么：f（x ）g（x）0，即（a xb） （x+1）0对任意实数 x 均成立，可得 axb=0，x +1=0，故得 ab=1那么： =4，当且仅当 a= ，b
15、=2 时取等号故 的最小值为 4故答案为：410 （5 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为 AD 的中点，射线 OP 从 OA出发，绕着点 O 顺时针方向旋转至 OD，在旋转的过程中，记AOP 为x（x 0，） ，OP 所经过正方形 ABCD 内的区域（阴影部分）的面积 S=f（x） ，那么对于函数 f（x）有以下三个结论：f（ ）= ；任意 x0， ，都有 f（ x）+f（ +x）=4；任意 x1，x 2（ ， ） ，且 x1x 2，都有 0其中所有正确结论的序号是 【解答】解：当 0xarctan2 时，f（x）= = ；当 arctan2x ，在OBE 中，f（x）=S 矩
16、形 OABMSOME =2 =2 ；当 x= 时， f（x）=2 ；当 x arctan2 时，同理可得 f（x）=2 当 arctan2x 时，f （x）=4 =4+ 于是可得： = = ，正确；对任意 x0， ，都有 f（ x）+f（ +x）=4用换元法，以 x 代替 x，可得：f（x）+f（x）=4，因此，故正确；不妨设 x1x 2，则 0f（x 1）f （x 2） ，显然不正确综上只有：正确故答案为：二、选择题（25 分）本大题共有 5 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.11 （5 分） “抛
17、物线 y=ax2 的准线方程为 y=2”是“抛物线 y=ax2 的焦点与双曲线的焦点重合” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：抛物线 y=ax2 的标准方程是 x2= y，则其准线方程为 y= =2，所以 a= 双曲线 x2=1 的 a= ，b=1 ，c= =2，则焦点为（0，2） ，抛物线 y=ax2 即为 x2= ，y 的焦点为（0， ） ，由题意可得， =2，解得，a= 故选：A12 （5 分）已知等比数列a n前 n 项和为 Sn，则下列一定成立的是（ ）A若 a30，则 a20150 B若 a40，则 a20140C若 a30，则
18、 S20150 D若 a40，则 S20140【解答】解：若 a30，则 a1q20，即 a10，a 20150；若 q=1，则 S2015=2015a1 0；若 q1，则 S2015= ，由 1q 和 1q2015 同号，可得 S20150；由 a40 ，可得 a2014=a1q20130；a4 0，不能判断 S2014 的符号，故选：C13 （5 分）某班班会准备从含甲、乙的 6 名学生中选取 4 人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（ ）A336 种 B320 种 C192 种 D144 种【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有 C21
19、C43A44=192 种情况；若甲乙两人都参加，有 C22C42A44=144 种情况，则不同的发言顺序种数 192+144=336 种，故选：A14 （5 分）已知椭圆 C1，抛物线 C2 焦点均在 x 轴上，C 1 的中心和 C2 顶点均为原点 O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则 C1 的左焦点到 C2的准线之间的距离为（ ） x324y04A B C1 D2【解答】解：由表可知：抛物线 C2 焦点在 x 轴的正半轴，设抛物线C2：y 2=2px（p0） ，则有 =2p（x 0） ，据此验证四个点知（3，2 ） ， （4， 4）在 C2 上，代入求得 2p=4，抛物线 C2
20、 的标准方程为 y2=4x则焦点坐标为（ 1，0 ） ，准线方程为：x=1，设椭圆 C1： （ab0） ，把点（ 2，0） ， （ ， ）代入得，解得： ，C 1 的标准方程为 +y2=1；由 c= = ，左焦点（ ，0） ，C1 的左焦点到 C2 的准线之间的距离 1，故选：B15 （5 分）对于集合 A，定义了一种运算“ ”，使得集合 A 中的元素间满足条件：如果存在元素 eA，使得对任意 aA，都有 ea=ae=a，则称元素 e 是集合 A 对运算“ ”的单位元素例如：A=R，运算“ ”为普通乘法；存在 1R，使得对任意 aR，都有 1a=a1=a，所以元素 1 是集合 R 对普通乘法的
21、单位元素下面给出三个集合及相应的运算“” ：A=R，运算 “”为普通减法；A=A mn|Amn 表示 mn 阶矩阵，mN *，n N*，运算“”为矩阵加法；A=X |XM（其中 M 是任意非空集合） ，运算“”为求两个集合的交集其中对运算“ ” 有单位元素的集合序号为（ ）A B C D【解答】解：若 A=R，运算“”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；A=A mn|Amn 表示 mn 阶矩阵，mN *，n N*，运算“”为矩阵加法，其单位元素为全为 0 的矩阵；A=X |XM（其中 M 是任意非空集合） ，运算“”为求两个集合的交集，其单位元素为集合 M故选：D三、解答题（本
22、题满分 84 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤16 （12 分）将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ， 长为 ，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧（1）求三棱锥 CO1A1B1 的体积；（2）求异面直线 B1C 与 AA1 所成的角的大小【解答】解：（1）连结 O1B1，则O 1A1B1=A 1O1B1= ，O 1A1B1 为正三角形， = ，= = （2）设点 B1 在下底面圆周的射影为 B，连结 BB1，则 BB1AA 1，BB 1C 为直线 B1C 与 AA1 所
23、成角（或补角） ，BB1=AA1=1，连结 BC、BO、OC ，AOB= A 1O1B1= ， ，BOC= ，BOC 为正三角形，BC=BO=1，tanBB 1C=1，直线 B1C 与 AA1 所成角大小为 4517 （14 分）设双曲线 C： ，F 1，F 2 为其左右两个焦点（1）设 O 为坐标原点， M 为双曲线 C 右支上任意一点，求 的取值范围；（2）若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F1，F 2 的距离之和为定值，且 cosF 1PF2的最小值为 ，求动点 P 的轨迹方程【解答】解：（1）设 M（ x，y ） ， ，左焦点 ，= （4 分）= （ ）对称轴 ，（3 分）（2）由
24、椭圆定义得：P 点轨迹为椭圆 ，|PF 1|+|PF2|=2a=（4 分）由基本不等式得 ，当且仅当|PF 1|=|PF2|时等号成立，b 2=4所求动点 P 的轨迹方程为 （3 分）18 （20 分）如图，在海岸线 EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 FGBC，该曲线段是函数 y=Asin（x +） （A0，0， （0，） ） ，x4，0的图象，图象的最高点为 B（ 1，2 ） 边界的中间部分为长 1 千米的直线段 CD，且 CDEF游乐场的后一部分边界是以 O 为圆心的一段圆弧 （1）求曲线段 FGBC 的函数表达式；（2）曲线段 FGBC 上的入口 G 距海岸线 EF
25、 最近距离为 1 千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到 O，求景观路 GO 长；（3）如图，在扇形 ODE 区域内建一个平行四边形休闲区 OMPQ，平行四边形的一边在海岸线 EF 上，一边在半径 OD 上，另外一个顶点 P 在圆弧 上，且POE=，求平行四边形休闲区 OMPQ 面积的最大值及此时 的值【解答】解：（1）由已知条件，得 A=2，又 ， ， 又当 x=1 时，有 y=2sin（ +）=2，= 曲线段 FGBC 的解析式为 ，x4，0 （2）由 =1得 x=6k+（1） k4 （kZ） ，又 x4，0 ，k=0，x= 3G （ 3，1） OG= 景观路 GO 长为 千米（3）如
26、图，OC= ，CD=1，OD=2， ，作 PP1x 轴于 P1 点，在 RtOPP 1 中，PP 1=OPsin=2sin，在OMP 中， ， = S 平行四边形 OMPQ=OMPP1= = = （0， ） 当 时，即 时，平行四边形面积最大值为 19 （18 分）设集合 Ma=f（x ）|存在正实数 a，使得定义域内任意 x 都有f（x+a）f （x ）（1）若 f（x）=2 xx2，试判断 f（x ）是否为 M1 中的元素，并说明理由；（2）若 ，且 g（x）M a，求 a 的取值范围；（3）若 （kR） ，且 h（x ）M 2，求 h（x）的最小值【解答】解：（1）f（1）=f（0）=1
27、，f（x ）M 1（4 分）（2）由 （2分） ，（3 分）故 a1（ 1 分）（3）由 ，（1 分）即： 对任意 x1，+）都成立 （3 分）当1 k 0 时， h（x ） min=h（1）=log 3（1+k） ； （1 分）当 0k 1 时，h（x） min=h（1）=log 3（1+k） ； （1 分）当 1k 3 时， （1 分）综上： （1 分）20 （20 分）设数列a n满足： a 1=1；所有项anN*；1=a 1a 2a na n+1设集合 Am=n|anm，m N*，将集合 Am中的元素的最大值记为 bm换句话说，b m 是数列a n中满足不等式 anm 的所有项的项数的
28、最大值我们称数列b n为数列a n的伴随数列例如，数列1，3 ，5 的伴随数列为 1，1，2，2，3（1）若数列a n的伴随数列为 1，1，1，2 ，2，2，3，请写出数列a n；（2）设 an=3n1，求数列a n的伴随数列b n的前 100 之和；（3）若数列a n的前 n 项和 Sn= n+c（其中 c 常数） ，试求数列a n的伴随数列b n前 m 项和 Tm【解答】解：（1）1，4，7 （2）由 ，得当 1m2，m N*时，b 1=b2=1，当 3m8，m N*时，b 3=b4=b8=2，当 9m26，mN *时，b 9=b10=b26=3，当 27m80，mN *时，b 27=b28=b80=4，当 81m100，mN *时，b 81=b82=b100=5，b 1+b2+b100=12+26+318+454+520=384（3）a 1=S1=1+c=1c=0，当 n2 时，a n=SnSn1=3n2 （2 分）由 an=3n2m 得：因为使得 an m 成立的 n 的最大值为 bm，所以 ，当 m=3t2（tN *）时： ，当 m=3t1（tN *）时： ，当 m=3t（t N*）时： ，所以 （其中 tN*）
