1、2018 年山东省济南市历城二中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分）若集合 A=1，2，3，B=1，3，4，5，则 AB 的子集个数为（ ）A2 B3 C4 D162 （5 分）已知点 A（0，1） ，B （3，2） ，向量 ，则向量 =（ ）A （10 ，7） B （10， 5） C （ 4，3） D （4，1）3 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 iz=（1 2i） 2，则 z=（ ）A 4+3i B2+3i C2+3i D 43i4 （5 分）有 5 支彩笔
2、（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）A B C D5 （5 分）已知点 P 在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线 C 上，抛物线 C 的焦点为 F，准线为 l，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 Q，若PFQ= ，PFQ 的面积为 ，则焦点 F 到准线 l 的距离为（ ）A1 B C2 D36 （5 分）已知偶函数 f（ x）在（ ，0上是增函数若 a=f（log 2 ） ，b=f（log 3） ，c=f（2 0.8） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aa b c Bbac Ccb
3、a Dcab7 （5 分） 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？” 现有墙厚 5 尺，如下说法：小鼠第二天穿垣半尺；两鼠相遇需四天；若大鼠穿垣两日卒，则小鼠至死方休则以上说法错误的个数是（ ）个A0 B1 C2 D38 （5 分）已知函数 y=Asin（x+） （ 0，| ，xR ）的图象如图所示，则该函数的单调减区间是（ ）A2 +16k，10+16k（k Z） B6+16k，14+16k（k Z）C 2+16k，6+16k （k Z） D 6+16k，2+16k（kZ ）9 （5
4、 分）在梯形 ABCD 中，ABC= ，ADBC，BC=2AD=2AB=2将梯形ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ）A4 B （4+ ） C6 D （5+ ）10 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ）A B C D11 （5 分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A2 B C1 D12 （5 分）若存在（x，y）满足 ，且使得等式 3x+a（2y 4ex）（lnylnx）=0 成立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ，0 ） ，+ ） B ，+） C （，0） D （0， 二、填空
5、题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13 （5 分）已知函数 ，若 f（0）=2，则a+f（2）= 14 （5 分）已知等差数列a n，其前 n 项和为 Sn，a 2+a8=2am=24，a 1=2，则S2m= 15 （5 分）已知点 P 和点 Q 分别为函数 y=ex 与 y=kx 图象上的点，若有且只有一组点（P， Q）关于直线 y=x 对称，则 k= 16 （5 分）已知点 F1，F 2 为椭圆 C1： + =1（a b0）和双曲线 C2： =1（a0，b0）的公共焦点，点 P 为两曲线的一个交点，且满足F 1PF2=90，设椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e 2
6、，则 + = 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为a， b，c ，bsin（B+C）+acosA=0，且 c=2，sinC= （1）求证：A= +B；（2）求ABC 的面积18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PAC平面 PBD（1）求证：PB=PD ；（2）若 M 为 PD 的中点， AM平面 PCD，求三棱锥 DACM 的体积19 （12 分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局
7、与医院抄录 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日 期 1 月 10日2 月 10日3 月 10日4 月 10日5 月 10日6 月 10日昼夜温差 x（） 10 11 13 12 8 6就诊人数 y（个） 22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验（）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（）若选取的是 1 月与 6 月的两组数据，请根据 2 至 5 月份的数据，求出 y关于 x 的线性回归方程 =bx+a；（）若由线性回归方
8、程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2 人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：线性回归方程的系数公式为b= = ，a= 20 （12 分）已知曲线 C 的方程为 ax2+ay22a2x4y=0（a0，a 为常数） （1）判断曲线 C 的形状；（2）设曲线 C 分别与 x 轴，y 轴交于点 A，B（A ，B 不同于原点 O） ，试判断AOB 的面积 S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线 l：y= 2x+4 与曲线 C 交于不同的两点 M，N，且 = ，求 a 的值21 （12 分）已知函数 f（ x）=a（x 2x）lnx （a
9、R） （1）若 f（x）在 x=1 处取到极值，求 a 的值；（2）若 f（x）0 在1， +）上恒成立，求 a 的取值范围；（3）求证：当 n2 时， + + 选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）以直角坐标系的原 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系相等的单位长度，已知直线 l 的参数方程为 为参数） ，圆 C 的极坐标方程为 =2（）写出直线 l 的一般方程及圆 C 标准方程；（）设 P（ 1，1） ，直线 l 和圆 C 相交于 A，B 两点，求|PA|PB|的值选修 4-5：不等式选讲23已知不等式|x+2|2x 2|2 的解集为 M（）求集合 M；（）
10、已知 t 为集合 M 中的最大正整数，若 a1，b 1，c1，且（a1）（b1 ） （c 1）=t，求 abc 的最小值2018 年山东省济南市历城二中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分）若集合 A=1，2，3，B=1，3，4，5，则 AB 的子集个数为（ ）A2 B3 C4 D16【解答】解：集合 A=1，2，3，B=1，3，4，5，则 AB=1，3，AB 的子集个数为 22=4故选：C2 （5 分）已知点 A（0，1） ，B （3，2） ，向量 ，则向量
11、=（ ）A （10 ，7） B （10， 5） C （ 4，3） D （4，1）【解答】解：根据题意，点 A（0，1） ，B （3，2） ，则向量 =（ 3，1） ，又由 ，则向量 = + =（4，3） ；故选：C3 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 iz=（1 2i） 2，则 z=（ ）A 4+3i B2+3i C2+3i D 43i【解答】解：iz=（12i） 2=34i， 故选：A4 （5 分）有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）A B C D【解答】解
12、：有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，基本事件总数 n= =10，取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数 m= =4，取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 p= = 故选：C5 （5 分）已知点 P 在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线 C 上，抛物线 C 的焦点为 F，准线为 l，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 Q，若PFQ= ，PFQ 的面积为 ，则焦点 F 到准线 l 的距离为（ ）A1 B C2 D3【解答】解：不妨以焦点在 x 轴正半轴上的抛物线为例，如图，由题意，PFQ 是等腰三角形，
13、设 PQ=PF=a，则 ，解得：a=2，QF= ，焦点 F 到准线 l 的距离为 2 cos =3，故选：D6 （5 分）已知偶函数 f（ x）在（ ，0上是增函数若 a=f（log 2 ） ，b=f（log 3） ，c=f（2 0.8） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aa b c Bbac Ccba Dcab【解答】解：偶函数 f（x ）在（ ，0上是增函数，函数 f（x ）在0，+）上是减函数，a=f（ log2 ）=f（log 25）=f（log 25） ，b=f（log 3）=f（log 23）=f（log 23） ，02 0.81log 232log 25，f（ 20.8）f（
14、log 23）f（log 25） ，即 c ba ，故选：A7 （5 分） 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？” 现有墙厚 5 尺，如下说法：小鼠第二天穿垣半尺；两鼠相遇需四天；若大鼠穿垣两日卒，则小鼠至死方休则以上说法错误的个数是（ ）个A0 B1 C2 D3【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，前 n 天打洞之和为 =2n1，小老鼠每天打洞的距离是以 1 为首项，以 为公比的等比数列，小老鼠前 n 天打洞的距离之和为 =2 ，小
15、鼠第二天穿垣 1 即为半尺，正确；两鼠相遇设为 n 天，可得 2n1+2 =5，解得 2n3，即最多 3 天，故错误；若大鼠穿垣两日卒，此时共穿墙 1+2+1+ = ，剩下 5 = ，设小老鼠需要 k 天，可得 = ，即为 = ，显然方程无实数解则小鼠至死方休，正确故选：B8 （5 分）已知函数 y=Asin（x+） （ 0，| ，xR ）的图象如图所示，则该函数的单调减区间是（ ）A2 +16k，10+16k（k Z） B6+16k，14+16k（k Z）C 2+16k，6+16k （k Z） D 6+16k，2+16k（kZ ）【解答】解：由图象知 A=4， =6（ 2）=8 ，即 T=1
16、6= ，则 = ，则 y=4sin（ x+） ，由图象知（2，0） ， （6， 0）的中点为（2，0） ，当 x=2 时，y=4，即4sin（ 2+）=4，即 sin（ +）=1，即 += +2k，即 = +2k，| ，= ，则 y=4sin（ x+ ） ，由 2k+ x+ 2k+ ，kZ，即 16k+2x 16k+10，kZ ，即函数的单调递减区间为2+16k，10+16k （kZ） ，故选：A9 （5 分）在梯形 ABCD 中，ABC= ，ADBC，BC=2AD=2AB=2将梯形ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ）A4 B （4+ ） C6 D
17、（5+ ）【解答】解：在梯形 ABCD 中，ABC= ，ADBC，BC=2AD=2AB=2，将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：一个底面半径为 AB=1，高为 BC=2 的圆柱减去一个底面半径为 AB=1，高为 BCAD=21=1 的圆锥，几何体的表面积为：S=12+212+=（ 5+ ） 故选：D10 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ）A B C D【解答】解：第一次循环，n=1，s=0，s= 12017，第二次循环，n=2，s= 1+ = 12017 ，第三次循环，n=3，s= 112017，第四次循环，n=4，s= 1，第
18、2017 次循环，n=2017 ，s= 1，第 2018 次循环，n=2018 2017，满足条件，跳出循环，输出 s= 1，故选：A11 （5 分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A2 B C1 D【解答】解：多面体的三视图得该多面体是长方体 ABCDA1B1C1D1 去掉两个三棱锥 A1AED1 和 B1BEC1 剩余的几何体，其中 AB=2，AD=AA 1=1，E 是 A1B1 的中点，该多面体的体积：V= = 故选：B12 （5 分）若存在（x，y）满足 ，且使得等式 3x+a（2y 4ex）（lnylnx）=0 成立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范
19、围是（ ）A （ ，0 ） ，+ ） B ，+） C （，0） D （0， 【解答】解：画出不等式组 表示的平面区域，如图所示；A（1 ，4 ） ，B （3，3 ） ，C（4，6） ；3x+a（2y4ex） （lnylnx ）=0 可化为 =2（ 2e）ln ，设 t= ，其中 1t4； =2（t2e）lnt，令 m=（t2e ）lnt ， （1t 4） ，则 m=lnt+ ，m= + 0，当 te 时，mm（e）=0，当 0te 时，mm（e）=0，mm （e） =e， 2e ，解得 a0 或 a ；又 a 值不可能为负值，实数 a 的取值范围是 ，+） 故选：B二、填空题：（本大题共 4
20、小题，每小题 5 分，共 20 分.）13 （5 分）已知函数 ，若 f（0）=2，则a+f（2）= 2 【解答】解：函数 ，f （0）=2，f（ 0）=log 2（0+a）=2，解得 a=4，f（2）= =2，a +f（2）=42=2故答案为：214 （5 分）已知等差数列a n，其前 n 项和为 Sn，a 2+a8=2am=24，a 1=2，则S2m= 【解答】解：等差数列a n，其前 n 项和为 Sn， a2+a8=2am=24，m=5，a 5=12，a 1=2，a 5=2+4d=12，解得 d= ，S 2m=S10= = 故答案为： 15 （5 分）已知点 P 和点 Q 分别为函数 y
21、=ex 与 y=kx 图象上的点，若有且只有一组点（P， Q）关于直线 y=x 对称，则 k= 或 k0 【解答】解：根据题意，函数 y=ex 的反函数为 y=lnx，则函数 y=lnx 与函数 y=ex关于直线 y=x 对称，若有且只有一组点（P，Q）关于直线 y=x 对称，即函数 y=lnx 与直线 y=kx 有且只有一个交点，即方程 lnx=kx 只有一个根，当 k0 时，明显成立，当 k0 时，令 f（x ）=lnxkx， （x 0）方程 lnx=kx 有且只有一个根，即函数 f（x）只有一个零点，f（x ）= k= ，分析可得：在（0， ）上，f（x ）0，f（x）为增函数，在（ ，
22、+）上，f（x ）0，f（x）为减函数，则 f（x）有最大值 f（ ） ，必有 f（ ）=ln 1=0，解可得 k= ；故有 k0 或 k= ；故答案为：k0 或 k= 16 （5 分）已知点 F1，F 2 为椭圆 C1： + =1（a b0）和双曲线 C2： =1（a0，b0）的公共焦点，点 P 为两曲线的一个交点，且满足F 1PF2=90，设椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e 2，则 + = 2 【解答】解：可设 P 为第一象限的点，|PF 1|=m，|PF 2|=n，由椭圆的定义可得 m+n=2a，由双曲线的定义可得 mn=2a可得 m=a+a，n=aa，由F 1PF2=90，可得m2
23、+n2=（2c ） 2，即为（a+a） 2+（aa ） 2=4c2，化为 a2+a2=2c2，则 + =2，即有 + =2故答案为：2三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为a， b，c ，bsin（B+C）+acosA=0，且 c=2，sinC= （1）求证：A= +B；（2）求ABC 的面积【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）证明：因为 bsin（B+C）+acosA=0，可得：bsinA+acosA=0，又由正弦定理得：bsinA=asinB，可得：asinB+ac
24、osA=0，可得：cosA=sinB，所以 A 为钝角，B 为锐角，可得：A= +B； （6 分）（2）由正弦定理可得： = = ，（9 分）可得：a 2+b2= ，cosC= = ，所以由余弦定理可得：2 2=a2+b22abcosC，可得：4= 2ab ，解得：ab= ， （11 分）则：S ABC = absinC= = （12 分）18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PAC平面 PBD（1）求证：PB=PD ；（2）若 M 为 PD 的中点， AM平面 PCD，求三棱锥 DACM 的体积【解答】证明：（1）连结 AC、BD，交
25、于点点，连结 PO，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PAC平面 PBDBO=DO，ACBD，BD平面 PAC，又 AB=AD，（4 分）PB=PD（6 分）解：（2）AM平面 PCD，AMPD，PD 的中点为 M，AP=AD=2， （8 分）由 AM平面 PCD，可得 AMCD，又 ADCD，AMAD=A，CD平面 PAD，CDPA ，又由（1）可知 BDPA ， BDCD=D，PA 平面 ABCD（10 分）故 VDACM=VMACD= PASACD = 2 22= （12 分）19 （12 分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，
26、他们分别到气象局与医院抄录 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日 期 1 月 10日2 月 10日3 月 10日4 月 10日5 月 10日6 月 10日昼夜温差 x（） 10 11 13 12 8 6就诊人数 y（个） 22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验（）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（）若选取的是 1 月与 6 月的两组数据，请根据 2 至 5 月份的数据，求出 y关于 x 的线性回归方程 =bx+a；（
27、）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2 人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：线性回归方程的系数公式为b= = ，a= 【解答】解：（I）设抽到相邻两个月的数据为事件 A，从 6 组数据中选取 2 组数据共有 C62=15 种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种， （4 分）（II）由数据求得 x=11， y=24，由公式求得 ，由 ，求得y 关于 x 的线性回归方程为 （9 分）（III）当 x=10 时， ，当 x=6 时， ，所以该小组所得线性回归方程是理想的（12 分）20 （1
28、2 分）已知曲线 C 的方程为 ax2+ay22a2x4y=0（a0，a 为常数） （1）判断曲线 C 的形状；（2）设曲线 C 分别与 x 轴，y 轴交于点 A，B（A ，B 不同于原点 O） ，试判断AOB 的面积 S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线 l：y= 2x+4 与曲线 C 交于不同的两点 M，N，且 = ，求 a 的值【解答】解：（1）将曲线 C 的方程化为 x2+y22ax y=0，（xa） 2+（y ） 2=a2+ ，可知曲线 C 是以点（ a， ）为圆心，以 为半径的圆（2）AOB 的面积 S 为定值证明如下：在曲线 C 的方程中令 y=0，得 ax（x 2a）=
29、0 ，得点 A（2a，0） ，在曲线 C 方程中令 x=0，得 y（ay 4）=0，得点 B（0， ） ，S= |OA|OB|= |2a| |=4（为定值） ，（3）直线 l 与曲线 C 方程联立可得 5ax2（2a 2+16a8）x +16a16=0，设 M（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 x1+x2= ，x 1x2= ， =x1x2+y1y2=5x1x2+8（x 1+x2）+16= ，即 （ 80a8016a2128a+64+80a）= ，即 2a25a+2=0，解得 a=2 或 a= ，当 a=2 或 时，都满足0，故 a=2 或21 （12 分）已知函数 f（ x）=a
30、（x 2x）lnx （a R） （1）若 f（x）在 x=1 处取到极值，求 a 的值；（2）若 f（x）0 在1， +）上恒成立，求 a 的取值范围；（3）求证：当 n2 时， + + 【解答】解：（1）f（x ）的定义域为（0，+） ，f（x）=2axa ，y=f（x）在 x=1 处取得极小值，f（1）=0 ，即 a=1，此时，经验证 x=1 是 f（x）的极小值点，故 a=1，（2）f（x ）=2ax a ，当 a0 时，f（x）0，f（ x）在1，+）上单调递减，当 x1 时，f（x）f（1）=0 矛盾当 a0 时，f（x）= ，=a 2+8a0 恒成立，令 f（x）=0，解得 x1=
31、 0， （舍去） ，x 2= ，（i）当 1 时，即 a1 时，f（x）在1，+）单调性递增f（ x）f（ x） min=f（1）=0 ，满足题意，（ii）当 1 时，即 0a1 时，x（1， ）时，f（x）0，即 f（x ）递减，f（ x）f（ 1）=0 ，矛盾综上，f（x ）0 在1，+ ）上恒成立，a1，（3）证明：由（1）知令 a=1 时，f（x）=x 2xlnx，当 x2 时，x 2xlnx0，即 ，令 x=n，则 = ， + + + + + =1 = 选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）以直角坐标系的原 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系相等的单
32、位长度，已知直线 l 的参数方程为 为参数） ，圆 C 的极坐标方程为 =2（）写出直线 l 的一般方程及圆 C 标准方程；（）设 P（ 1，1） ，直线 l 和圆 C 相交于 A，B 两点，求|PA|PB|的值【解答】解：（）直线 l 的参数方程为 为参数） ，由直线 l 的参数方程消去参数 t 可得 x1=2（y 2） ，化简并整理可得直线 l 的一般方程为 x2y+3=0，圆 C 的极坐标方程为 =2，由 =2 可得 2=4，即 x2+y2=4，圆 C 的标准方程为 x2+y2=4（）P（ 1，1） ，|PC|= = R=2，点 P（ 1，1）代入直线 l 的方程，成立，点 P 在圆内，
33、且直线 l 上，联立圆的方程和直线 l 的参数方程方程组 ，设 A（x A，y A） ，B（x B，y B） ，则 ， ，则 ，同理 ， 选修 4-5：不等式选讲23已知不等式|x+2|2x 2|2 的解集为 M（）求集合 M；（）已知 t 为集合 M 中的最大正整数，若 a1，b 1，c1，且（a1）（b1 ） （c 1）=t，求 abc 的最小值【解答】解：（）根据题意，|x+2|2x2|2，分 3 种情况讨论，当 x2 时，原不等式变形为：x42，解可得 x6，又由 x2，此时不等式的解集为，当1x2 时，原不等式变形为：3x2 ，解可得 x ，又由1x2，此时不等式的解集为x| x 2；，当 x2 时，原不等式变形为： x+42，解可得 x2，又由 x2，此时不等式的解集为 ，综合可得：M=x| x2；（）根据题意，若 t 为集合 M 中的最大正整数，则 t=1；若 a1，b 1，c1，且（a1） （b 1） （c1）=1，a=1+（a1）2 ，b=1+（b1）2 ，c=1+（c1）2 ，则 abc8（ ）=8 ；abc 的最小值为 8
