1、2018 年河南省中原名校联盟高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知：如图，集合 U 为全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A U（AB）C B U（B C）A CA U（BC ） D U（AB）C2 （5 分）已知 xC，若关于 x 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（ a，b，cR，a0）有一根为 1+i则该方程的另一根为（ ）A 1+i B1i C1 i D13 （5 分）已知函数 f（x）=e 1+x+e1x，则满足 f（x2）e 2+1 的 x 的取值范围是（ ）Ax 3 B0x3 C1xe D1x34 （5 分）
2、已知数列a n为正项等比数列，且 a1a3+2a3a5+a5a7=4，则 a2+a6=（ ）A1 B2 C3 D45 （5 分）市场调查发现，大约 的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为 ，而实体店里的家用小电器的合格率约为 现工商局 12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是（ ）A B C D6 （5 分）已知：sin +cos= ，则 cos2+cos2 的取值范围是（ ）A 2，2 B ，2 C 2， D ， 7 （5 分）某篮球运动员 6 场比赛得分如表
3、：（注：第 n 场比赛得分为 an）n 1 2 3 4 5 6an 10 12 8 9 11 10在对上面数据分析时，一部分计算如图算法流程图（其中 是这 6 个数据的平均数） ，则输出的 s 的值是（ ）A B2 C D8 （5 分）已知： ，则 a6=（ ）A 28 B448 C112 D4489 （5 分）某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为 l，则该多面体的外接球的表面积是（ ）A27 B C9 D 10 （5 分）已知抛物线 C：y 2=4x，过抛物线 C 焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于A、B 两点（点 A 在第一象限） ，且交抛物线 C 的准线于点 E若 =2 ，则
4、直线 l 的斜率为（ ）A3 B2 C D111 （5 分）设 r 是方程 f（x）=0 的根，选取 x0 作为 r 的初始近似值，过点（x 0，f （x 0） ）做曲线 y=f（x）的切线 l，l 的方程为 y=f（x 0）+f（x 0） （x x0） ，求出 l 与 x 轴交点的横坐标 x1=x0 ，称 x1 为 r 的一次近似值过点（x 1，f （x 1） ）做曲线 y=f（x）的切线，并求该切线与 x 轴交点的横坐标 x2=x1，称 x2 为 r 的二次近似值重复以上过程，得 r 的近似值序列，其中， xn+1=xn ，称为 r 的 n+1 次近似值，上式称为牛顿迭代公式已知 是方程
5、x26=0 的一个根，若取 x0=2 作为 r的初始近似值，则在保留四位小数的前提下， （ ）A2.4494 B2.4495 C2.4496 D2.449712 （5 分）已知函数 f（ x）= 在定义域（，+）上是单调增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ， B ， +） C ， D （ ， ）二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知 P 是边长为 2 的正ABC 边 BC 上的动点，则 = 14 （5 分）某学生计划用不超过 50 元钱购买单价分别为 6 元、7 元的软皮和硬皮两种笔记本，根据需要软皮笔记本至少买 3 本，硬皮笔记本至少买 2 本，则不同的选购
6、方式共有 种15 （5 分）已知双曲线 C： （a0，b 0） ，其右焦点为 F（c，0） ，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆交曲线 C 于 A、B 两点，若 S 四边形OAFB= bc，则双曲线 C 的离心率 e= 16 （5 分）已知：f （x ） = ，若方程f（x ） 2 f（x）+a=0 有四个不等的实根，则 a 的取值范围是 三、解答题：（1721 题每题 12 分；22、23 题二选一 10 分）17 （12 分）ABC 的内角 A，B ，C 对应的边分别为 a，b ，c 已知：（1 tanA） （1tanB）=2（1）求角 C；（2）若 b=2 ，c=4，求ABC 的面积
7、SABC 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，且平面PAD平面 ABCD，PAAB （1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）若 PA=PD=AD=DC，求二面角 APBC 的余弦值19 （12 分）在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩 X 近似服从正态分布 N（70，100） 已知成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 16名（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（2）若该校计划奖励竞赛成绩在 80 分以上（含 80 分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？附：P（ |X|）=0.683，P （|X |2）=0.95
8、4 ，P （|X|3）=0.997 20 （12 分）设 M（x ，y ）与定点 F（1，0）的距离和它到直线 l1：x=3 的距离的比是常数 ，（1）求点 M 的轨迹曲线 C 的方程：（2）过定点 F 的直线 l2 交曲线 C 于 A、B 两点，以 O、A 、B 三点（O 为坐标原点）为顶点作平行四边形 OAPB，若点 P 刚好在曲线 C 上，求直线 l 2 的方程21 （12 分）已知：f （x）=（2x）e x+a（x 1） 2（aR ）（1）讨论函数 f（x）的单调区间：（2）若对任意的 xR，都有 f（x ）2e x，求 a 的取值范围请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：
9、只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为=2sin（1）在直角坐标系中，若以过原点的直线的倾斜角 为参数，求出曲线 C 的参数方程（2）求直线 l 与曲线 C 相交弦的最小值选修 4-5：不等式选讲23已知：f（ x）=|x+a|+|x 1|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）3 的解集；（2）若对任意的 xR，f （ x）3 恒成立，求 a 的取值范围2018 年河南省中原名校联盟高考数学一模试卷（
10、理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知：如图，集合 U 为全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A U（AB）C B U（B C）A CA U（BC ） D U（AB）C【解答】解：阴影部分所表示的为在集合 A 中但不在集合 B，C 中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为 A U（B C） ，故选：C2 （5 分）已知 xC，若关于 x 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（ a，b，cR，a0）有一根为 1+i则该方程的另一根为（ ）A 1+i B1i C1 i D1【解答】解：根据实系数一元二次方程虚根成对原理可知：
11、该方程的另一根为1i故选：B3 （5 分）已知函数 f（x）=e 1+x+e1x，则满足 f（x2）e 2+1 的 x 的取值范围是（ ）Ax 3 B0x3 C1xe D1x3【解答】解：f（x）=e 1+x+e1x = ，令 t=ex，可得 y=e（t + ） ，内函数 t=ex 为增函数，而外函数 y=e（t + ）在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，函数 f（x ）=e 1+x+e1x 的减区间为（，0） ，增区间为（0 ，+） 又 f（x）=e 1+x+e1x 为偶函数，由 f（ x2）e 2+1，得 f（|x 2|）f （1） ，得|x2|1，解得 1x3故选：D4 （5
12、 分）已知数列a n为正项等比数列，且 a1a3+2a3a5+a5a7=4，则 a2+a6=（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：数列a n为正项等比数列，且 a1a3+2a3a5+a5a7=4，a 1a3+2a3a5+a5a7= =（a 2+a6） 2=4，数列a n为正项等比数列，a 2+a6=2故选：B5 （5 分）市场调查发现，大约 的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为 ，而实体店里的家用小电器的合格率约为 现工商局 12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的
13、可能性是（ ）A B C D【解答】解：大约 的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器合格率约为 ，故网上购买的家用小电器被投诉的概率为 （1 ）= ，又实体店里的家用小电器的合格率约为 实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为（1 ）（1 ）= ，故工商局 12315 电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性 P= = ，故选：A6 （5 分）已知：sin +cos= ，则 cos2+cos2 的取值范围是（ ）A 2，2 B ，2 C 2， D ， 【解答】解：sin +cos= ，可得：cos= sin，1 sin1可得： sin 1那
14、么：cos2+cos2=12sin 2+2cos21=2（cos 2sin2）=2（cos+sin） （cos sin）=2 （ 2sin）= 6sin，sin ， 1，则：6sin6 ，3，cos2+cos2= 6sin ， 故选：D7 （5 分）某篮球运动员 6 场比赛得分如表：（注：第 n 场比赛得分为 an）n 1 2 3 4 5 6an 10 12 8 9 11 10在对上面数据分析时，一部分计算如图算法流程图（其中 是这 6 个数据的平均数） ，则输出的 s 的值是（ ）A B2 C D【解答】解：由已知得， =10，n=1 时，s=0 ；n=2 时，s=0 +4=4；n=3 时，
15、s=4 +4=8，依此类推，执行 6 次循环体后 n=7，结束循环 s=10此时 = = 故选：C8 （5 分）已知： ，则 a6=（ ）A 28 B448 C112 D448【解答】解：令 t=x1，则 ，故 ，故选：A9 （5 分）某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为 l，则该多面体的外接球的表面积是（ ）A27 B C9 D 【解答】解：由三视图，可得，该几何体是底面为正方形的直三棱锥，补形可得（如图）正方体正方体边长为 a=3，外接球半径 r= = =外接球的表面积 S=4R2=27故选：A10 （5 分）已知抛物线 C：y 2=4x，过抛物线 C 焦点 F 的直线 l 交抛物
16、线 C 于A、B 两点（点 A 在第一象限） ，且交抛物线 C 的准线于点 E若 =2 ，则直线 l 的斜率为（ ）A3 B2 C D1【解答】解：分别过 A 和 D 两点做 AD、BC 垂直于准线，交准线于 D、C 两点垂足分别为 D，C ，由 =2 ，则 B 为 AE 的中点，丨 AB 丨=丨 BE 丨，则丨 AD 丨=2 丨 BC 丨，由抛物线的定义可知：丨 AF 丨=丨 AD 丨，丨 BF 丨= 丨 BC 丨，丨 AB 丨=3 丨 BC 丨，丨 BE 丨=3 丨 BC 丨，则丨 BE 丨=2 丨 BC 丨，tanCBE= =2 ，直线 l 的斜率 k=tanAFx=tanCBE=2 ，
17、故选：B11 （5 分）设 r 是方程 f（x）=0 的根，选取 x0 作为 r 的初始近似值，过点（x 0，f （x 0） ）做曲线 y=f（x）的切线 l，l 的方程为 y=f（x 0）+f（x 0） （x x0） ，求出 l 与 x 轴交点的横坐标 x1=x0 ，称 x1 为 r 的一次近似值过点（x 1，f （x 1） ）做曲线 y=f（x）的切线，并求该切线与 x 轴交点的横坐标 x2=x1，称 x2 为 r 的二次近似值重复以上过程，得 r 的近似值序列，其中， xn+1=xn ，称为 r 的 n+1 次近似值，上式称为牛顿迭代公式已知 是方程 x26=0 的一个根，若取 x0=2
18、 作为 r的初始近似值，则在保留四位小数的前提下， （ ）A2.4494 B2.4495 C2.4496 D2.4497【解答】解：f（x）=2x ， xn+1=xn =xn = + x0=2 时，x 1= + = =2.5x2= = =2.45，x3= = 2.4495 故选：B12 （5 分）已知函数 f（ x）= 在定义域（，+）上是单调增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ， B ， +） C ， D （ ， ）【解答】解：由于函数 f（x ）= 在定义域（，+）上是单调增函数，2aea，解得 a 排除 A，D，当 a=2 时，x=1 可得 ex2x2=e2；2a+lnx=4e
19、2，显然不成立排除 B故选：C二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知 P 是边长为 2 的正ABC 边 BC 上的动点，则 = 6 【解答】解：设 = ， = ， =t则 = = ， 2=4= 2， =22cos60=2 = + = +t =1t +t又 + = + + =1t +t + =1t 2+1t+t +t 2=1t4+2+t4=6故答案为 614 （5 分）某学生计划用不超过 50 元钱购买单价分别为 6 元、7 元的软皮和硬皮两种笔记本，根据需要软皮笔记本至少买 3 本，硬皮笔记本至少买 2 本，则不同的选购方式共有 7 种【解答】解：根据题意，设买 x 本
20、软皮笔记本，y 本硬皮笔记本，则有 ，当 x=3 时，y 可取的值为 2、3、4；当 x=4 时，y 可取的值为 2、3；当 x=5 时，y 可取的值为 2；当 x=6 时，y 可取的值为 2；当 x7 时，由于 y2，此时 6x+7y56，不能满足题意；共 7 种不同的选购方式；故答案为：715 （5 分）已知双曲线 C： （a0，b 0） ，其右焦点为 F（c，0） ，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆交曲线 C 于 A、B 两点，若 S 四边形OAFB= bc，则双曲线 C 的离心率 e= 【解答】解：可设 A（m， n） ， （m0，n 0） ，S 四边形 OAFB= bc，由双曲线
21、和圆的对称性可得，cn= bc，即 n= b，将 A 的坐标代入双曲线的方程可得， =1，可得 m= a，由直径所对的圆周角为直角，可得kOAkAC=1，即有 =1，可得 a2 ac+ b2=0，由 b2=c2a2，化为 3a22 ac+c2=0，可得 c= a，e= = 故答案为： 16 （5 分）已知：f （x ） = ，若方程f（x ） 2 f（x）+a=0 有四个不等的实根，则 a 的取值范围是 【解答】解：由 f（x）= ，得 f（x）= 当 x0 时，由 f（x）= ，得 f（x）= ，当 x0，1）时，f （x） 0，f（x）单调递增，当 x（1，+）时，f（x）0，f（x ）单
22、调递减，当 x0 时，由 f（x）= ，得 f（x ）= 0，f（x）单调递减，作出函数 f（x）= 的图象如图：令 f（x）=m，若方程f（x ） 2 f（x ）+a=0 有四个不等的实根，则关于 m 得方程 一个根在（0， ）内而另一个根大于 ，解得 0a a 的取值范围是： 故答案为： 三、解答题：（1721 题每题 12 分；22、23 题二选一 10 分）17 （12 分）ABC 的内角 A，B ，C 对应的边分别为 a，b ，c 已知：（1 tanA） （1tanB）=2（1）求角 C；（2）若 b=2 ，c=4，求ABC 的面积 SABC 【解答】解：（1）（1tanA） （1t
23、anB）=2，整理可得：tanAtanB1=tanA+tanB，tanC=tan（A+B）= = =1，C （0，）C= （2）b=2 ，c=4，由（1）可得 C= ，由正弦定理 ，可得：sinB= = = ，bc，可得：B= ，A=B C，ABC 的面积 SABC = bcsinA= sin（ + ）= 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，且平面PAD平面 ABCD，PAAB （1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）若 PA=PD=AD=DC，求二面角 APBC 的余弦值【解答】 （1）证明：在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD
24、，平面 PAD平面 ABCD=AD，在平面 PAD 内过 P 作 POAD，则 PO平面 ABCD，POAB，又 PAAB， POPA=P，AB平面 PAD，AB AD，又底面 ABCD 是平行四边形，四边形 ABCD 是矩形；（2）解：以 O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设 PA=PD=AD=DC=2，则 A（1，0 ， 0） ，B（1 ，2，0） ，C（1，2，0） ，P（0，0， ） ， ， 设平面 PAB 的一个法向量为 ，平面 PBC 的一个法向量为，由 ，取 ，得 ；由 ，取 ，得 cos = = = 由图可知，二面角 APBC 的平面角为钝角，其余弦值为 19 （12
25、 分）在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩 X 近似服从正态分布 N（70，100） 已知成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 16名（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（2）若该校计划奖励竞赛成绩在 80 分以上（含 80 分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？附：P（ |X|）=0.683，P （|X |2）=0.954 ，P （|X|3）=0.997 【解答】解：（1）设参赛学生的成绩为 X，因为 XN（70，100） ，所以=70，=10，则：= ，160.023696（人） 因此，此次参赛学生的总数约为 696 人（2）由 P（X 80）=P （X
26、 60）=0.1585，得 6960.1585110因此，此次竞赛获奖励的学生约为 110 人20 （12 分）设 M（x ，y ）与定点 F（1，0）的距离和它到直线 l1：x=3 的距离的比是常数 ，（1）求点 M 的轨迹曲线 C 的方程：（2）过定点 F 的直线 l2 交曲线 C 于 A、B 两点，以 O、A 、B 三点（O 为坐标原点）为顶点作平行四边形 OAPB，若点 P 刚好在曲线 C 上，求直线 l 2 的方程【解答】解：（1）由题意得 ，则 3（x1） 2+y2=（x3） 2，即 2x2+3y2=6， ，故曲线 C 的方程为 ；（2）设直线 l2 的方程为 x=my+1，P（x
27、 0，y 0） ，A（ x1，y 1） ，B（x 2，y 2） 联立 ，得（2m 2+3）y 2+4my4=0则 ， = ， P（x 0，y 0）在椭圆 上， ，即 2m2+3=4，得 m= 直线 l 2 的方程为 或 即 或 21 （12 分）已知：f （x）=（2x）e x+a（x 1） 2（aR ）（1）讨论函数 f（x）的单调区间：（2）若对任意的 xR，都有 f（x ）2e x，求 a 的取值范围【解答】解：（1）f（x）=（1x）e x+2a（x 1）= （x1） （2a ex） ，当 a0 时，函数在（，1）上递增，在（1，+）上递减；当 时，函数在（，ln2a ） ， （1，+
28、）上递减，在（ln2a，1）上递增；当 时，函数在（， 1） ， （ln2a ，+）上递减，在（1，ln2a）上递增；当 时，函数在 R 上递减；（2）由对任意的 xR，f （ x）2e x，即（2x）e x+a（x1） 22e x，当 x=1 时，e x+a（x1） 22e x，恒成立，当 x1 时，整理得：a ，对任意 xR 恒成立，设 g（ x）= ，求导 g（x ）= = ，令 g（x）=0，解得：x=1 ，当 x=1+ 附近时，当 x1+ ，g（x）0 ，当 1x 1 + ，f（x ）0，当 x=1+ 时取极小值，极小值为 ，当 x=1 附近时，当 x 1 ，g（x ）0，当 x1
29、，g（x）0，当 x=1 时取极小值，极小值为 ，由 ，g （x）的最小值为 ，由题意对任意的 xR，都有 f（x ）2e x，即 af（x ） 最小值 ，a 的取值范围（， 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为=2sin（1）在直角坐标系中，若以过原点的直线的倾斜角 为参数，求出曲线 C 的参数方程（2）求直线 l 与曲线 C 相交弦的最小值【解答】解
30、：（1）曲线 C 的极坐标方程为 =2sin，即 2=2sin，利用互化公式可得：x 2+y2=2y，配方为：x 2+（y 1） 2=1，圆心 C（0，1） ，半径 r=1可得参数方程： （ 为参数） （2）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，可得直线 l 经过定点 P当直线 lCP 时，直线 l 与曲线 C 相交弦的弦长最短为2 = 选修 4-5：不等式选讲23已知：f（ x）=|x+a|+|x 1|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）3 的解集；（2）若对任意的 xR，f （ x）3 恒成立，求 a 的取值范围【解答】解：（1）a=1 时，f （x）=|x +1|+|x1|，x1 时，x +1+x13，解得：x1.5，1 x1 时，x+1+1x3，成立，x1 时，x1x+13，解得： x 1.5，故不等式的解集是：（1.5，1.5） ；（2）若对任意的 xR，f （ x）3 恒成立，即 f（x） min3 恒成立，而 f（x）|x+ax+1|=|a+ 1|，故|a +1|3 ，解得：a2 或 a4
