1、2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数,主题1指数式与对数式的互化某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个以此类推.回答下列问题:1.1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞?分裂x次得到多少个细胞?,提示:分裂2次得到4个细胞,分裂x次得到2x个细胞.,2.分裂多少次可得到8个,16个呢?如何求解?提示:设分裂x次可得到8个,即2x=8=23,故x=3,所以分裂3次可得到8个,同理由2x=16可得x=4,3.若ax=N,如何表示x呢?提示:x=logaN.,结论:1.对数的定义如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作_,其中_叫做对数的底数,_叫做真数
2、.,x=logaN,a,N,2.常用对数与自然对数(1)以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N简记作_.(2)以e为底的对数称为自然对数,并把logeN记作_.,lgN,lnN,【微思考】1.任何一个指数式都可以化成对数式吗?提示:不是,如(-2)3=-8,不能写为log(-2)(-8)=3.,2.在对数的定义中为什么不能取a0及a=1呢?提示:a0且a1)中无论x取什么值,N总大于0,故零和负数无对数.,2.根据对数的定义以及对数与指数的关系,你能求出loga1及logaa的值吗?提示:设loga1=x,则ax=1=a0,故x=0,即loga1=0,同理logaa=1.,3.根据对数
3、的定义,你能推出对数恒等式 =N吗?提示:因为ax=N,x=logaN,所以 =N.,结论:对数的性质及对数恒等式,零,负数,0,loga1=0,1,logaa=1,N,【微思考】用 (a0,且a1,N0)化简求值的关键是什么?,提示:用 (a0,且a1,N0)化简求值的关键是凑准公式的结构,尤其是对数的底数和幂底数要一致,为此要灵活应用幂的运算性质.,【预习自测】1.若a2=M(a0且a1),则有()A.log2M=aB.logaM=2C.loga2=MD.log2a=M,【解析】选B.由对数的意义知,若a2=M,则logaM=2.,2.loge1=()A.1B.0C.2D.-1【解析】选B
4、.设loge1=x,则ex=1=e0,故x=0.,3.已知logx16=2,则x=()A.4B.4C.256D.2【解析】选A.因为logx16=2,所以x2=16(x0),故x=4.,4. =_.【解析】由对数恒等式知, =2.答案:2,5.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.(1)102=100.(2)lna=b.(3)73=343.(4)log6 =-2.,【解析】(1)102=100lg100=2.(2)lna=beb=a.(3)73=343log7343=3.(4)log6 =-26-2= .,类型一指数式与对数式的互化【典例1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.,【解
5、题指南】利用ax=Nx=logaN进行互化.,【解析】(1)因为3-2= ,所以log3 =-2.(2)因为 =16,所以lo 16=-2.(3)因为lo 27=-3,所以 =27.(4)因为lo 64=-6,所以 =64.,【方法总结】1.指数式与对数式互化的方法技巧(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.(2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.,2.互化时应注意的问题(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时,要注意字母的位置改变.(2)对数式的书写要规范:底数a要写在符号“log”的右下角,真数正常表示.
6、,【巩固训练】将下列各等式化为相应的对数式或者指数式.(1)10-3= .(2)ln2=x.,【解析】(1)因为10-3= ,所以lg =-3.(2)因为ln2=x,所以ex=2.,【补偿训练】把下列各等式化为相应的指数式或对数式.(1)lg0.01=-2.(2)3-4= .,【解析】(1)因为lg0.01=-2,所以10-2=0.01.(2)因为3-4= ,所以log3 =-4.,类型二对数的计算【典例2】求下列各式中x的值.(1)logx27= . (2)log2x=- .(3)x=log27 .(4)x=lo 16.,【解题指南】将所给的对数式化为指数式,然后借助指数的运算求解.,【解析
7、】(1)因为logx27= ,所以 =27,即x= =32=9.(2)因为log2x=- ,所以 =x,即x= (3)因为x=log27 ,所以27x= ,即33x=3-2,所以x=- .(4)因为x=lo 16,所以 =16,所以2-x=24,所以x=-4.,【方法总结】求对数值的三个步骤(1)设:设出所求对数值.(2)化:把对数式转化为指数式.(3)解:解有关方程,求得结果.,【巩固训练】求下列各式中x的值.(1)lo 9=x.(2)-lne2=x.,【解析】(1)因为lo 9=x,所以 =9= ,所以x=4.(2)因为-ln e2=x,所以ln e2=-x,即e-x=e2,所以-x=2,
8、即x=-2.,【补偿训练】若lo 81=x,求x的值.,【解析】因为lo 81=x,所以 =81,即 =81=34,所以x=16.,类型三对数的性质及对数恒等式【典例3】(2017广州高一检测)已知log5(log3(log2a)=0, 计算 的值.,【解题指南】利用已知条件及对数的性质,先求出a的值,然后借助对数恒等式即可求出原式的值.,【解析】因为log5(log3(log2a)=0,所以log3(log2a)=1,即log2a=3.所以a=23=8.所以原式= =a2=64.,【延伸探究】1.本例条件不变,试求 的值.【解析】由条件知a=8,原式= =8 =836=288.,2.已知 试
9、求 的值.【解析】因为 所以所以原式=,3.本例条件不变,试求 的值.【解析】由例可知a=8,所以原式,【方法总结】1.利用对数性质求解的两类问题的解题方法(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值.(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解.,2.对数恒等式 的应用(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可.(2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.,【补偿训练】计算.(1)已知lg(lnx)=0,求x.(2),【解析】(1)由lg(lnx)=0得lnx=1,所以x=e.,【课堂小结】1.知识总结,2.方法总结(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化.(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数式的化简与求值.,
