1、1旋转 1. 已知正方形 中， 为对角线 上一点，过 点作 交 于 ，连接 ， 为ABCDEBDEFBDCFDG中点，连接 FG，（1）直接写出线段 与 的数量关系；（2）将图 1 中 绕 点逆时针旋转 ，如图 2 所示，取 中点 ，连接 ， BEF45FGE，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图 1 中 绕 点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明） 图3图2 图1FEAB CDAB CDE FGGFEDCBA【例 1】 如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA，OD 到点 F、E，使 OF
2、=2OA，OE=2OD，连接 EF将EOF 绕点 O 逆时针旋转 角得到E1OF1，如图 2（1 ）探究 AE1 与 BF1 的数量关系，并给予证明；（2 ）当时 =30，求证：AOE1 为直角三角形；（3 ）判断EOF 在旋转过程中与正方形 ABCD 重合部分的面积是否改变？如果改变，分别写出重合面积的最大值和最小值各是多少；如果不变，请说明理由2【例 2】 用如图，所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出） ，完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC 和 ED 重合） ，在 BC 边上有一动点 P（1）当点 P 运动到CFB 的角平分线上时，连接 AP，求线
3、段 AP 的长；（2）当点 P 在运动的过程中出现 PA=FC 时，求PAB 的度数探究二：如图，将DEF 的顶点 D 放在ABC 的 BC 边上的中点处，并以点 D 为旋转中心旋转DEF，使DEF 的两直角边与ABC 的两直角边分别交于 M、N 两点，连接 MN在旋转DEF 的过程中，AMN 的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由【例 3】 （2010 顺义区）在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 D 为 AC 的中点（1 ）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得到线段 DF，连接 CF，过点 F 作 FHFC，
4、交直线 AB 于点 H判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明；（2 ）如图 2，若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点， （1 ）中的其他条件不变，你在（ 1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明3【例 4】 （2009 河北）在图 1 至图 3 中，点 B 是线段 AC 的中点，点 D 是线段 CE 的中点四边形BCGF 和 CDHN 都是正方形AE 的中点是 M（1 ）如图 1，点 E 在 AC 的延长线上，点 N 与点 G 重合时，点 M 与点 C 重合，求证：FM=MH，FM MH ；（2 ）将图 1 中的 CE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，得到图 2，求证：
5、FMH 是等腰直角三角形；（3 ）将图 2 中的 CE 缩短到图 3 的情况， FMH 还是等腰直角三角形吗？ 【例 5】 （2011 广州）如图 1，O 中 AB 是直径，C 是O 上一点，ABC=45，等腰直角三角形DCE 中DCE 是直角，点 D 在线段 AC 上(1) 证明：B、C、E 三点共线；(2) 若 M 是线段 BE 的中点，N 是线段 AD 的中点，证明：MN= OM；2(3) 将DCE 绕点 C 逆时针旋转 （0 90）后，记为 D1CE1(图 2)，若 M1 是线段 BE1 的中点，N 1是线段 AD1 的中点，M 1N1= OM1 是否成立？若是，请证明：若不是，说明理
6、由24【例 6】 （2012 深圳 16）如图 6，Rt ABC 中，C= 90o，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点 O，连接 OC，已知 AC=5，OC=6 2，则另一直角边 BC 的长为 【例 7】 （2007 牡丹江）已知四边形 ABCD 中，AB=BC ，ABC=120 ，MBN=60，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC （或它们的延长线）于 E，F（1 ）当MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1） ，求证 AE+CF=EF；当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF 又有怎样的数量关系？
