B04 江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试卷解析版.doc

1、南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分 160 分，考试时间 120 分钟)注意事项：1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上参考公式：锥体体积公式： ，其中 为底面积, 为高；13VShh柱体体积公式： ，其中 为底面积, 为高.样本数据 的方差 ，其中 .12,nx221()niisx1nix一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 .

2、 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在答 题 纸 的 指 定 位 置 上 ）1已知集合 ， ，则 .,0A(,)BABI2设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为 .z(1i)2iz3已知样本数据 的方差 ，则样本345,xx23s数据 的方差为 .12,4如图是一个算法流程图，则输出的 x 的值是 .5在数字 1、2、3、4 中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 .6已知实数 满足 ，则 的最小值是 .,xy072yx 开始 结束x 1y 9xyxx +4yy-2否 是 输出x第 4题图7设双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则该双曲线的离心率为

3、21(0)xya30 .8设 是等差数列，若 ，则 .na456219S9将函数 的图象向右平移 （ ）个单位后，所得函数为偶3si(2)yx02函数，则 .10将矩形 绕边 旋转一周得到一个圆柱， ， ，圆柱上底面圆ABCD3ABC心为 ， 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥 体积的最大OEFG OEFG值是 .11在 中，已知 ， ，则 的最大值为 .3Cur12如图，在平面直角坐标系中，分别在 轴与直线 上从左向右依次取点x31yx、 ， ，其中 是坐标原点，使 都是等边三角形，则kAB1,21A1kAB的边长是 10 .13在平面直角坐标系 中，已知点 为函数 的图象与圆xOyP

4、2lnyx的公共点，且它们在点 处有公切线，若二次函数 的22:(3)Mxr ()yfx图象经过点 ，则 的最大值为 .,P()yfx14在 中， 所对的边分别为 ，若 ，则 面积ABC,abc228cABC的最大值为 A1 A2 A3 A4B1B2B3xy第 12 题图二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 中， ， , 分别是 , 的中点1ABCBACDEABC（1）求证： 平面 ；1DE（2）求证：平面 平面 116(本小题满分 14 分)在 中， , , 分

5、别为内角 , , 的对边，且 ABCabcABCsin2ibCcB（1）求角 ；（2）若 ，求 的值.3sin()5sinABCA1B1C1DE第 15 题图17. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 中，已知圆 经过椭圆xOy22:xyb2:14xyEb的焦点.(02)b（1）求椭圆 的标准方程；E（2）设直线 交椭圆 于 两点， 为弦 的中点，:lykxmE,PQTP，记直线 的斜率分别为 ，当 时，(,0)(1,MNTMN12,k21mk求 的值.12klTPOyxQ第 17 题图18(本小题满分 16 分)如图所示，某街道居委会拟在 地段的居民楼正南方向的空白地段 上建一个活EF

6、AE动中心，其中 米活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心30A的截面图的下部分是长方形 ，上部分是以 为直径的半圆. 为了保证居民楼BCDC住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过 米，其中该太阳光线与水平线的夹角 满足 .GE2.53tan4（1）若设计 米， 米，问能否保证上述采光要求？18A6（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计 与 的长度，可使得活动中心ABD的截面面积最大？（注：计算中 取 3）F第 18 题图A B EDGC南 居民楼活动中心19(本小题满分 16 分)设函数 ， （ ）.(lnfx1()3agxR（1）当

7、时，解关于 的方程 （其中 为自然对数的底数） ；2a()0xee（2）求函数 的单调增区间；()xf（3）当 时，记 ，是否存在整数 ，使得关于 的不等式()hxg x有解？若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由 .()x（参考数据： ， ）ln20.6931ln.098620(本小题满分 16 分)若存在常数 、 、 ，使得无穷数列 满足*(,2)kNqdna则称数列 为“段比差数列” ，其中常数 、 、 分别叫1,nadqknakqd做段长、段比、段差. 设数列 为“段比差数列”.nb（1）若 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、 、3.nb q当 时，求 ；0q2016当

8、时，设 的前 项和为 ，若不等式 对 恒nb33nS13nSN成立，求实数 的取值范围；（2）设 为等比数列，且首项为 ，试写出所有满足条件的 ，并说明理由.nb nb南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）21选做题 （在 A、B、C、 D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修 4-1：几何证明选讲）如图， 是半圆 的直径，点 为半圆 外一点， 分别交半圆 于点OPO,PABO.若 ， ， ，求 的长.,DC24D3CDB.（选修 4-2：矩阵与变换）设矩阵

9、的一个特征值 对应的特征向量为 ，求 与 的值. 23mM12mC （选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系 中，已知直线 为参数). 现以坐标原点 为极点，xOy35:(4xtlyO以 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆 的极坐标方程为 ，直线 与x C2cosl圆 交于 两点，求弦 的长.C,ABD(选修 4-5：不等式选讲）A BCPDO第 21(A)图若实数 满足 ，求 的最小值.,xyz21yz22xyz必做题 （第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内）22 （本小题满分 10 分）某年级星期一至星期五每天下午排 3 节课，每天下

10、午随机选择 1 节作为综合实践课（上午不排该课程） ，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为 X，求 X 的概率分布表与数学期望 E(X).23 （本小题满分 10 分）设 ， ， .*nN3*k（1）求值： ；1knC （ ） ；221kknnC2（2）化简： .20131knn nC南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.参考答案与解析一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题

11、 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在答 题 纸 的 指 定 位 置 上 ）1 【答案】 【命题立意】本题考查集合交集的运算，考查概念的理解与运算能力，难度较小。【解题思路】AB= 。1【归纳总结】解决含有不等式的集合的运算或关系问题，往往通过数轴进行数形结合，利用数轴加以直观分析与求解。2 【答案】-1【命题立意】本题考查复数的相关概念与四则运算，考查概念的理解与运算能力，难度较小。【解题思路】由于 ，则 z 的虚部为-1。21izi【方法技巧】正确的复数四则运算是解决此类复数概念或几何意义问题的关键，要做到细心准确。3 【

12、答案】12【命题立意】本题考查统计中的方差的运算，考查概念的理解与运算能力，难度较小。【解题思路】根据统计中的方差的公式可得 12。2222221 1()()()()n nSxxxxxn 4 【答案】9【命题立意】本题考查算法的程序框图及其应用，考查数形结合思想，概念的理解与运算能力，难度较小。【解题思路】开始时，x=1，y=9，此时不满足条件 xy 可得 x=5,y=7；接下来有 x=5,y=7, 此时不满足条件 xy 可得 x=9，可得 y=5，此时满足条件 xy,结束循环，输出 x=9。【归纳总结】正确分析对应的程序框图中算法的表达内容，并结合等式的运算及条件的识别来确定输出问题在处理算

13、法问题中，经常会碰到给定输入不同的值，通过程序框图的分析或读图，剖析其结果，达到对应运算的目的，得到对应的输出结果5 【答案】 6【命题立意】本题考查古典概型，考查概念的理解与运算能力，难度较小。【解题思路】从 1，2，3，4 这四个数中选择两个数，有如下情况：（1，2） ， （1，3） ，（1，4） ， （2，1） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，1） ， （3，2） ， （3，4） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，3） ，两个数中至少有一个偶数的有 10 种，根据古典概型可得所求的概率为 P= = 。056【规律总结】涉及古典概型的概率问题，要找出随机事件 A 包含的基

14、本事件的个数和试验中基本事件的总数注意不要出现遗漏或重复。6 【答案】 34【命题立意】本题考查线性规划，考查概念的理解与运算能力，难度较小。【解题思路】作可行域，根据图象可得，过点 ，对应的值最小即4,334【规律总结】根据题意作出正确的可行域，理解题意所求的值的含义，是解题的关键。7 【答案】 23【命题立意】本题考查双曲线的定义与几何性质，双曲线的离心率，考查概念的理解与运算能力，难度较小。【解题思路】根据双曲线渐近线的公式，可得 ， ，解得 ，1yxa03tn3a则离心率 。23abe【易错剖析】关键是熟练双曲线的性质及离心率的公式，否则容易出错。8 【答案】63【命题立意】本题考查等

15、差数列的性质与前 n 项和公式，等差中项，考查概念的理解与运算能力，难度较小。【解题思路】数列a n是等差数列，由于 a4，a 5，a 6 成等差数列，则有 2a5=a4+a6，可得a5=7， 。1959 32aS9.【答案】 512【命题立意】本题考查三角函数的图象与性质，考查概念的理解与运算能力，难度较小。【解题思路】根据三角函数的图象与性质知函数的图象向右平移 个单位可得，根据题意所得函数为偶函数，即 ，解得3sin23yx 23k，令 ，得 。1k152【方法技巧】正确掌握三角函数的图象与性质是解决此类问题的突破口。10 【答案】4【命题立意】本题考查圆柱的性质，空间几何体的体积，考查

16、概念的理解与运算能力，空间想象能力，难度较小。【解题思路】由题可得 的斜边过底面圆圆心，设 EG,FG 为直角边 a,b,根据题意可得EFG， ，解得 ，当且仅当 ，三棱锥 A216ab216aba8b2abEFG 的的体积为 V= ab 34。3【方法技巧】正确识别空间几何体的性质是解决相应体积、表面积的关键。11 【答案】 2【命题立意】本题考查平面向量的数量积及其应用，可运用向量的加、减法将已知向量分解，用数量积和解三角形知识求解，也可利用余弦定理和基本不等式求解概念的理解与运算能力，难度中等。【解题思路】方法一由正弦定理的 ，过 C 作 CDAB，则有2sinABR，如图，当点 D 与

17、点 A 重合时，CDCAB=DC=D（ )(）取最大值 ,DADB 取最小值 0,3232方法二设 CA= ，CB= ，由余弦定理可得 ，ba222cos33ABabab当且仅当 等号成立，232,a。13cos2CABb12 【答案】512【命题立意】本题考查直线方程，等比数列公式，归纳推理，考查运算能力，难度中等。【解题思路】设直线 的方程为： ，与直线 联立解得，1AB3yx31yx点 ，根据题意得 是等边三角形， ， ,直线12x3,12A12A20的方程为 与直线 联立解得， ，根据题意可得点2AByx3yxx， ，以此类推， ，则3,02312,0nA1991 513【答案】 8【

18、命题立意】本题考查圆的方程，导数的几何意义，二次函数最值，考查运算能力，难度中等。【解题思路】设点 P 的坐标为 ，函数 在点 P 处的切线方程为：0,xy2lnx，圆 M 在点 P 处的切线方程为： ，根据题0022xy2003yr意切线重合，即 ，解得， ，即0022139xyxr2003xy，点 P 是二次函数 上的点，又 过点2001y1132xO,M，由题意得二次函数 ，当 时，二次函数的最大值为 32fx2x9814 【答案】 25【命题立意】本题考查圆的方程，导数的几何意义，二次函数最值，考查运算能力，难度中等。【解题思路】由三角形面积公式可得 , ,1sin2SabC2221c

19、os4SabC，因为 ，所以 ，222214abcS28c2282 22 222 2 23131446cababab，当且仅当 时，等号成立，22 28351616abcc当 时， 取得最大值 ， 的最大值为 5c24S25二、 解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15 【命题立意】本题旨在考查空间线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，考查逻辑思维能力与空间想象能力，难度中等证明：（1）因为 , 分别是 , 的中点，所以 ， .2 分DEABC/DEBC又因为在三棱柱 中， ，所以 . .4 分11/1又 平

20、面 ， 平面 ，所以 平面 . .6 分1BC1A（2）在直三棱柱 中， 底面 ，1ABC1BC又 底面 ，所以 . .8 分DEDE又 ， ，所以 ， .10 分BCA/DEBCEA又 平面 ，且 ，所以 平面 .12 分1,11CDE1AC又 平面 ，所以平面 平面 .141 1分（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明 平面 ，类似给分）E1AC16 【命题立意】本题旨在考查正弦定理的运用，同角三角函数关系，两角差的正弦公式，考查计算能力，难度较小解：（1）由 ，根据正弦定理，得 ， sin2ibCcB2sincosinsBCB2 分因为 ，所以 ， 4 分i0,i1cosC又

21、，所以 . 6 分()3（2）因为 ，所以 ，所以 ，3C2(,)B(,)3B又 ，所以 . 8 分sin()524cos1sin5又 ，即 ，23AA所以 sini()Bsin()sinco()csin()333BB14 分4125017 【命题立意】本题旨在考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查运算能力、演绎论证（分析法证明）能力，难度中等.解：（1）因 ，所以椭圆 的焦点在 轴上，02bEx又圆 经过椭圆 的焦点，所以椭圆的半焦距 ， 3 分2:Oxycb所以 ，即 ，所以椭圆 的方程为 . 6 分24b2214xy（2）方法一：设 ， ， ，1(,)Pxy2(,)Q0(,)T联

22、立 ，消去 ，得 ，214xykmy22(1)440kxm所以 ，又 ，所以 ，122x212xk所以 ， ， 10 分001ky则 . 14 分12 2214()1mkkmk方法二：设 ， ， ， 则 ，1(,)Pxy2(,)Q0(,)Txy2124xy两式作差，得 ，1212121204又 ， ， ，120x120y12012xy，012y又 ， 在直线 上， ， ，(,)Px2(,)Qykxm12ykx02xy又 在直线 上， ，0,T0由可得 ， . 10 分21kx21yk以下同方法一.18 【命题立意】本题旨在考查直线与圆相切，考查不等式，考查二次函数求最值，考查实际问题转化成数学

23、问题的能力，考查解决实际问题推理的能力与计算能力等难度小.解：如图所示，以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系（1）因为 ， ，所以半圆的圆心为 ，18B6D(9,6)H半径 设太阳光线所在直线方程为 ，9r 34yxb即 ， .2 分340xybA B ED HGC第 18 题南 xy则由 ，解得 或 （舍）.2|74|93b243b故太阳光线所在直线方程为 ， .5 分yx令 ，得 米 米.0x1.5EG2所以此时能保证上述采光要求. .7 分（2）设 米， 米，则半圆的圆心为 ，半径为 ADhBr(,)Hrhr方法一：设太阳光线所在直线方程为 ，34yxb即

24、，由 ，340xyb2|rhr解得 或 （舍）. .9 分2hr故太阳光线所在直线方程为 ， 34yxhr令 ，得 ，由 ，得 . .1130x52EGrEG25r分所以 222133()Srhrhrr.2550(0)50当且仅当 时取等号.1r所以当 米且 米时，可使得活动中心的截面面积最大. .16ABD分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长 EG 恰为 米，则此时点 为2.5G，(30,2.5)设过点 G 的上述太阳光线为 ，则 所在直线方程为 y (x30)，1l52 34即 .10 分3410xy由直线 与半圆 H 相切，得 l |340|5rh而点 H(r，h) 在直线 的

25、下方，则 3r4h1000，1l即 ，从而 .13 分34105rh25hr又 .23()Sr2250(10)50r当且仅当 时取等号.10r所以当 米且 米时，可使得活动中心的截面面积最大. .16AB5D分19 【命题立意】本题旨在考查考查解一元二次方程，利用导数研究函数的性质（单调性和最值） ，不等式恒成立问题，构造函数，运用函数的思想求解，考查运算和推理能力，难度较大.解：（1）当 时，方程 即为 ，去分母，得2a()0xge1230xe，解得 或 ， 2 分()31xxe故所求方程的根为 或 . 4 分lnx（2）因为 ，1()()3(0)axfgx所以 （ ）62 21()1()a

26、xax0分当 时，由 ，解得 ；0a()0xx当 时，由 ，解得 ；11a当 时，由 ，解得 ；()x0x当 时，由 ，解得 ；a0当 时，由 ，解得 .0()x 1ax综上所述，当 时， 的增区间为 ；(0,)当 时， 的增区间为 ；1a()x,)时， 的增区间为 . .10 分1(a（3）方法一：当 时， ， ，)3gx()3lnhxx所以 单调递增，3()ln1hxx， ，3l2023()ln210h所以存在唯一 ，使得 ，即 .12 分03,x0()x03ln1x当 时， ，当 时， ，0(,)()h0,()h所以 ，20min00 003)393ln()16()xxxxx记函数 ，则

27、 在 上单调递增， 14 分9()6()r)r,2所以 ，即 ，0322hx0()hx由 ，且 为整数，得 ，所以存在整数 满足题意，且 的最小值为 . .16 分 方法二：当 时， ，所以 ，1a()3gx()3lnhxx由 得，当 时，不等式 有解， .12 分()0h2下证：当 时， 恒成立，即证 恒成立.()hx()l2x显然当 时，不等式恒成立，(,13x只需证明当 时， 恒成立.)()ln2x即证明 .令 ，2ln03x3mx所以 ，由 ，得 ， 14 分2189()()()m()047x当 ， ；当 ， ；,47x0x47,3m所以 .max 121()ln()ln(4)ln03

28、 所以当 时， 恒成立.1(2hx综上所述，存在整数 满足题意，且 的最小值为 . .16 分020 【命题立意】本题旨在考查等差数列、等比数列的性质，考查分离参数解不等式，构造数列运用作差法判断数列的单调性求最值，考查归纳推理能力，计算能力等难度中等.（1） 方法一： 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、0、3，nb， ， . 320142013201543b2656b分方法二： 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、0、3，nb ， ， ， ， ， ，12437430b54b653b，760当 时， 是周期为 3 的周期数列.nn . 3 分2016b方法一： 的首项、段长、段比、段

29、差分别为 1、3、1、3，n ，3213313 3126n nnnnndbqdbqdbd 是以 为首项、6 为公差的等差数列，b24又 ，31313131nnnn24562Sbbb， 6 分25313 93n n， ，设 ，则 ，3nS1nS31nScmaxnc又 ，2 221 119393nnnnc 当 时， ， ；当 时， ， ，2012c201nc ， ， 9 分123cmax4n ，得 . 10 分41,方法二： 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、1、3，nb ， ， 是首项为 、公差为3133126nnbdnb37b6 的等差数列， ，236317634nbn易知 中删掉 的项

30、后按原来的顺序构成一个首项为 1 公差为 3 的等差数列，n3nb，2124532126nnb n， 6 分369nS以下同方法一.（2）方法一：设 的段长、段比、段差分别为 、 、 ，nbkqd则等比数列 的公比为 ，由等比数列的通项公式有 ，n1kq1nbq当 时， ，即 恒成立， 12 分mN21kmkbd1kmkkmbqd若 ，则 ， ；q0n若 ，则 ，则 为常数，则 ， 为偶数， ，11kmqbkm1qk2db；nnb经检验，满足条件的 的通项公式为 或 . 16 分nnb1nnb方法二：设 的段长、段比、段差分别为 、 、 ，n kqd若 ，则 ， ， ， ，2k1b2d34dq

31、由 ，得 ；由 ，得 ，13q24b2b联立两式，得 或 ，则 或 ，经检验均合题意. 01dn1nn13 分若 ，则 ， ， ，3k1b2d32bd由 ，得 ，得 ，则 ，经检验适合题意.210nb综上，满足条件的 的通项公式为 或 . nbnb1nnb16 分附加题答案21.A、 【命题立意】本题旨在考查切割线定理考查运算求解能力，难度较小解：由切割线定理得： PDACB则 ，解得 ， 4 分4(2)3()5又因为 是半圆 的直径，故 , 6 分ABO2则在三角形 PDB 中有 . 10 分34162PBB、 【命题立意】本题旨在考查矩阵特征值特征向量的关系，考查运算求解能力，难度较小解：

32、由题意得 ， 4 分 2132m则 ， 8 分426解得 ， . 10 分0C、 【命题立意】本题旨在考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式，考查计算能力难度较小.解：直线 为参数)化为普通方程为 ， 2 分35:(4xtly 034yx圆 的极坐标方程 化为直角坐标方程为 ， 4 分C2cos12y则圆 的圆心到直线 l 的距离为 ， 6 分C543422d所以 . 10 分5612dABD、 【命题立意】本题旨在考查柯西不等式的解法，难度较小解：由柯西不等式，得 ，2222()(1)()xyzxyz即 ， 5 分21xyzz又因为 ，所以 ，622yx当且仅当 ，

33、即 时取等号.12z1,3综上， . 10 分6minyx22 【命题立意】本题旨在考查互斥事件的概率，离散型随机变量的二项分布与数学期望考查运算能力，难度中等.解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为 . 321P4 分（2）由题意得 ， . 6 分1(5,)3XB5512(),0,23453kkPXkC所以 X 的概率分布表为：X 0 1 2 3 4 5P 324830410238 分所以，X 的数学期望为 . 10 分15()3EX23.【命题立意】本题主要考查推理与证明，简单的计算及其应用，排列与组合，二项式定理，考查学生逻辑推理能力与运算能力，难度较大。解：（1） 1

34、 1!kn nnCkk 2 分!0k 2212 2!11kkknnn nnCCkk !k!k nk. 4 分!102n（2）方法一：由（1）可知当 时2k2221kkkknnnCCC. 6 分21123kkknnnnC故 22013 20121212 1n nnn nCC LL3nCL43. 10 分25n方法二：当 时，由二项式定理，有 ，3121n knnnxCxCx 两边同乘以 ，得 ，x123111n knnnx 两边对 求导，得，6 分 11213nn knn nCCxCx 两边再同乘以 ，得x，1212311nn knnnnxx 两边再对 求导，得x12xx. 8 分22123knnnnCCxC 令 ，得x11，22212knn n即 .10 分0311kn nCC 254n