1、3.1.2 两条直线平行与垂直的判定1理解两条直线平行或垂直的判断条件(重点)2会利用斜率判断两条直线平行或垂直(难点)3能利用直线的斜率来判断含字母参数的两直线的平行或垂直(易错点)基础初探教材整理 1 两条直线平行与斜率的关系阅读教材 P86“练习”以下至 P87“例 3”以上部分，完成下列问题设两条不重合的直线 l1，l 2，倾斜角分别为 1， 2，斜率存在时斜率分别为k1，k 2.则对应关系如下：前提条件 1 290 1 290对应关系 l1l 2 k1k 2 l1l 2两直线斜率都不存在图示判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若两条直线斜率相等，则两直线平行( )(2)若 l1
2、l 2，则 k1k 2.( )(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交( )(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行( )【解析】 (1)、(4) 中两直线有可能重合，故 (1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2) 错误；(3) 正确【答案】 (1) (2) (3) (4)教材整理 2 两条直线垂直与斜率的关系阅读教材 P88“例 5”以上部分，完成下列问题对应关系l1 与 l2 的斜率都存在，分别为 k1，k 2，则l1l 2k 1k21l1 与 l2 中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则 l1 与 l2的位置关系是 l1l 2图示直线
3、 l1，l 2 的斜率是方程 x23x10 的两根，则 l1 与 l2 的位置关系是( )A平行 B重合C相交但不垂直 D垂直【解析】 设两直线的斜率分别为 k1，k 2，则 k1k21，故 l1 与 l2 垂直【答案】 D小组合作型两条直线平行的判定根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平行(1)l1 经过点 A(2,1)，B (3,5)，l 2 经过点 C(3，3)，D(8，7)；(2)l1 经过点 E(0,1)，F (2，1)，l 2 经过点 G(3,4)，H(2,3)；(3)l1 的倾斜角为 60，l 2 经过点 M(1， )，N(2， 2 )；3 3(4)l1 平行于
4、 y 轴，l 2 经过点 P(0，2)，Q(0,5)【精彩点拨】 先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行【自主解答】 (1)由题意知，k 1 ，k 2 ，所以5 1 3 2 45 7 38 3 45直线 l1 与直线 l2 平行或重合，又 kBC ，故 l1l 2.5 3 3 3 43 45(2)由题意知，k 1 1，k 2 1，所以直线 l1 与直线 l2 平行或 1 1 2 0 3 42 3重合，k FG 1，故直线 l1 与直线 l2 重合4 13 2(3)由题意知，k 1tan 60 ，k 2 ，k 1k 2，所以直
5、线 l13 23 3 2 1 3与直线 l2 平行或重合(4)由题意知 l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l 2 的斜率也不存在，恰好是 y轴，所以 l1l 2.1判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行因为斜率相等也可以推出两条直线重合2应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解再练一题1已知 P( 2，m)，Q(m, 4)，M(m2,3)，N(1,1)，若直线 PQ直线 MN，求 m 的值. 【解】 当 m2 时，直线 PQ 的斜率
6、不存在，而直线 MN 的斜率存在，MN 与 PQ 不平行，不合题意；当 m1 时，直线 MN 的斜率不存在，而直线 PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当 m2 且 m1 时，k PQ ，4 mm 2 4 mm 2kMN .3 1m 2 1 2m 1因为直线 PQ直线 MN，所以 kPQk MN，即 ，解得 m0 或 m1.4 mm 2 2m 1当 m0 或 1 时，由图形知，两直线不重合综上，m 的值为 0 或 1.两条直线垂直的判定(1)l 1 经过点 A(3,2)，B (3，1)，l 2 经过点 M(1,1)，N(2,1)，判断 l1与 l2 是否垂直；(2)已知直线 l1
7、 经过点 A(3，a)，B(a2,3)，直线 l2 经过点 C(2,3)，D( 1， a2)，若 l1l 2，求 a 的值【精彩点拨】 (1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为 0，若为 0，则垂直；(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于1 求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为 0 求解【自主解答】 (1)直线 l1 的斜率不存在，直线 l2 的斜率为 0，所以 l1l 2.(2)由题意，知 l2 的斜率 k2 一定存在，l 1 的斜率可能不存在当 l1 的斜率不存在时，3a2，即 a5，此时 k20，则 l1l 2，满
8、足题意当 l1 的斜率 k1 存在时，a5，由斜率公式，得k1 ，k 2 .3 aa 2 3 3 aa 5 a 2 3 1 2 a 5 3由 l1l 2，知 k1k21，即 1，解得 a0.3 aa 5 (a 5 3)综上所述，a 的值为 0 或 5.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法1一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步2二代：就是将点的坐标代入斜率公式3三求：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论再练一题2(1)l 1 经过点 A(3,4)和 B
9、(3,6)，l 2 经过点 P(5,20)和 Q(5,20)，判断 l1 与 l2是否垂直；(2)直线 l1 过点 (2m,1)，( 3，m)，直线 l2 过点(m，m )，(1，2)，若 l1 与 l2垂直，求实数 m 的值【解】 (1)直线 l1 的斜率不存在，直线 l2 的斜率为 0，l 1l 2.(2)当两直线斜率都存在，即 m 且 m1 时，有 k1 ，k 232 1 m2m 3.m 2m 1两直线互相垂直， 1.m1.1 m2m 3 m 2m 1当 m1 时，k 10，k 2 不存在，此时亦有两直线垂直当 2m3，m 时，k 1 不存在，k 2 ，l 1 与 l2 不垂32 m 2
10、m 1 32 2 32 1 15直综上可知，实数 m1.探究共研型直线平行与垂直的综合应用探究 1 已知ABC 的三个顶点坐标 A(5，1) ，B (1,1)，C(2,3) ，你能判断ABC 的形状吗？【提示】 如图，AB 边所在的直线的斜率 kAB ，BC 边所在直线的斜12率 kBC2.由 kABkBC1 ，得 ABBC，即ABC 90.ABC 是以点 B 为直角顶点的直角三角形探究 2 已知定点 A(1,3) ，B (4,2)，以 A，B 为直径作圆，若圆与 x 轴有交点 C.如何确定点 C 的坐标？【提示】 以线段 AB 为直径的圆与 x 轴的交点为 C，则 ACBC .设 C(x,0
11、)，则 kAC ，k BC ，所以 1，得 x1 或 2，所以 C(1,0)或 3x 1 2x 4 3x 1 2x 4(2,0)已知四点 A(4,3)，B(2,5) ，C (6,3)，D(3,0)，若顺次连接A，B，C ，D 四点，试判定四边形 ABCD 的形状. 【精彩点拨】 画出图形，由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明【自主解答】 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置如图由斜率公式可得 kAB ，5 32 4 13kCD ，0 3 3 6 13kAD 3，0 3 3 4kBC ，3 56 2 12kAB kCD，由图可知 AB 与 CD 不重合，AB
12、CD.由 kAD kBC，AD 与 BC 不平行又k ABkAD (3)1，13ABAD.故四边形 ABCD 为直角梯形1利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定2由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形再练一题3已知 A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点 D 满足 ABCD ，且 ADBC，试求点D 的坐标【解】 设 D(x，y )，则kAB 1，k BC ，k CD ，k DA .因为23 1 4 20 3 23 y 4x
13、yx 1ABCD ，AD BC ，所以 kABkCD1，k DAk BC，所以Error!解得Error!即 D(10，6).1已知 A(2,0)，B(3,3)，直线 lAB，则直线 l 的斜率 k 等于( )A3 B3C D.13 13【解析】 因为直线 lAB，所以 kk AB 3.3 03 2【答案】 B2过点( ， )，(0,3) 的直线与过点( ， )，(2,0)的直线的位置关系为3 6 6 2( )A垂直 B平行C重合 D以上都不正确【解析】 过点( ， )，(0,3)的直线的斜率 k1 ；过点(3 66 33 0 2 3， )，(2,0) 的直线的斜率 k2 .因为 k1k21，
14、所以两条直6 22 06 2 3 2线垂直【答案】 A3已知直线 l1 的倾斜角为 60，直线 l2 的斜率 k2m 2 4，若 l1l 2，3则 m 的值为_【解析】 由题意得 m2 4tan 60，解得 m2.3【答案】 24直线 l1 的斜率为 2，直线 l2 上有三点 M(3,5)，N(x,7)，P (1，y )，若l1l 2，则 x _，y _.【解析】 l 1l 2，且 l1 的斜率为 2，则 l2 的斜率为 ， ，x1，y 7.12 7 5x 3 y 5 1 3 12【答案】 1 75已知四点 A(2,22 )，B( 2,2)，C(0,22 )，D (4,2)，顺次连接这四2 2点，试判断四边形 ABCD 的形状(说明理由) 【解】 k AB ，2 2 22 2 2 22kBC ，2 22 20 2 2kAD ，2 2 224 2 2kCD ，2 2 224 0 22k ABk CD， kBCk AD.ABCD 且 BCAD，四边形 ABCD 是平行四边形，又k ABkBC1，ABBC，四边形 ABCD 是矩形
