1、2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定1理解直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理(重点)2会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述这两个判定定理，并知道其地位和作用( 易混点)3能够应用两个判定定理证明直线与平面平行和平面与平面平行(难点)基础初探教材整理 1 直线与平面平行的判定定理阅读教材 P54P 55“例 1”以上的内容，完成下列问题自然语言平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行符号语言 a，b ，且 aba图形语言能保证直线 a 与平面 平行的条件是 ( )Ab，abBb ，c ，ab，a cCb
2、 ，A 、 Ba，C 、 Db，且 ACBDDa，b ，ab【解析】 A 错误，若 b，ab，则 a 或 a ；B 错误，若b，c， ab，ac，则 a 或 a ；C 错误，若满足此条件，则 a或 a 或 a 与 相交；D 正确【答案】 D教材整理 2 平面与平面平行的判定定理阅读教材 P56P 57“例 2”以上的内容，完成下列问题自然语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号语言 a ， b ， abP ，a，b 图形语言判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( )(2)如果两个平面平行，那么分别在这两
3、个平面内的两条直线平行或异面( )(3)平行于同一平面的两条直线平行( )(4)若 ，且直线 a，则直线 a.( )【解析】 (1)错误当这两条直线为相交直线时，才能保证这两个平面平行(2)正确如果两个平面平行，则在这两个平面内的直线没有公共点，则它们平行或异面(3)错误两条直线平行或相交或异面(4)错误直线 a 或直线 a.【答案】 (1) (2) (3) (4)小组合作型直线与平面平行的判定已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内，P， Q 分别是对角线 AE，BD 上的点，且 AP DQ(如图 221)求证：PQ平面 CBE.图 221【精彩点拨】 在
4、平面 CBE 中找一条直线与 PQ 平行，从而证明 PQ平面 CBE.【自主解答】 作 PM AB 交 BE 于点 M，作 QNAB 交 BC 于点 N，连接 MN，如图，则 PMQN ， ， .EABD，APDQ，PMAB EPEA QNCD BQBDEPBQ.又 ABCD，PM 綊 QN，四边形 PMNQ 是平行四边形，PQ MN.又 PQ平面 CBE，MN平面 CBE，PQ 平面 CBE.1利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线2证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等图 222再练一题1如图 222
5、，四边形 ABCD 是平行四边形，S 是平面 ABCD 外一点，M为 SC 的中点，求证：SA平面 MDB. 【证明】 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OM.M 为 SC 的中点，O 为 AC 的中点，OMSA，OM 平面 MDB，SA平面 MDB，SA平面 MDB.平面与平面平行的判定如图 223，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， M、E 、F、N 分别是A1B1、B 1C1、 C1D1、D 1A1 的中点图 223求证：(1)E、F、B、D 四点共面；(2)平面 MAN平面 EFDB.【精彩点拨】 (1)欲证 E、F 、B、D 四点共面，需证 BDEF 即可(2)要证平面 M
6、AN平面 EFDB，只需证 MN平面 EFDB，AN 平面BDFE 即可【自主解答】 (1)连接 B1D1，E、F 分别是边 B1C1、C 1D1 的中点，EFB 1D1.而 BD B1D1，BDEF.E、F、B 、 D 四点共面(2)易知 MN B1D1，B 1D1BD，MNBD.又 MN平面 EFDB，BD 平面 EFDB.MN平面 EFDB.连接 MF.M、F 分别是 A1B1、C 1D1 的中点，MFA 1D1，MF A 1D1.MFAD，MF AD .四边形 ADFM 是平行四边形， AM DF.又 AM平面 BDFE，DF 平面 BDFE，AM平面 BDFE.又AMMN M，平面
7、MAN平面 EFDB.1要证明面面平行，关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行，而要证明线面平行，还要通过证明线线平行，注意这三种平行之间的转化2解决此类问题有时还需添加适当的辅助线(或辅助面)使问题能够顺利转化再练一题2如图 224 所示，已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为矩形，E ，F，H分别为 AB， CD，PD 的中点图 224求证：平面 AFH平面 PCE.【证明】 因为 F，H 分别为 CD，PD 的中点，所以 FHPC，因为 PC平面 PCE，FH平面 PCE，所以 FH平面 PCE.又由已知得 AECF 且 AECF，所以四边形 AECF 为平行四边
8、形，所以 AFCE，而 CE平面 PCE，AF 平面 PCE，所以 AF平面 PCE.又 FH 平面 AFH，AF 平面 AFH，FHAFF，所以平面 AFH平面PCE.探究共研型线面平行、面面平行的综合应用探究 1 如图 225，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，S 是 B1D1 的中点，E，F，G 分别是 BC，DC，SC 的中点你能证明直线 EG平面 BDD1B1 吗？图 225【提示】 如图，连接 SB，E，G 分别是 BC，SC 的中点，EG SB.又SB平面 BDD1B1， EG平面 BDD1B1.直线 EG平面 BDD1B1.探究 2 上述问题中，条件不变，请证明平面 EF
9、G平面 BDD1B1.【提示】 连接 SD.F，G 分别是 DC，SC 的中点，FG SD.又SD平面 BDD1B1， FG平面 BDD1B1，FG 平面 BDD1B1.又 EG 平面 BDD1B1，且 EG 平面 EFG，FG平面 EFG，EGFGG，平面 EFG 平面 BDD1B1.已知底面是平行四边形的四棱锥 PABCD，点 E 在 PD 上，且PEED 21，在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF平面 AEC？证明你的结论，并说出点 F 的位置【精彩点拨】 解答本题应抓住 BF平面 AEC.先找 BF 所在的平面平行于平面 AEC，再确定 F 的位置【自主解答】 如图，连接 BD 交
10、 AC 于 O 点，连接 OE，过 B 点作 OE 的平行线交 PD 于点 G，过点 G 作 GFCE，交 PC 于点 F，连接 BF.BG OE， BG平面 AEC，OE平面 AEC，BG 平面 AEC.同理，GF 平面 AEC，又 BGGF G.平面 BGF 平面 AEC. BF平面 AEC.BG OE， O 是 BD 中点， E 是 GD 中点又PEED21，G 是 PE 中点而 GF CE，F 为 PC 中点综上，当点 F 是 PC 中点时，BF平面 AEC.解决线线平行与面面平行的综合问题的策略1立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相
11、互联系、相互转化的2.线 线 平 行 判 定 线 面 平 行 判 定 面 面 平 行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理再练一题3.如图 226，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，M为 OA 的中点， N 为 BC 的中点图 226证明：直线 MN平面 OCD.【证明】 如图，取 OB 中点 E，连接 ME，NE，则 MEAB .又ABCD，MECD .又ME平面 OCD，CD平面 OCD，ME平面 OCD.又NEOC，且 NE平面 OCD，OC平面 OCD，NE平面 OCD.又MENEE ，且 ME，NE平面 MNE，平面 MNE平面
12、OCD.MN平面 MNE，MN平面 OCD.1过直线 l 外两点，作与 l 平行的平面，则这样的平面( )A不可能作出 B只能作出一个C能作出无数个 D上述三种情况都存在【解析】 设直线外两点为 A、B，若直线 ABl，则过 A、B 可作无数个平面与 l 平行；若直线 AB 与 l 异面，则只能作一个平面与 l 平行；若直线 AB与 l 相交，则过 A、B 没有平面与 l 平行【答案】 D2在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 是棱 CD 上的动点，则直线 MC1 与平面 AA1B1B 的位置关系是( )A相交 B平行C异面 D相交或平行B 如图，MC 1平面 DD1C1C，而平面 AA
13、1B1B平面 DD1C1C，故 MC1平面 AA1B1B.3a、b、c 为三条不重合的直线，、 为三个不重合的平面，现给出六个命题Error!a b；Error!ab；Error! ；Error! ；Error!a；Error!a，其中正确的命题是_(填序号)【解析】 是平行公理，正确；中 a，b 还可能异面或相交；中、 还可能相交；是平面平行的传递性，正确；还有可能 a；也是忽略了 a 的情形【答案】 4梯形 ABCD 中，AB CD，AB平面 ，CD平面 ，则直线 CD 与平面 的位置关系是 _. 【解析】 因为 ABCD，AB平面 ，CD平面 ，由线面平行的判定定理可得 CD .【答案】 CD5如图 227，三棱锥 PABC 中，E，F，G 分别是 AB，AC，AP 的中点证明：平面 GFE平面 PCB.
