1、3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程1会根据条件写出直线的两点式方程和截距式方程(重点)2了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式(重点、难点)3能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化(难点、易混点)基础初探教材整理 1 直线方程的两点式和截距式阅读教材 P95P 96“例 4”以上部分，完成下列问题名称 已知条件 示意图 方程 使用范围两点式P1(x1，y 1)，P2(x2，y 2)，其中x1x 2，y 1y2y y1y2 y1x x1x2 x1 斜率存在且不为 0截距式在 x，y 轴上的截距分别为 a，b 且 1xa yb 斜率存在且不为 0，不
2、过原点a0，b0一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A可以写成两点式或截距式B可以写成两点式或斜截式或点斜式C可以写成点斜式或截距式D可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式【解析】 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式由于直线在坐标轴上的截距有可能为 0，所以直线不一定能写成截距式，故选 B.【答案】 B教材整理 2 线段的中点坐标公式阅读教材 P96“例 4”至 P97“练习”以上部分，完成下列问题若点 P1，P 2 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设 P(x，y)是线段
3、 P1P2 的中点，则Error!已知 A(1,2)及 AB 的中点(2,3)，则 B 点的坐标是_ 【解析】 设 B(x，y)，则Error!Error!，即 B(3,4)【答案】 (3,4)教材整理 3 直线的一般式方程阅读教材 P97“练习”以下至 P99“练习”以上部分，完成下列问题1定义：关于 x，y 的二元一次方程 AxByC 0(其中 A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式2斜率：直线 AxByC0(A，B 不同时为 0)，当 B0 时，其斜率是，在 y 轴上的截距是 .当 B0 时，这条直线垂直于 x 轴，不存在斜率AB CB直线 3x2y4 的截距式方程是 (
4、 )A. 1 B. 43x4 y2 x13 y12C. 1 D. 13x4 y 2 x43 y 2【解析】 将 3x2y 4 化为 1 即得x43 y 2【答案】 D小组合作型直线的两点式方程在ABC 中，A(3,2)，B(5 ，4)，C(0，2)，(1)求 BC 所在直线的方程；(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程【精彩点拨】 (1)由两点式直接求 BC 所在直线的方程；(2)先求出 BC 的中点，再由两点式求直线方程【自主解答】 (1)BC 边过两点 B(5，4)，C(0 ，2)，由两点式得 ，y 4 2 4 x 50 5即 2x5y100.故 BC 所在直线的方程为 2x5y 100
5、.(2)设 BC 的中点为 M(x0，y 0)，则 x0 ，5 02 52y0 3. 4 22M ，(52， 3)又 BC 边上的中线经过点 A(3,2)由两点式得 ，y 2 3 2 x 352 3即 10x11y80.故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x11y 80.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系再练一题1(1)
6、若直线 l 经过点 A(2，1)，B(2,7)，则直线 l 的方程为_；(2)若点 P(3，m)在过点 A(2，1)，B(3,4) 的直线上，则 m_.【解析】 (1)由于点 A 与点 B 的横坐标相等，所以直线 l 没有两点式方程，所求的直线方程为 x2.(2)由两点式方程得，过 A，B 两点的直线方程为 ，即y 14 1 x 2 3 2xy10.又点 P(3，m)在直线 AB 上，所以 3 m10，得 m2.【答案】 (1)x 2 (2)2直线的截距式方程求过点(4，3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线 l 的方程. 【精彩点拨】 解此题可以利用两种方法，法一：利用截距式，分三种情况，
7、截距相等不为零，截距互为相反数不为零，截距均为零，法二：利用点斜式，然后利用截距的绝对值相等求斜率【自主解答】 法一 设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b.当 a0，b0 时，设 l 的方程为 1.xa yb点(4 ，3)在直线上， 1，4a 3b若 ab，则 ab1，直线方程为 xy 1.若 ab，则 a7，b7，此时直线的方程为 xy 7.当 ab0 时，直线过原点，且过点(4，3)，直线的方程为 3x4y 0.综上知，所求直线方程为 xy 10 或 xy7 0 或 3x4y0.法二 设直线 l 的方程为 y3k (x4)，令 x0，得 y4k3；令 y0，得 x .4k 3k又
8、直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，|4k3| ，|4k 3k |解得 k1 或 k1 或 k .34所求的直线方程为xy70 或 xy10 或 3x4y 0.用截距式方程解决问题的优点及注意事项1由截距式方程可直接确定直线与 x 轴和 y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便2在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式3但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论再练一题2求过定点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程【解】 设直线的两截距都是
9、a，则有当 a0 时，直线为 y kx，将 P(2,3)代入得 k ，l ：3x 2y0；32当 a0 时，直线设为 1，即 xy a，xa ya把 P(2,3)代入得 a5， l：x y5.直线 l 的方程为 3x2y 0 或 xy50.探究共研型直线一般式方程的应用探究 1 已知直线 l 过点(2,0)，(0,3) ，能否写出直线 l 的方程的五种形式？【提示】 能直线 l 的斜率 k ，点斜式方程 y0 (x2) ；3 00 2 32 32斜截式方程 y x3；两点式方程 ；截距式方程 1，一般32 y 03 0 x 20 2 x2 y3式方程 3x2 y60.探究 2 直线的一般式方程
10、与其他形式比较，有什么优点？【提示】 坐标平面内的任何一条直线，都可以用一般式表示，而其他形式都有一定的局限性探究 3 当 A0，或 B0，或 C0 时，方程 AxByC0 分别表示什么样的直线？【提示】 (1)若 A0，则 y ，表示与 y 轴垂直的一条直线CB(2)若 B0，则 x ，表示与 x 轴垂直的一条直线CA(3)若 C0，则 AxBy0，表示过原点的一条直线(1)已知直线 l1：2x(m1) y40 与直线 l2：mx 3y 20 平行，求 m 的值；(2)当 a 为何值时，直线 l1：(a2) x(1a)y10 与直线 l2：(a1)x(2a 3) y 20 互相垂直？【精彩点
11、拨】 解答本题可以从两直线的位置关系与斜率的对应关系入手，也可以根据斜率关系求出参数值后，代入验证【自主解答】 (1)法一：由 l1：2x (m1)y40，l2：mx3y20 知：当 m0 时，显然 l1 与 l2 不平行当 m0 时，l 1l 2，需 .2m m 13 4 2解得 m2 或 m3，m 的值为 2 或3.法二：令 23m(m1)，解得 m3 或 m2.当 m3 时，l 1：x y 20，l 2：3x3y20，显然 l1 与 l2 不重合，l 1l 2.同理当 m2 时，l 1：2x 3y40，l 2：2x3y20，显然 l1 与 l2 不重合，l 1l 2.m 的值为 2 或3
12、.(2)法一：由题意知，直线 l1l 2.若 1a0，即 a1 时，直线 l1：3x10 与直线 l2：5y 20 显然垂直若 2a30，即 a 时，直线 l1：x5y 20 与直线 l2：5y4032不垂直若 1a0，且 2a30，则直线 l1，l 2 的斜率 k1，k 2 都存在，k 1，k 2 .a 21 a a 12a 3当 l1l 2 时，k 1k21，即 1，( a 21 a)( a 12a 3)a1.综上可知，当 a1 或 a1 时，直线 l1l 2.法二：由题意知直线 l1l 2.(a 2)(a1)(1a)(2a3)0，解得 a1，将 a1 代入方程，均满足题意故当 a1 或
13、a1 时，直线 l1l 2.1利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线 l1：A 1x B1yC 10，直线 l2A 2xB 2yC 20，若 l1l 2A 1B2A 2B10 且 B1C2B 2C10 或 A1C2A 2C10.若 l1l 2A 1A2B 1B20.2与已知直线平行垂直的直线方程的求法与直线 AxByC 0 平行的直线方程可设为 AxBym0，mC.与直线 AxByC 0 垂直的直线方程可设为 BxAym0.)再练一题3已知两直线方程 l1：mx2y 80 和 l2：xmy30，当 m 为何值时：(1)两直线互相平行？(2) 两直线互相垂直？【解】 (1)当 m0 时， l
14、1 与 l2 显然不平行当 m0 时，l 1 的斜率 k1 ，m2在 y 轴上的截距 b14，l2 的斜率 k2 ，在 y 轴上的截距 b2 .1m 3ml 1l 2，k 1k 2，且 b1b 2，1过点 A(3,0)和 B(2,1)的直线方程为( )Axy30 Bxy30Cxy 30 Dxy 30【解析】 由两点式方程得 ，整理得 xy 30.y 01 0 x 32 3【答案】 A2经过 P(4,0)，Q(0， 3)两点的直线方程是( )A. 1 B. 1x4 y3 x3 y4C. 1 D. 1x4 y3 x3 y4【解析】 因为由点坐标知直线在 x 轴，y 轴上截距分别为 4，3，所以直线
15、方程为 1.x4 y 3【答案】 C3过点 A( 1,3)且平行于直线 x2y30 的直线方程为_. 【解析】 由题意可设所求直线方程为 x2y m0，将点 A(1,3)代入，可得 m7，所以所求直线的方程为 x2y 70.【答案】 x 2y 704在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l1：x2y 10 和直线l2：2xaya0 平行，则常数 a 的值为_【解析】 由于 l1l 2，所以 1(a)(2) 2 0 且2(a)(a)(1)0，得 a4.【答案】 45求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为 12 的直线 l 的方程【解】 设直线 l 的方程为 1，xa yb由题意Error! 4b2aab，即 4(12a) 2aa(12a) ，a 214a480，解得 a6 或 a8.因此Error!或 Error!所求直线 l 的方程为 xy 60 或 x2y80.
