1、1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法(重点 )2会求组合体的表面积与体积(难点、易错点)基础初探教材整理 1 柱体、锥体、台体的表面积阅读教材 P23P 25“例 2”以上内容，完成下列问题1多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积2旋转体的表面积名称 图形 公式圆柱底面积：S 底 2r 2侧面积：S 侧 2rl表面积：S2rl 2r 2圆锥底面积：S 底 r 2侧面积：S 侧 rl表面积：Srl r 2圆台上底面面积：S 上底 r 2下底面面积：S 下底
2、r 2侧面积：S 侧 l(rr)表面积：S(r 2r 2 rlrl)判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和( )(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的( )(3)圆台的高就是相应母线的长( )(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等( )【解析】 (1)正确多面体的表面积等于侧面积与底面积之和(2)错误棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形(3)错误圆台的高是指两个底面之间的距离(4)错误由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的【答案】 (1) (2
3、) (3) (4)教材整理 2 柱体、锥体与台体的体积公式阅读教材 P25“例 2”以下 P26“思考”以上内容，完成下列问题(1)柱体：柱体的底面面积为 S，高为 h，则 VSh .(2)锥体：锥体的底面面积为 S，高为 h，则 V Sh.13(3)台体：台体的上、下底面面积分别为 S、S，高为 h，则 V (S13 S)h.S S圆锥的母线长为 5，底面半径为 3，则其体积为( )A15 B30C12 D36【解析】 圆锥的高 h 4，故 V 32412.52 3213【答案】 C小组合作型空间几何体的表面积和侧面积一个直角梯形的两底边长分别为 2 和 5，高为 4.将其绕较长底所在直线旋
4、转一周，求所得旋转体的表面积【精彩点拨】 旋转所得到的几何体为圆柱与圆锥的组合体【自主解答】 旋转所得几何体如图由图可知，几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积之和，SS 圆柱底 S 圆柱侧 S 圆锥侧4 2242 451616 20 52.1求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台体，再通过这些基本柱、锥、台体的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积2组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分面积再练一题1圆台的上、下底面半径和高的比为 144，若母线长为 10，则圆台的表面积为( )A81 B100C168 D169C 圆台的轴截
5、面如图所示，设上底面半径为 r，下底面半径为 R，则它的母线长为 l 5r10，所以 r2，R 8.h2 R r2 4r2 3r2故 S 侧 (R r)l(82)10100 ，S 表 S 侧 r 2 R21004 64168.空间几何体的体积如图 131 所示，在长方体 ABCDAB CD 中，用截面截下一个棱锥 CADD，求棱锥 CADD的体积与剩余部分的体积之比图 131【精彩点拨】 先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体积之比【自主解答】 法一：设 ABa，ADb，DDc，则长方体 ABCDABCD的体积 Vabc，又 SADD bc，12且三棱锥 CADD的高为 CDa.V
6、 三棱锥 CA DD SA D D CD abc.13 16则剩余部分的几何体体积 V 剩 abc abc abc.16 56故 V 棱锥 CA DD V 剩 abc abc15.16 56法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD ABCCB，设它的底面 ADDA面积为 S，高为 h，则它的体积为 V Sh.而棱锥 CADD的底面面积为 S，高为 h，12因此棱锥 CADD的体积 VCADD Sh Sh.13 12 16剩余部分的体积是 Sh Sh Sh.16 56所以棱锥 CADD的体积与剩余部分的体积之比为Sh Sh15.16 561常见的求几何体体积的方法(1)公式法：直接代
7、入公式求解(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可(3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积2求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算再练一题 2如图 132 所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，过顶点 B， D，A 1 截下一个三棱锥图 132(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥 AA1BD 的高. 【解】 (1)V 三棱锥 A1ABD SABD A1A13 ABADA1A a3.13 12 16故剩余部分的体积VV 正方体
8、 V 三棱锥 A1ABDa 3 a3 a3.16 56(2)由(1)知 V 三棱锥 AA1BDV 三棱锥 A1ABD a3，16设三棱锥 AA1BD 的高为 h，则 V 三棱锥 AA1BD SA 1BDh13 ( a)2h a2h，13 12 32 2 36故 a2h a3，解得 h a.36 16 33探究共研型与三视图有关的表面积和体积探究 1 一个几何体的三视图如图 133 所示，请说出该几何体的结构特征图 133【提示】 由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形探究 2 试根据图 133 中数据求该几何体的表面积【提示】 三棱柱底面三角形的直角边长分别为 3 和 4，斜
9、边长为 5，三棱柱的高为 5，如图所示，所以表面积为 2 (345)572.(1234)探究 3 已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？【提示】 首先根据三视图确定几何体的结构特征，再根据相应的表面积公式计算如图 134，已知某几何体的三视图如图(单位：cm)(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法) ；(2)求这个几何体的表面积及体积图 134【精彩点拨】 由 三 视 图 确 定 几 何 体 的 形 状 选 择 表 面 积 及 体 积 公 式 求 解【自主解答】 (1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及三棱柱 B1C1QA1D1P 的组合体由 PA1P
10、D 1 ，A 1D1AD 2，2可得 PA1PD 1.故所求几何体的表面积S52 22 2 2224 (cm2)，12 2 2 2 2所求几何体的体积V2 3 ( )2210(cm 3)12 21解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据2若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，根据需要先将几何体分割分别求解，最后求和再练一题3.如图 135 是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )图 135A20B24C28D32C 由三视图可知圆柱的底面直径为 4，母线长(高 )为 4，所以圆柱的侧
11、面积为 22416，底面积为 224 ；圆锥的底面直径为 4，高为 2 ，所3以圆锥的母线长为 4，所以圆锥的侧面积为 248. 所以该232 22几何体的表面积为 S16 4 828.1若长方体的长、宽、高分别为 3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为( )A27 cm 3 B60 cm 3C64 cm3 D125 cm 3B 长方体即为四棱柱，其体积为底面积高，即为 34560 cm3.2将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A4 B3C2 D【解析】 旋转所得几何体为圆柱，底面圆半径为 1，高为 1，侧面积S2rh2112.故选 C.【
12、答案】 C3已知圆锥 SO 的高为 4，体积为 4，则底面半径 r_. 【解析】 由已知得 4 r24，解得 r .13 3【答案】 34一个几何体的三视图如图 136 所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.图 136【解析】 此几何体是由一个长为 3，宽为 2，高为 1 的长方体与底面直径为 2，高为 3 的圆锥组合而成的，故 VV 长方体 V 圆锥321 123 (6)m 3.13【答案】 65如图 137 所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B 1C 上的点，求三棱锥 D1EDF 的体积图 137【解】 VD 1EDFVFDD 1E SD 1DEAB 111 .13 13 12 16
