1、32 函数模型及其应用32.1 几类不同增长的函数模型1理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义(重点)2区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异(易混点)3会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题(难点)基础初探教材整理 几类不同增长的函数模型阅读教材 P98P 101，完成下列问题1三种函数模型的性质函数性质 yax(a1)ylog ax(a1) yx n(n0)在(0，)上的增减性增函数 增函数 增函数图象的变化随 x 的增大逐渐与y 轴平行随 x 的增大逐渐与x 轴平行随 n 值的不同而不同2.三种函数增长速度的比较(1)在区间(0，)上，函数 yax(a1)，ylog ax(a
2、1)和 yx n(n0)都是增函数，但增长进度不同，且不在同一个“档次”上(2)随着 x 的增大，yax(a1) 的增长速度越来越快，会超过并远远大于yx n(n0)的增长速度，而 ylog ax(a1)的增长速度越来越慢(3)存在一个 x0，当 xx0 时，有 axxnlogax.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)当 x 增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值，则 y 是 x 的一次函数( )(2)函数 ylog x 衰减的速度越来越慢( )12(3)不存在一个实数 m，使得当 xm 时，1.1 xx100.( )【解析】 (1).因为一次函数的图象是直线，所以当 x 增加一个单位
3、时，y 增加或减少的量为定值(2).由函数 ylog x 的图象可知其衰减的速度越来越慢12(3).根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数 m，使得当xm 时， 1.1xx100.【答案】 (1) (2) (3)小组合作型函数模型的增长差异(1)下列函数中，增长速度最快的是( ) Ay2 016 x Byx 2 016Cylog 2 016x Dy 2 016x(2)四个自变量 y1，y 2，y 3，y 4 随变量 x 变化的数据如下表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.051
4、06 3.36107 1.07109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907则关于 x 呈指数型函数变化的变量是_【精彩点拨】 指数函数增长速度最快【自主解答】 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选 A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y 2，y 3，y 4 均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画出它们的图象(图略) ，可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化故填 y2.【答案】 (1)A
5、 (2) y21指数函数模型 yax (a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸” 2对数函数模型 ylog ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢3幂函数模型 yx n(n 0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间再练一题1下列函数中随 x 的增大而增长速度最快的是 ( )【导学号：97030138】Ay ex By100ln x1100Cyx 100 Dy1002 x【解析】 指数函数 y ax，在 a1 时呈爆炸式增长，并且随 a 值的增大，增长速度越快，应选 A.【答案】 A根据函数图象确定函数模型图 321函数 f
6、(x)2 x和 g(x)x 3 的图象如图 321 所示，设两函数的图象交于点A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，且 x1x 2.(1)请指出图中曲线 C1，C 2 分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断 f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小【精彩点拨】 根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断【自主解答】 (1)C 1 对应的函数为 g(x)x 3，C 2 对应的函数为 f(x)2 x.(2)f(1)g(1)，f(2) g(2)，f(9) g(9)，f(10)g(10)，1x 12,9 x 210，x 16x 2,2 016x 2.从图象上可以看出，当 x1x
7、x 2 时，f(x)g(x )，f(6)g(6)；当 xx 2 时，f(x)g(x )，f(2 016)g(2 016)又 g(2 016) g(6)，f(2 016)g(2 016)g(6)f(6)根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.再练一题2函数 f(x)lg x，g(x) 0.3x 1 的图象如图 322 所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1，C 2 分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)，g( x)的大小进行比较
8、) 图 322【解】 (1)C 1 对应的函数为 g(x)0.3x1，C 2 对应的函数为 f(x)lg x.(2)当 xf(x)；当 x1g(x) ；当 xx2 时，g(x )f(x)；当 xx 1 或 x x2 时，f(x ) g(x)探究共研型函数模型的选择探究 1 在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？【提示】 一次函数、指数函数、对数函数探究 2 在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？【提示】 前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型某跨国饮料公司在对全世界所有人均 GDP(即人
9、均纯收入)在 0.58千美元的地区销售该公司 A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均 GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减(1)下列几个模拟函数中：yax 2bx ；ykx b；y log axb；y axb(x 表示人均 GDP，单位：千美元，y 表示年人均 A 饮料的销售量，单位：L )用哪个模拟函数来描述人均 A 饮料销售量与地区的人均 GDP 关系更合适？说明理由；(2)若人均 GDP 为 1 千美元时，年人均 A 饮料的销售量为 2 L，人均 GDP为 4 千美元时，年人均 A 饮料的销售量为 5 L，把 (1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均 A 饮料
10、的销售量最多是多少？【精彩点拨】 (1)理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择；(2)根据(1)中所选择的函数模型，求出其解析式并求最大值【自主解答】 (1)用来模拟比较合适因为该饮料在人均 GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减而，表示的函数在区间上是单调函数，所以，都不合适，故用来模拟比较合适(2)因为人均 GDP 为 1 千美元时，年人均 A 饮料的销量为 2 升；人均 GDP为 4 千美元时，年人均 A 饮料的销量为 5 升，把 x1，y2；x 4，y5 代入到 yax 2bx ，得Error!解得 a ，b ，所以函数解析式为14 94y x2 x.(x0.5,8)14
11、 94y x2 x 2 ，当 x 时，年人均 A 饮料的销售量最14 94 14(x 92) 8116 92多是 L.8116不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律1线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律2指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律3对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律4幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律再练一题3某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量 y(t)与月序数 x 之间的关系对此模拟函数可选用二次
12、函数 yf( x) ax2bx c(a，b，c 均为待定系数， xN *)或函数 yg(x)pq x r(p， q，r 均为待定系数，xN *)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为 137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？【解】 根据题意可列方程组：Error!解得Error!所以 yf(x) 5x 235x70.同理 yg(x) 800.5 x140.再将 x4 分别代入 与 式得：f(4)54 235470 130(t) ，g(4)80 0.54140135(t )与 f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以式作为模拟函数比式更好，故选用函数
13、yg(x )pq xr 作为模拟函数较好.1如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型( ) x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.一次函数模型 B二次函数模型C指数函数模型 D对数函数模型【解析】 自变量每增加 1 函数值增加 2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型故选 A.【答案】 A2下列函数中，随 x 的增大，增长速度最快的是( )Ay1 ByxCy3 x Dylog 3x【解析】 结合函数 y 1，y x，y3 x及 ylog 3x 的图象可知，随着 x 的增大，增长速度最快的是 y3 x.【答案】 C3某
14、公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用( )A一次函数 B二次函数C指数型函数 D对数型函数【解析】 结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选 D.【答案】 D4生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应_；B 对应_；C 对应_；D 对应_. 【导学号：02962023】【解析】 A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与 (4)对应；B 容器为球形，水高度变化为
15、快慢快，应与(1)对应；C，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但 C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3) 对应，D 容器慢，与(2)对应【答案】 (4) (1) (3) (2)5函数 f(x)1.1 x，g( x)ln x1，h(x )x 的图象如图 323 所示，试分12别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以 1，a，b，c，d，e为分界点) 图 323【解】 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线 C1 对应的函数是 f(x)1.1 x，曲线 C2 对应的函数是 h(x)x ，曲线 C3 对应的函数是 g(x)ln 12x1.由题图知，当 xh( x)g(x)；当 1g(x)h(x)；当 ef(x)h(x)；当 ah(x)f(x)；当 bg(x)f(x)；当 cf(x)g(x)；当 xd 时，f(x)h(x)g(x)
