1、第 2 课时 函数的最大 (小)值1理解函数的最大(小) 值的概念及其几何意义(重点)2了解函数的最大(小) 值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值(重点、难点)基础初探教材整理 函数的最大(小)值阅读教材 P30 至“例 3”以上部分，完成下列问题最大值 最小值一般地，设函数 yf( x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有f(x)M f(x)M条件存在 x0I，使得 f(x0)M结论 称 M 是函数 yf(x) 的最大值 称 M 是函数 yf(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的 纵坐标1
2、函数 f(x) ，x1,0)(0,2 ( )1xA有最大值 ，最小值112B有最大值 ，无最小值12C无最大值，有最小值1D无最大值，也无最小值【解析】 函数 f(x) 在 1,0)上单调递减，在(0,2上也单调递减，所以1x无最大值，也无最小值，故选 D.【答案】 D2函数 f(x)x 22x2，x1,2 的最小值为_；最大值为_【解析】 因为 f(x)x 22x2(x1) 21，x1,2，所以 f(x)的最小值为 f(1)1，最大值为 f(1) 5.【答案】 1 5小组合作型利用函数的图象求函数的最值(值域)画出函数 yx |x1|的图象，并求其值域【精彩点拨】 先把 y x| x1| 化
3、成分段函数的形式，再画出其图象，并由图象求值域【自主解答】 y x |x 1| Error!画出该函数的图象如图所示由图可知，函数 yx |x1| 的值域为(，11函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标对于图象较容易画出来的函数，可借助于图象直观的求出其最值，但画图时要求尽量精确2利用图象法求函数最值的一般步骤 作 图 象 找 图 象 的 最 高 点 和 最 低 点 确 定 最 高 点 和 最 低 点 的 纵 坐 标确 定 最 值再练一题1已知函数 f(x)Error!(1)在如图 132 给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象；(2)写出 f(x)的单调递增区间及值域.
4、【导学号：97030053 】图 132【解】 (1)图象如图所示：(2)由图可知 f(x)的单调递增区间为1,0)，(2,5 ，值域为1,3利用函数的单调性求最值(值域)求函数 f(x)x 在1,4上的最值4x【精彩点拨】 先利用单调性的定义判断函数的单调性，再根据单调性求最值即可【自主解答】 设 1x 10，f(x 1)f(x2)，f (x)是减函数同理 f(x)在(2,4上是增函数当 x2 时， f(x)取得最小值 4，当 x1 或 x4 时，f (x)取得最大值 5.函数的单调性与其最值的关系1若函数 f(x)在闭区间a ，b 上是减函数，则 f(x)在闭区间a，b 上的最大值为 f(
5、a)，最小值为 f(b)2若函数 f(x)在闭区间a ，b 上是增函数，则 f(x)在闭区间a，b 上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)3求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间，若是开区间，则不一定有最大值或最小值再练一题2已知函数 f(x) ，1x 2(1)判断 f(x)在3,5 上的单调性，并证明； 【导学号：97030054】(2)求 f(x)在3,5上的最大值和最小值【解】 (1)f (x)在3,5 上为减函数证明：任取 x1，x 23,5，有 x1x 2，f(x 1)f(x 2) .1x1 2 1x2 2 x2 x1x1 2x2 2x 1x 2，x 2x 10.又
6、x 1，x 23,5，(x 12)( x22)0， 0，f(x 1)f(x 2)0，x2 x1x1 2x2 2即 f(x1)f(x 2)，f(x)在3,5上是减函数(2)f(x) 在3,5上是减函数，f(x)在3,5上的最大值为 f(3)1，f(x)在3,5上的最小值为 f(5) .13函数最值的实际应用某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每提高 1 元，租不出去的自行车就增加 3 辆规定：每辆自行车的日租金不超过 20 元，每辆自行车的日租金 x 元只取整数，并要
7、求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用 y 表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得) (1)求函数 yf(x)的解析式及定义域；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【精彩点拨】 (1)函数 yf(x)出租自行车的总收入管理费；当 x6时，全部租出；当 6x 20 时，每提高 1 元，租不出去的就增加 3 辆，所以要分段求出解析式；(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值【自主解答】 (1)当 x6 时，y50x115，令 50x1150，解得x2.3.xN，3
8、x 6，且 xN.当 6x20 时，y 503(x6) x1153x 268x115，综上可知 y Error!(2)当 3x6，且 xN 时，y50x115 是增函数，当 x6 时，ymax185 元当 6x20， xN 时，y3x 268x1153 2 ，(x 343) 8113当 x11 时， ymax270 元综上所述，当每辆自行车日租金定在 11 元时才能使日净收入最多，为 270元1本题建立的是分段函数模型，分段求出各段的最大值，两段中的最大值即为所求，其中求一次函数的最值应用单调性，求二次函数的最值则应用配方法2解决实际应用问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学模型解决
9、；分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键再练一题3某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品 x(百台 )，其总成本为 G(x)(万元)，其中固定成本为 2.8 万元，并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元(总成本固定成本生产成本)销售收入 R(x)(万元 )满足 R(x) Error!假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数 yf(x)的解析式(利润销售收入总成本)；(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【解】 (1)由题意得 G(x)2.8x.R(x)Error!f(x)R (x)
10、G( x)Error!(2)当 x5 时，函数 f(x)递减，f(x)f(5)3.2(万元)当 0x5 时，函数 f(x)0.4(x4) 23.6，当 x4 时， f(x)有最大值为 3.6(万元)所以当工厂生产 4 百台时，可使盈利最大为 3.6 万元探究共研型二次函数的最值问题探究 1 函数 f(x)x 22x2 在区间1,0， 1,2，2,3上的最大值和最小值分别是什么？【提示】 函数 f(x)x 22x2 的图象开口向上，对称轴为 x1.(1)因为 f(x)在区间1,0上单调递减，所以 f(x)在区间1,0上的最大值为f(1)5，最小值为 f(0) 2.(2)因为 f(x)在区间1,1
11、上单调递减，在1,2 上单调递增，则 f(x)在区间1,2 上的最小值为 f(1) 1，又因为 f(1)5，f(2)2，f (1)f(2) ，所以 f(x)在区间 1,2上的最大值为 f(1)5.(3)因为 f(x)在区间2,3 上单调递增，所以 f(x)在区间2,3上的最小值为 f(2)2，最大值为 f(3)5.探究 2 你能说明二次函数 f(x)ax 2bxc 的单调性吗？若求该函数 f(x)在m，n 上的最值，应考虑哪些因素？【提示】 当 a0 时，f( x)在 上单调递减，在 上单( ， b2a) ( b2a， )调递增；当 a ，即 a1 时，f( x)的最大值为 f(0)1.a21
12、2(2)当 a1 时， f(x)x 2x1，其图象的对称轴为 x ，12当 t 时，f(x )在其上是增函数，f (x)minf (t) t2t1；12当 t1 ，即 t 时，f(x)在其上是减函数，12 12f(x) minf(t 1) 2 t 2t1；(t 12) 34当 t2 时，由图 可知， f(x)在0,2 上为减函数，所以 f(x)minf (2)34a，f( x)maxf(0)1.1函数 f(x)2x1(x2，2)的最小、最大值分别为( ) A3,5 B3,5C1,5 D5，3【解析】 因为 f(x)2 x1(x2,2 )是单调递减函数，所以当 x2 时，函数的最小值为3.当 x 2 时，函数的最大值为 5.【答案】 B2函数 yx 22x，x0,3的值域为( )A0,3 B1,0C1，) D1,3【解析】 函数 yx 2 2x(x1) 21，x 0,3 ，当 x1 时，函数 y取得最小值为1，当 x3 时，函数取得最大值为 3，故函数的值域为1,3，故选 D.【答案】 D3若函数 y ax1 在1,2上的最大值与最小值的差为 2，则实数 a 的值是( ) 【导学号：97030056】A2 B2C2 或 2 D0【解析】 由题意，a0，当 a0 时，有(2a1) (a1)2，解得a2；当 a0 时，有(a 1)(2a1)2，解得 a 2.综上知 a2.
